黃 博， 李琪群,3， 凌道盛， 王 宇

(1.浙江大學 建筑工程學院巖土工程研究所，杭州 310058； 2.浙江大學 軟弱土與環(huán)境土工教育部重點實驗室，杭州 310058；3.中交第四航務工程勘察設計院有限公司，廣州 510230)

場地土體是地震災變傳播的媒介和承災體。一般認為，地震的破壞作用主要是由基巖豎直向上傳播的剪切波引起的?；谶@種認識，對土體在地震作用下動力響應的研究，多采用Seed等[1-4]提出的簡化方法，通過動單剪或動三軸儀在試樣上施加等效振次的正弦波，模擬垂直入射時SV波在土單元體上產生的水平往復剪應力作用。

隨著土工儀器功能的進步，研究地震波的隨機性、多向性等特征下的土體動力響應特性成為可能。Ishihara等[5]將不規(guī)則地震波分為沖擊型波和振動型波，通過動三軸試驗證實兩種類型地震波對飽和砂土液化特性影響顯著；袁曉銘等[6-7]進一步通過室內動力試驗、有限元數值方法研究了地震波加載次序、不對稱性、加載方向、地震波類型、加載維數等，發(fā)現這些因素對土體動力變形的影響非常顯著。在較早研究地震多向性對土體動力特性影響的學者中，Ishihara等[8]利用動單剪儀對飽和砂土進行了不同相位差下的雙向動剪切試驗，試驗顯示雙向振動時砂土的動強度更低；Pyke等[9]進行的干砂單、雙及三向振動試驗表明多向振動的震陷量更大；谷川等[10]利用變圍壓動三軸試驗模擬了垂直入射的P波和SV波的耦合作用。研究表明多向振動下土體的動強度要比單向振動時下降20%～30%，超靜孔壓的累積速率明顯加快，變形增大，更易發(fā)生液化。

上述研究著重考慮的影響因素雖有所不同，但均基于地震波垂直入射假定。實際上，在大多數情況下地震為斜入射。Jin等[11]通過1933～1980年美國214個地震動記錄，分析得出一般基巖場地的地震波入射角大致為45°～75°，平均入射角和標準差為56.78°±6.77°；Takahiro等[16]根據日本24個強震記錄反演得出地震波近地表處的入射角平均值為38°，變化范圍為12.4°～54.1°。

土的動力特性與其動應力路徑有關。通過針對飽和砂土的動力空心圓柱扭剪試驗，丁浩等[12]指出圓形、橢圓形應力路徑下的不排水動強度低于循環(huán)扭剪和循環(huán)三軸。交通[14]與波浪荷載[15]等動載形成的復雜應力路徑對土體動力特性影響也非常顯著。

對SV波斜入射下動應力路徑變化規(guī)律的研究，是進行地震作用下土體動力特性研究的基礎，對深入了解土體動應變、動孔壓、動強度的變化發(fā)展規(guī)律具有重要意義?；趶椥圆▌永碚?，本文分析了SV波斜入射在場地中形成的動應力路徑形式，特別討論了SV波入射角大于臨界角的特殊情況。在此基礎上，分析了入射角、土體泊松比、單位波長深度等因素對動應力路徑形狀和大小的影響；并將本文方法與Seed給出的SV波垂直入射時產生的地震剪應力進行了對比。

1 斜入射SV波形成的應力路徑

1.1 入射角小于臨界角情況

基于彈性波動理論，P波和SV波斜入射在半無限空間的自由表面形成反射，地基土中任一點地震波引起的動應力是入射和反射波場的疊加。但不同的是，SV波斜入射存在一個臨界入射角，臨界角γc可由下式計算：

(1)

式中：vs為SV波波速；vp為P波波速；μ為土體泊松比。

當γ<γc時，入射SV波將產生反射SV波和反射P波。建立平面直角坐標系xoz，如圖1(a)所示，與P波斜入射時情況類似，入射和反射SV波的勢函數可表示為式(2)、(3)形式：

