張?zhí)烊?齊改娣 穆鑫

【摘要】本文主要說明幾何畫板在代數(shù)中函數(shù)圖像與性質(zhì)的課堂探究教學(xué)的優(yōu)化，幾何畫板優(yōu)化課堂教學(xué)的類型及結(jié)構(gòu)和幾何畫板中的參數(shù)建立及控制.

【關(guān)鍵詞】幾何畫板；動(dòng)態(tài)繪圖；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要組成部分.函數(shù)是代數(shù)核心主線，本文主要介紹幾何畫板軟件在函數(shù)教學(xué)中的優(yōu)化方法.幾何畫板不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)工具，同時(shí)也可以用來做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探索一些數(shù)學(xué)現(xiàn)象，或得到一些數(shù)學(xué)猜想.

一、基本函數(shù)圖像的繪制

在傳統(tǒng)教學(xué)中教師還是更多的畫靜態(tài)函數(shù)圖像，這樣隨意性大，不利重現(xiàn)，視野狹窄，學(xué)生很難從特殊的有限的情況理解圖像的性質(zhì).但是，利用幾何畫板可以直接繪制任意給出表達(dá)式的函數(shù)圖像且巧繪一類函數(shù)圖像.基本流程：建立參數(shù)—建立基于參數(shù)的函數(shù)—生成動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像—改變參數(shù)動(dòng)態(tài)研究函數(shù)性質(zhì).其優(yōu)點(diǎn)是基于參數(shù)的動(dòng)態(tài)函數(shù)圖像有利于相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的獲得.

案例1改變參數(shù)a的值，可以理解指數(shù)函數(shù)a的要求且能得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

二、在動(dòng)態(tài)中探究函數(shù)的性質(zhì)

幾何畫板在優(yōu)化代數(shù)課堂教學(xué)方面通過建立與教學(xué)有關(guān)的情境，將學(xué)生帶入新知準(zhǔn)備狀態(tài)，滿足不同認(rèn)知風(fēng)格，強(qiáng)化理解表達(dá)，增強(qiáng)體驗(yàn)和互動(dòng)，形成集體記憶.

案例2觀察并抽象出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B的圖像與性質(zhì).

1.學(xué)生利用幾何畫板，畫出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（A>0，ω>0）的圖像.

2.通過動(dòng)態(tài)繪圖功能，通過小組分工，利用控制變量法，觀察參數(shù)對(duì)函數(shù)圖像的影響，即控制三個(gè)變量，拖動(dòng)參數(shù)使其變化，引導(dǎo)學(xué)生觀察A，ω，φ，B對(duì)圖像的影響.

3.在電腦圖形的不斷變化、學(xué)生之間的互相討論、教師的點(diǎn)撥指導(dǎo)中，歸納總結(jié)自己的知識(shí)體系，構(gòu)建圖像變換的有關(guān)知識(shí).結(jié)合大膽猜想，主動(dòng)探究，直觀感知參數(shù)對(duì)圖像的影響，從而找到其與正弦曲線的關(guān)系.

三、運(yùn)算的可視化及其應(yīng)用

在課堂講評(píng)中，常需配圖，手工作圖快則不準(zhǔn)，準(zhǔn)則不快.怎樣又快又準(zhǔn)，在動(dòng)態(tài)圖形中發(fā)現(xiàn)更多規(guī)律？

案例3已知函數(shù)f（x）=ax3-3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則a的取值范圍是（）.

A.（2，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）

D.（-∞，-1）

分析教師可以先讓學(xué)生通過建立參數(shù)作出函數(shù)圖像，改變a的值觀察函數(shù)圖像及其導(dǎo)函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生找到這道題的做題思路，這樣比傳統(tǒng)教學(xué)效果會(huì)更好.

在傳統(tǒng)教學(xué)中函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容學(xué)生很難理解，好多教師為了應(yīng)試直接講結(jié)論，結(jié)果缺乏定理性質(zhì)的生成過程，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了很大的困難.怎樣利用幾何畫板優(yōu)化課堂教學(xué)呢？

我們可以循序漸進(jìn)，首先，研究具體三次函數(shù)，其次，研究一般的三次函數(shù).可以由學(xué)生利用幾何畫板操作生成、演示，通過動(dòng)態(tài)計(jì)算功能，繪制函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)圖像，研究函數(shù)圖像與其導(dǎo)函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，可以總結(jié)函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、零點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、極值之間的關(guān)系.最后，總結(jié)到一般的函數(shù).這樣給學(xué)生提供一個(gè)充分探究的環(huán)境，在生成過程中多花時(shí)間，讓學(xué)生多觀察、多理解、多體會(huì)，這樣效果會(huì)更好.

