孫廣明 黃金杰 張宇

摘?要：針對數(shù)字圖像的信息安全問題，提出了一個(gè)新的三維自治混沌系統(tǒng)，通過對其基本動(dòng)力學(xué)特性的幾個(gè)方面進(jìn)行深入研究并仿真，證實(shí)該系統(tǒng)具有混沌特征。并基于該混沌系統(tǒng)，建立一種新的數(shù)字圖像加密方法，并給出仿真分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明使用該方法加密的圖像對于多種密文攻擊方式具有較好的抵抗能力。

關(guān)鍵詞：混沌;混沌同步;混沌吸引子;自治系統(tǒng)

DOI：10.15938/j.jhust.2018.06.019

中圖分類號(hào)： TP309.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2018）06-0105-05

Abstract：Aiming at the problem of information security of digital image?this paper proposes a new three-dimensional autonomous chaotic system?in-depth research and Simulation on its dynamic characteristics through several basic aspects?confirmed that the system has the feature of chaos.?Based on the chaotic system?the establishment of a new digital image encryption method?and the simulation analysis?experimental results show that the image encryption using the method has good ability to resist various attacks for the cipher text.

Keywords：chaos; chaos synchronization; chaotic attractor; autonomous system

0?引?言

混沌現(xiàn)象是確定性系統(tǒng)中的一種運(yùn)動(dòng)軌跡貌似隨機(jī)的現(xiàn)象，是非線性動(dòng)力系統(tǒng)的一種特有的運(yùn)動(dòng)形式，廣泛存在于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌系統(tǒng)[1]以來，各國學(xué)者不斷的研究、發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)。陳關(guān)榮在研究Lorenz混沌反控制過程中，發(fā)現(xiàn)“Chen混沌系統(tǒng)”[2-3]，呂金虎等人發(fā)現(xiàn)“L混沌系統(tǒng)”[4]。隨著研究的深入人們不斷發(fā)現(xiàn)新的混沌系統(tǒng)[5-7]。近年來，混沌與應(yīng)用學(xué)科的研究的開展，由形成新的研究方向，圖像混沌加密[8-11]成為混沌與應(yīng)用學(xué)科的交叉熱點(diǎn)之一。文[10]研究了基于可 Markov 分割混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，通過控制混沌系統(tǒng)的參數(shù)，設(shè)計(jì)了一個(gè)混沌密鑰流發(fā)生器;通過選擇不同群中的加法混合運(yùn)算，兩輪迭代完成了圖像加密過程。文[11]針對當(dāng)前的一類具有置亂—擴(kuò)散結(jié)構(gòu)的混沌圖像加密算法存在的缺陷問題，設(shè)計(jì)了一種能抵抗選擇明（密）文攻擊的混沌圖像加密算法。文[12]提出一種基于超混沌系統(tǒng)優(yōu)化序列并結(jié)合密文交錯(cuò)擴(kuò)散的并行圖像加密方法。對超混沌序列改造產(chǎn)生與明文相關(guān)的密鑰序列，圖像被分成兩個(gè)子塊，以并行方式對子塊進(jìn)行兩輪像素加密，并引入密文交錯(cuò)擴(kuò)散技術(shù)，完成圖像加密。

本文提出了一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，對新的混沌系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析和數(shù)值仿真，研究了該混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)，以及時(shí)間域分析等。同時(shí)，對該混沌系統(tǒng)進(jìn)行了應(yīng)用型圖像加密研究，構(gòu)建了基于該混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密方法，并給出了相關(guān)實(shí)驗(yàn)及分析。

1?新的三維自治混沌系統(tǒng)系統(tǒng)模型

新的三維自治混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型描述為：

系統(tǒng)（1）的動(dòng)力學(xué)軌跡如圖1所示。

2?新混沌系統(tǒng)基本動(dòng)力學(xué)特征分析

2.1?耗散性和混沌吸引子的存在分析

由于散度

2.2?系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

考慮如下方程組：

同理，P1、P2均為不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)。綜上，系統(tǒng)（1）的3個(gè)平衡點(diǎn)均為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，所以系統(tǒng)（1）可能為混沌。

2.3?Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

圖2為系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜曲線，系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)隨著時(shí)間的變化逐漸趨于平穩(wěn)。其中λ1>0，λ2>0，λ3<0，說明系統(tǒng)（1）為混沌系統(tǒng)，且存在吸引子為奇異吸引子。