ψ-=B-exp[ik1(xsinγ-zcosγ-vst)]

(2)

ψ+=B+exp[ik2(xsinβ+zcosβ-vst)]

(3)

反射P波的勢函數表示為：

φ+=A+exp[ik(xsinα+zcosα-vpt)]

(4)

(a) γ<γc

(b) γ >γc圖1 斜入射地震波在自由表面的反射Fig.1 Reflection of obliquely incident seismic waves on free surface

根據Snell定律，各參數的關系可由視波數k0、視波速vo和反射介質常數K表達為：

(5)

B-、B+、A+為波幅，其相互間的比例關系可由半空間邊界條件：

(6)

確定為：

(7)

圖2 斜橢圓應力路徑示意圖Fig.2 Typical oblique elliptic stress path

1.2 入射角大于臨界角情況

當SV波入射角大于臨界角時，如圖1(b)所示，不存在通常意義上的反射P波，即反射角α不再是一實數角。因此將入射角γ和P波反射角α的大小定義為：

(8)

式中：i為虛數單位，

(9)

(10)

將式(8)代入式(4)，反射P波勢函數表示為：

φ+=A+exp(-rk0z)exp[ik0(x-v0t)]

(11)

式中：反射P波的波幅A+exp(-rk0z)是隨深度z呈指數減小的函數，這反映了反射P波的面波特性。

類似地，將式(8)分別代入式(2)、(3)，整理得入射、反射SV波的勢函數：

ψ-=B-exp[ik0(x-v0t)-ik0sz]

(12)

ψ+=B+exp[ik0(x-v0t)+ik0sz]

(13)

根據邊界條件(6)，推得反射P波、反射SV波與入射SV波的幅值比表達式為：

(14)

式中：

(15)

(16)

(17)

式中: 系數M1、M2、N1、N2均與ξ無關，分別為：

(18)

若將式(17)視為ξ的參數方程，且有M1N1+M2N2≡0，利用消去法與三角函數關系sin2ξ+cos2ξ=1可推得：

(19)

至此，從數學上證明了斜入射角γ>γc的SV波產生的動應力路徑在無量綱雙剪應力平面內的軌跡亦為斜橢圓。以rx、ry分別表示橢圓在雙剪應力X,Y方向上的半徑長：

(20)

圖3 γ>γc時形成的正橢圓應力路徑Fig.3 Induced positive elliptic stress path when γ>γc

(21)

描述橢圓的形狀。該比值可以直觀反映兩個剪應力分量的比例。圖4給出了ry/rx<1、ry/rx=1、ry/rx>1三種情況下的橢圓形狀。取橢圓中較大的半徑max{rx,ry}描述橢圓的大小，可以反映地震動應力水平。

圖4 不同ry/rx下應力路徑形狀Fig.4 Ellipse stress paths under different ry/rx

2 動應力路徑形狀分析

對式(20)、(21)以及式A-Ⅱ-(12)～ (14)的進一步分析可以發(fā)現，影響SV波斜入射產生的斜橢圓形動應力路徑的參量有入射角γ、泊松比μ和單位波長深度zf/vs。根據Yang等[20]對土體飽和度與泊松比的分析，本文泊松比μ考慮0.3，0.4，0.48三種情況，分別代表土體中等飽和、近似飽和完全飽和三種狀態(tài)。取淺層地基為研究對象，單位波長深度zf/vs變化范圍為0～0.5。

2.1 入射角小于臨界角情況

圖5給出了根據式(1)繪制的SV波臨界角與土體泊松比的關系曲線，土體越接近飽和，臨界角越小。當μ為0.3，0.4，0.48時，對應臨界角分別為11.31°、24.09°和32.30°。

