孫 政 顧 靜

(泗洪縣洪翔中學(xué) 江蘇 泗洪 223900)

在初中數(shù)學(xué)中,幾何圖形變化的教學(xué)主要指的是引導(dǎo)學(xué)生利用圖形直觀性對軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、投影、相似等圖形基本性質(zhì)進行探索,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段,其涉及的幾何圖形變換均為初等幾何變換范疇,主要是依照某種法則變化以及規(guī)律變化,將一幾何圖形變化為另一幾何圖形的過程,初等幾何變換主要為相似變換、全等變換以及反演變換。初等幾何變換的具體應(yīng)用為圖形的變化,而圖形變化基礎(chǔ)為初等幾何變換,二者具有相互作用,是初中數(shù)學(xué)幾何圖形教學(xué)中不能缺少的重要組成部分。

一、分類討論法的內(nèi)涵

分類討論法主要指的是在分類之后開展討論工作,在學(xué)生遇到較為復(fù)雜的問題時,如果不能直接得出問題答案,那么需要依照某一標(biāo)準(zhǔn)對研究對象進行分類,之后進行逐類討論工作,最后綜合討論結(jié)果,以得出正確的解題方法。在數(shù)學(xué)問題解決過程中,分類討論法是重要基本方法,對此方法進行合理掌握,可以有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng),讓學(xué)生創(chuàng)新意識與思維方式得到拓展。在初中數(shù)學(xué)幾何圖形變化問題的解決過程中,圖形分類討論是一種十分重要且靈活的解題方法,其關(guān)鍵思路是明確討論原因及討論方法,保持一個清晰的思路,保證答題條理的清晰性,答題過程的嚴(yán)密性。

二、分類討論法的基本原則

在幾何圖形變化數(shù)學(xué)問題的解決過程中,在應(yīng)用分類討論法時,需要遵循四項主要原則：(1)完整性原則。在應(yīng)用分類討論方法時,需要保證分類完整性,不能漏掉幾何圖形劃分中的任何一種類型,以為幾何圖形變化問題的完整解答奠定基礎(chǔ)。(2)同一性原則。應(yīng)用分類討論法時需要保證分類的同一確定標(biāo)準(zhǔn),如果采用不同標(biāo)準(zhǔn)進行分類,就有可能產(chǎn)生混亂分類現(xiàn)象,對于題目解答造成不利影響。(3)逐級性原則。在初中數(shù)學(xué)幾何圖形變化題目的分類討論、解決中,需要嚴(yán)格遵循逐級性原則,在數(shù)學(xué)問題中,部分簡單題目通過一次性分類就可以對其進行解決,而對于復(fù)雜數(shù)學(xué)問題來說,只有對其進行多次分類才能完成解答工作,在分類時,首先需要完成初步簡單分類,然后需要再次分類初步分類后的各個子項,直到可以滿足題目解答要求。(4)互斥性原則。在對初中數(shù)學(xué)幾何圖形變化題目進行分類完成后,需要進行檢查,保證每個分類項目之間具有互相獨立性,避免分類項目之間存在互相重疊部分,避免分類項目之間存在一項目包含另一項目的問題。

三、基于幾何圖形變化分類的教學(xué)示例

(一)圓心距問題。圓心距指的是兩圓圓心的距離,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,利用圓心距的計算可以判斷兩圓的位置狀態(tài),如相交、內(nèi)切、內(nèi)含、外切、外離。在圓心距問題教學(xué)中,需要讓學(xué)生明確幾何圖形分類中的重要意義及初步分類方法。

題目：現(xiàn)已知存在兩個大小不同的圓形,其半徑分別為6c m、9c m,如果這兩個圓形為相切狀態(tài),請求出圓心距。

學(xué)生結(jié)合所學(xué)知識進行計算,可以得出內(nèi)切為0c m,其外切為15c m。之后筆者向?qū)W生提出問題：“為什么會有兩種結(jié)果存在?”學(xué)生回答道：“圖形的位置具有不確定性,不能確定兩個圓形為內(nèi)切狀態(tài)還是外切狀態(tài)?！薄澳菫槭裁葱枰诸悗缀螆D形?”學(xué)生通過思考回答道：“因為幾何圖形形狀與位置具有不唯一確定性。”在該圓心距問題的教學(xué)過程中,因為幾何圖形形狀與位置的不唯一確定性,其存在兩個結(jié)果,通過對該幾何圖形進行分析研究,可以讓學(xué)生更為明確幾何圖形分類原因,可以讓學(xué)生學(xué)會幾何圖形初步分類方法。

(二)三角形周長問題。在初中數(shù)學(xué)“三角形”相關(guān)知識的教學(xué)中,三角形周長問題占有重要地位,在三角形周長問題中,求等腰三角形周長的問題較為常見,利用分類討論法時需要緊密結(jié)合等腰三角形的特殊性質(zhì)。在實際教學(xué)中,需要幫助學(xué)生突破以往固定思維,做到綜合考慮問題。

題目：現(xiàn)已知一三角形為等腰三角形,其兩條邊長分別是3c m與5c m,那么請求出該等腰三角形的周長。

學(xué)生通過計算,可以得出該三角形周長問題結(jié)果為11c m或13c m。之后筆者可以提出問題：“為什么會有兩個答案存在?”學(xué)生經(jīng)過思考,回答道：“因為此等腰三角形兩條長度相同的腰長沒有得到確認(rèn),可能有兩條3c m的邊長,也有可能有兩條5c m的邊長。因此會出現(xiàn)不同的周長結(jié)果。”進而,筆者下達結(jié)論,即因為三角形三條邊的邊長并沒有得到確定,存在不同可能時三角形周長、形狀大小也會存在不同。對此問題進行拓展,即“如果依然為等腰三角形,其邊長分別為2c m與5c m,那么請求出該等腰三角形的周長。”在提出此問題后,筆者發(fā)現(xiàn)有部分學(xué)生依然認(rèn)為有兩個答案,即9c m和12c m,出現(xiàn)了錯誤。在過去的教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生都會利用自身固定思維來解決三角形周長問題,但是對于等腰三角形來說,在邊長沒有明確指向的條件下,其結(jié)果包含不只一種情況,需要進行全面考慮。而對于拓展問題來說,部分學(xué)生認(rèn)為其相同長度邊長可能為2c m或5c m,但如果為2c m,那么因為2＋2＜5,就不能符合三角形基本規(guī)律要求。因此,該等腰三角形等邊邊長長度為5c m,周長只能為12c m。

四、結(jié)語

綜上所述,依照完整性原則、同一性原則、逐級性原則和互斥性原則,在初中數(shù)學(xué)變化的圓心距問題、三角形周長問題等教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生利用分類討論法進行解題,可以有效提升學(xué)生解題效率,可以保證解題質(zhì)量。