3?混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密研究

混沌系統(tǒng)（1），對于給定一組初始值，隨著時(shí)間的增量，演化產(chǎn)生x、y、z三個(gè)軸向的無序?qū)崝?shù)序列。對于原始的混沌系統(tǒng)并不能直接用于密碼系統(tǒng)，進(jìn)行混沌系統(tǒng)離散化后，產(chǎn)生離散化混沌序列，可應(yīng)用于密碼系統(tǒng)。

3.1?圖像加密實(shí)現(xiàn)

根據(jù)數(shù)字圖像像素的特點(diǎn)，采用像素替換和全局位置變換交替使用的方式來實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像的加密。

3.1.1?像素替代

假定存在大小為M×N的數(shù)字圖像I（M為數(shù)字圖像的像素行數(shù)，N為數(shù)字圖像的像素列數(shù)），令L（i，j）表示數(shù)字圖像（i，j）坐標(biāo)處的圖像像素值。

解密步驟：

3.1.2?全局位置變換

考慮數(shù)字圖像的特點(diǎn)，相鄰像素具有相關(guān)性，采用調(diào)整原有數(shù)字圖像的像素的位置，以打破原有圖像的元素相關(guān)性。

解密步驟：

由于全局位置變換過程可逆，全局位置變換后圖像B，按全局位置變換的逆過程即可恢復(fù)源圖像I。

4?試驗(yàn)結(jié)果及算法性能分析

選取尺寸大小為256*256圖像進(jìn)行試驗(yàn)，選取像素映射加密初始密鑰：[x（0），y（0），z（0）]=[1，1，1]，U=10，V=20，W=20。采用先像素映射加密后位置變換形式為一輪加密，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。從試驗(yàn)結(jié)果看，密文圖像完全掩蓋了原圖的內(nèi)容，難以分辨源圖像所含的信息內(nèi)容，達(dá)到了數(shù)字圖像加密的目的。該算法可多次使用，并無周期性。

4.1?統(tǒng)計(jì)特性分析

圖3（e）和4（f）分別為原始圖像和密文圖像的直方圖。密文圖像的直方圖呈均勻分布，完全掩蓋了源圖像的像素分布，打破了明文圖像的統(tǒng)計(jì)特性完全被打破，降低了明文與密文的相關(guān)性，隱藏了圖像的統(tǒng)計(jì)特性

4.2?密鑰敏感性分析

由于混沌系統(tǒng)對于初始參數(shù)具有敏感特性，本文方法由混沌系統(tǒng)數(shù)字化而來，所以對初始狀態(tài)的變化具有敏感性，及時(shí)初始密鑰很小的變化，得到的解密圖像也是錯(cuò)誤的。試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。即使密鑰增加0.000 000 000 000 001，得到的解密結(jié)果也是錯(cuò)誤的。

4.3?抗干擾測試

本文圖像加密算法較好的抗干擾性能，由于圖像傳輸過程中可能引起的圖像損失，使得圖像數(shù)據(jù)引起一定的失真，本文算法均能正確解密，恢復(fù)原圖像。圖（5-d）為加密圖像受到隨機(jī)噪聲污染后加密圖像恢復(fù)的圖像，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看，本文算法具有較好的抗干擾效果。

5?結(jié)?語

本文提出了一種新的三維自治混沌系統(tǒng)，并對此新的三維自治混沌系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，分析了新混沌系統(tǒng)的吸引子，平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，指出該系統(tǒng)具有三個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，對提出的新的三維自治混沌系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)等進(jìn)行了仿真。通過理論分析，驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌性質(zhì)。同時(shí)對該混沌系統(tǒng)離散化，進(jìn)行了數(shù)字圖像加密的應(yīng)用性研究，提出了一種基于該混沌系統(tǒng)的數(shù)字圖像加密算法，并給與了仿真及分析。

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]?Lorenz E N.?Deterministicnon-periodicflows[J].AtmosSci，1963，20：130-141.

[2]?陳關(guān)榮?呂金虎.?Lorenz系統(tǒng)族的動(dòng)力學(xué)分析、控制與同步[M]. 北京： 科學(xué)出版社?2003.

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[12]朱從旭?胡玉平?孫克輝.?基于超混沌系統(tǒng)和密文交錯(cuò)擴(kuò)散的圖像加密新算法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào)，2012，34（7）：1735-1743.

（編輯：王?萍）