圖5 SV波臨界角隨泊松比變化曲線Fig.5 Curve of SV-waves critical angle versus Poisson’s ratio

圖6給出μ=0.4，γ= 10°時斜橢圓路徑傾角θ和短長軸比δ隨zf/vs的變化曲線以及代表性點對應的應力路徑形狀示意。圖中曲線可分為三個變化階段。第Ⅰ段θ從0急劇增大到接近90°，δ從0呈線性增大到接近1，表明斜橢圓由扁平狀逐漸向正圓形變化，如圖中A到B點。第Ⅱ段占整條曲線的絕大部分，θ保持或接近90°，而δ經歷了從極大值(B點)降低到0(D點) 再逐漸增大至另一個極值(F點)的變化，這表明Ⅱ段應力路徑是長軸在Y軸附近而扁平率不斷變化的橢圓，如B～F點的應力路徑形狀變化。圖中D點δ為0，表示動應力僅有水平剪應力分量，沒有偏差正應力分量。第Ⅲ段斜橢圓變化趨勢則與第Ⅰ段相反，如F～G點應力路徑所示。

圖7給出了入射角γ=10°時，不同泊松比下橢圓路徑θ和δ隨zf/vs的變化曲線，圖8給出了μ=0.4時，不同入射角下橢圓路徑θ和δ隨zf/vs的變化?？梢?，小于臨界角時，θ或δ隨zf/vs的變化仍呈三個發(fā)展階段。隨入射角從1° 增大至20°，Ⅱ區(qū)間范圍縮小了36.6%，傾角θ的最大值有一定降低，但變化很小，僅3.8°；當泊松比從0.3變化至0.48，對Ⅱ區(qū)間范圍和傾角最大值均影響不大。在更接近地表的Ⅰ區(qū)間，入射角和泊松比的增大均使得斜橢圓形狀向水平剪應力分量占比減小的方向發(fā)展。

圖6 當γ=10°且μ=0.4時，θ和δ隨z f/vs變化曲線Fig.6 θ and δ develop with z f/vs when γ=10° and μ= 0.4

圖7 當γ=10°時，不同泊松比下θ和δ隨z f/vs變化曲線Fig.7 θ and δ develop with z f/vs varying at different Poisson’s ratio when γ=10°

2.2 入射角大于臨界角情況

γ>γc時，形成的動應力路徑均為正橢圓，僅需考察ry/rx的變化即可確定橢圓形狀。圖9給出了ry/rx隨zf/vs的典型變化模式(γ=10°,μ=0.4)。曲線的變化趨勢可大致分為兩段，第Ⅰ段ry/rx從0單調急劇增大至∞，由扁平橢圓變?yōu)樨Q直橢圓，如圖中A、B點，剪應力中偏差正應力分量所占比例不斷減小，而水平剪應力分量比例逐步增大；第Ⅱ段ry/rx從∞減小至0，橢圓路徑經歷了如圖B，C，D點的形狀變化，剪應力中兩個分量的占比變化恰與第Ⅰ段相反。其中，C點應力路徑為圓形、D點應力路徑為直線，可視為橢圓的特殊情況。在D點之后，ry/rx的變化周期性重復第Ⅰ、Ⅱ段的變化模式，此處不作贅述。

圖8 當μ=0.4時，不同入射角下θ和δ隨z f/vs變化曲線Fig.8 θ and δ develop with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

圖9 當γ=60°且μ=0.4時，ry /rx隨z f/vs變化曲線Fig.9 ry/rx develops with z f/vs when γ=60° and μ= 0.4

圖10給出了μ=0.4時，不同入射角下ry/rx隨zf/vs的變化。不同入射角下橢圓路徑也如圖9所示分成典型的兩階段變化。在μ=0.4下，隨入射角度從50°增大至89°，Ⅰ、Ⅱ段的橫坐標分界點zf/vs從0.031增大至0.106，ry/rx=0對應的D點出現位置也隨之增大了0.247。以入射角45°為界，45°以下至臨界角也有上述類似的規(guī)律，但其曲線段Ⅰ相比入射角50°以上時占據范圍更大。以30°為例，在本文考慮的zf/vs變化范圍0～0.5，幾乎均為區(qū)段Ⅰ占據。宏觀上，入射角增大使得處于區(qū)段Ⅰ的橢圓路徑朝水平剪應力分量占比減小的方向發(fā)展，區(qū)段Ⅱ反之。

圖10 當μ=0.4時，不同入射角下ry/rx隨z f/vs變化曲線Fig.10 ry /rx develops with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

入射角為45°是一特殊情況，如圖11(a)所示，此時半空間中不發(fā)生波型的轉換，即不產生反射P波，與此對應的rx、ry變化如圖11(b)所示，ry恒為0，即剪應力中只存在偏差正應力分量，其應力路徑與圖9中D點一致。

(a) 45°入射角在半空間中的反射情況

(b) 剪應力分量變化曲線圖11 45°入射角在半空間中特殊反射情況下的剪應力分量Fig.11 Special reflection and shear stress components with 45° incident angle in semi-infinite space

以γ= 60°為參考，圖12中給出了不同泊松比時ry/rx隨zf/vs的變化曲線。在本文的zf/vs考察范圍內，泊松比μ對應力路徑形狀影響很小，對Ⅰ區(qū)段無影響，在Ⅱ區(qū)段，隨μ增大ry/rx稍有增加，即水平剪應力分量占比有一定增大。

圖12 當γ=60°時，不同泊松比下ry/rx隨z f /vs變化曲線Fig.12 ry/rx develops with z f/vs varying at different Poisson’s ratio when γ= 60°

3 動偏應力幅分析

在多向振動時，通常以偏應力來衡量動應力的大小[21]，定義如下：

(22)

圖13 斜橢圓應力路徑的偏應力Fig.13 Deviator stress of obliquely elliptic stress path

3.1 入射角小于臨界角情況

如圖14所示，μ=0.4時，γ<γc下斜橢圓路徑長半軸長La隨zf/vs的變化可概括為“穩(wěn)-拋-穩(wěn)”，即中間段類似拋物線形，在本文的所取參數變化范圍內，La最大值為2左右。無量綱量zf/vs也可視為無量綱頻率，圖14中La達到峰值對應的最小zf/vs值為土體一階固有頻率，大致為0.25。由于土體阻尼的存在，相比于二階及其后的高階固有頻率，一階固有頻率對應的動應力幅值通常最大。結合圖7，一階固頻內的動應力主要是水平剪應力分量。隨入射角增大，一階固有頻率略有增加，而最大動應力水平稍有降低。μ對動偏應力幅影響普遍較小，曲線差別不大，不再一一給出圖形。

值得指出的是，在曲線起始段La并未從0開始，而是存在幅值幾乎不變的穩(wěn)定區(qū)，在該區(qū)域內La變化很小。結合圖7，地表淺層平穩(wěn)段對應于δ曲線的第Ⅰ段，動應力以偏差正應力分量為主。說明偏差正應力受zf/vs影響較小。但該段隨入射角增加La提升明顯，是近垂直入射的十數倍。在曲線末段同樣也存在類似的幅值穩(wěn)定區(qū)，考慮到半波長深度土體自重應力也隨之增大，同樣的動應力水平下，地表淺層區(qū)域動應力比更大，因此更為危險。

圖14 當μ=0.4時，不同入射角下La隨z f /vs變化曲線(γ<γc)Fig.14 La develops with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

3.2 入射角大于臨界角情況

圖15給出了μ=0.4時，γ>γc下max{rx,ry}隨zf/vs的變化。在本文研究的參數變化范圍內，曲線表現為明顯的“降-穩(wěn)-拋”三段式，即起始段隨zf/vs增大呈線性下降，中間段隨zf/vs稍有增大，這兩段僅占整條曲線的很小部分。起始段max{rx,ry}減小是由于近地表處P波波幅的迅速衰減所致，結合圖10，此時的動應力以偏差正應力分量為主。說明偏差正應力反而受zf/vs影響明顯，不同于γ<γc的情況。第三段呈拋物線，不僅占整條曲線的絕大部分，且max{rx,ry}變化幅度也最大，同樣的，在本文的所取參數變化范圍內max{rx,ry}峰值在2左右。隨著入射角度增大max{rx,ry}峰值下降，當入射角度為80°～90°，即近水平入射時，在半波長深度范圍內max{rx,ry}不超過0.5，動應力水平整體較低。

入射角為45°的特殊情況，從圖11(b)的rx,ry曲線變化表明此時僅有剪應力分量τxz，即max{rx,ry}=ry，其隨無量綱深度呈拋物線變化如ry曲線。相近角度下具有類似的特性，如40°情況下的曲線與γ<γc情況相似，泊松比的變化對動剪應力水平影響很小。限于篇幅，不一一給出相應曲線。

圖15 當μ=0.4時，不同入射角下La隨z f/vs變化曲線(γ>γc)Fig.15 La develops with z f/vs varying at different incident angle when μ= 0.4

3.3 與Seed方法計算的地震剪應力比較

Seed-Idriss[4]對垂直向入射SV波采用下式計算地震峰值動剪應力：

(23)

黃博等[17]將入射波頻率1 Hz，泊松比0.42等參數值代入，比較了7度地震(地表峰值加速度0.1 g)時，采用本文方法和Seed方法計算的SV波垂直入射產生的地震動剪應力。結果表明：對于密度1 800 kg/m3的土體，將剪切波速取300 m/s以上便可視為Seed-Idriss假定的剛性地基，將剪切波速取80 m/s左右便與剛度修正結果基本吻合，能反映淺層土體的平均剛度。這也從側面說明本文方法的正確性。

為比較斜入射SV波引起的地震動應力大小，圖16給出了土體泊松比為0.3、0.4、0.48，質量密度1 800 kg/m3、剪切波速80 m/s時，SV波不同角度入射時峰值動偏應力幅隨深度的關系曲線，其中斜入射波的波幅、波頻同黃博等研究保持一致。圖中，Seed-Idriss修正剛度法足夠將大部分工況下的最大動偏應力包括在內，但在入射角度20°～40°之間，12 m深度以內的淺層地基出現無法包絡在內的更不利情況，動應力大于其它情況，是危險的入射角范圍。當泊松比取值為0.4時，30°入射角產生的動偏應力最大，分別是泊松比0.3、0.48時的1.3倍～1.9倍和1.04倍～1.15倍?；谏鲜鼋Y果可初步推斷，近似飽和的地基在SV波30°左右斜入射工況下最為危險。

(a) μ= 0.3

(b) μ= 0.4

(c) μ= 0.48圖16 不同入射角度、泊松比下動偏應力幅值隨深度的變化Fig.16 Dynamic deviatoric stress amplitude varies with depth under different incident angle and Poisson’s ratio

4 結 論

SV波存在一個臨界角，這使得斜入射SV波形成的應力路徑在入射角大于和小于臨界角時具有不同特征。當入射角小于臨界角時，單位波長深度范圍內應力路徑以豎直扁橢圓形式為主，水平剪應力分量是主要的剪應力形式，當入射角大于臨界角時，則多為以偏差正應力為主的水平扁橢圓形式。

橢圓路徑的長半軸長La或max{rx,ry} 是SV波產生的動偏應力幅，代表了地震波引起的動應力水平，受泊松比的影響較小。當入射角小于臨界角時，0.25的單位波長深度下應力水平最高，長半軸達到2左右。入射角大于臨界角后，由于反射P波以面波形式存在，淺層區(qū)域延深度方向有明顯的動應力衰減跡象。至近水平入射，長半軸的值普遍低于0.5。近飽和的地基在斜入射角為20°～40°之間產生的動應力最大，且此時斜入射形成的動應力比傳統(tǒng)的Seed-Idriss計算方法得到的結果更大，最為危險。

可見，斜入射條件下，SV波引起的動應力路徑形式多變，動應力水平有可能更高。僅考慮地震波垂直入射還不足以涵蓋最危險的震災工況，對SV波斜入射條件下土體的動應力響應研究很有必要。

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附錄

Ⅰ單一SV波小于臨界角斜入射產生的地震動應力路徑形式

A-1-(1)

式中:M1、M2、N1、N2具體表達式如下，

A-Ⅰ-(2)

A-Ⅰ-(3)

對比斜橢圓方程的一般形式及條件：

Ax2+By2+2Cxy=1(C2-AB<0)

A-Ⅰ-(4)

Ⅱ小于臨界角動應力路徑特征參數解析表達式

數學上，斜橢圓的解析表達式可表示成由幾何參數構成的形式：

A-Ⅱ-(1)

如圖2所示，2La表示斜橢圓長軸長，2Lb表示斜橢圓短軸長。θ表示斜橢圓的傾斜角(長軸與X正半軸夾角，逆時針為正)，反映了橢圓的傾斜程度。短長軸之比δ=Lb/La也稱為橢圓率，反映橢圓扁平程度。A-Ⅱ-(1)式中中括號內的式子代表長半軸長為 1 的單位斜橢圓。因此θ、δ和La三個參數是斜橢圓的特征參數。

將式A-Ⅰ-(3)整理為式A-Ⅱ-(1)形式，從而得到SV波斜入射形成的無量綱斜橢圓應力路徑的特征參數表達式。該特征參數的表達式和具體推導過程如下：

AX2+BY2+2CXY=1

A-Ⅱ-(2)

A-Ⅱ-(3)

A-Ⅱ-(4a)

A-Ⅱ-(4b)

A-Ⅱ-(4c)

分析并聯(lián)立上述結果得：

A-Ⅱ-(5a)

A-Ⅱ-(5b)

A-Ⅱ-(6)

A-Ⅱ-(7)

A-Ⅱ-(8)

得到上述參數關系后，利用式A-Ⅰ-(2)繼而推導A，B，C的解析表達式如下：

A-Ⅱ-(9)

A-Ⅱ-(10)

A-Ⅱ-(11)

再利用A-Ⅱ-(5)～A-Ⅱ-(8)的關系式，可以最終推導出斜橢圓特征參數的解析表達式如下：

A-Ⅱ-(12a)

A-Ⅱ-(12b)

A-Ⅱ-(13)

A-Ⅱ-(14)

Ⅲ符號表

x為半空間中水平坐標，

z為半空間中豎向坐標(深度)，

σx為水平動正應力，

σz為豎向動正應力，

τxz為水平動剪應力，

τmax為峰值水平動剪應力，

(σ1-σ3)/2為動偏應力，

X= (σz-σx)/(2A-ρω2)為無量綱偏差正應力，

Y=τxz/(A-ρω2)為無量綱水平剪應力，

α為P波反射角，

γ為SV波入(反)射角，

γc為SV波臨界角，

ψ+、ψ-為SV波勢函數，下標“-”指入射波，“+”指反射波，下同。

φ+為P波勢函數，

B-、B+為SV波波幅，

A+為P波波幅，

k0為視波數，

k、k1、k2為波數，分別對應于反射P波、入(反)射SV波，

ω、ω1、ω2為圓頻率，與波數下標相對應，

f為波頻，

vp為P波波速(或壓縮波波速)，

vs為SV波波速(或剪切波波速)，

zf/vs為單位波長深度(或無量綱頻率)，

ux為坐標x方向(水平向)的位移，

uz為坐標z方向(豎直向)的位移，

amax為水平向地表加速度，

g為重力加速度，

λ為拉梅常數，

G為土體剪切模量，

ρ為土體質量密度，

γs為土體容重，

μ為土體泊松比，

M1、M2、N1、N2為斜橢圓參數方程系數，

A，B，C為斜橢圓一般方程系數，

La為長半軸，

Lb為短半軸，

θ為斜橢圓傾角，

δ=Lb/La為斜橢圓短長軸比，

ry為Y方向斜橢圓半徑，

rx為X方向斜橢圓半徑。