案例4

環(huán)節(jié)一：具體三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、零點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、極值之間的關(guān)系.

讓學(xué)生操作：用幾何畫板的繪圖繪制新函數(shù)f（x）=x3-x2-x+5的圖像，然后右鍵單擊幾何畫板上f（x）=x3-x2-x+5文本框，選擇定義導(dǎo)數(shù)，可以建立f′（x）的圖像且是導(dǎo)函數(shù)圖像，作出f′（x）與x軸的交點(diǎn).讓小組討論，展示：

1.f（x）的單調(diào)性與f′（x）的正負(fù)之間的關(guān)系；

2.f（x）的極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)及在這個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律.

環(huán)節(jié)二：利用導(dǎo)數(shù)研究一般三次函數(shù)的性質(zhì).

學(xué)生操作新建四個(gè)參數(shù)a，b，c，d，使其繪制可控制的動(dòng)態(tài)函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d圖形、右鍵單擊幾何畫板上f（x）=ax3+bx2+cx+d文本框，選擇定義導(dǎo)數(shù)，可以建立f′（x）的圖像且是導(dǎo)函數(shù)圖像，作出f′（x）與x軸的交點(diǎn)，求出其零點(diǎn)，借助幾何畫板，學(xué)習(xí)小組改變變量，對(duì)三次函數(shù)圖像特征進(jìn)行探索，讓小組討論：

1.何時(shí)f（x）為單調(diào)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)f′（x）零點(diǎn)之間的關(guān)系.

2.變化f（x）的參數(shù)，觀察函數(shù)圖像，可以發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)圖像為中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)與導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)橫坐標(biāo)相關(guān).

環(huán)節(jié)三：利用三次函數(shù)推廣到任意函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、零點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、極值之間的關(guān)系.

四、幾何畫板與代數(shù)教學(xué)優(yōu)化的課堂形式及結(jié)構(gòu)

幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)有效整合的課堂教學(xué)的基本形式，可分為3種類型：知識(shí)講解型、構(gòu)建型、推理演算型.

1.知識(shí)講解型.根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)幾何畫板課件，通過幾何畫板用動(dòng)畫呈現(xiàn)概念或知識(shí)的演變過程，可以培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合的能力.

2.構(gòu)建型.提供思維支架，豐富思維訓(xùn)練，增強(qiáng)體驗(yàn)與互動(dòng)，豐富練習(xí)機(jī)會(huì).

3.推理演算型.利用幾何畫板開展研究性學(xué)習(xí)，來揭示某一數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生、發(fā)展和變化的過程，化靜為動(dòng)，使過程直觀化，化難為易，使抽象問題具體化.

優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)包括5個(gè)環(huán)節(jié)：① 提供情境，引起關(guān)注；② 觀察操作；③ 加強(qiáng)學(xué)生的體驗(yàn)與互動(dòng)；④ 系統(tǒng)歸納呈現(xiàn)邏輯；⑤ 反饋調(diào)節(jié)，形成集體記憶.

五、幾何畫板應(yīng)用的原則

1.實(shí)效的原則：教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成為關(guān)鍵，通過幾何畫板展示數(shù)學(xué)公式、定理及函數(shù)表達(dá)式的內(nèi)涵，使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì).利用幾何畫板可以實(shí)現(xiàn)言傳、意會(huì)、眼觀的綜合效果，化抽象為直觀.

2.適宜的原則：找準(zhǔn)運(yùn)用信息技術(shù)解決教學(xué)問題的契合點(diǎn)，應(yīng)該在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)刻以恰當(dāng)?shù)男问匠霈F(xiàn)，要讓幾何畫板成為學(xué)生重要的認(rèn)知工具.

3.輔助性原則：學(xué)生始終是主體，應(yīng)注重設(shè)計(jì)學(xué)生的有效活動(dòng)，應(yīng)考慮每一名學(xué)生的發(fā)展，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.

4.適度的原則：生成與預(yù)設(shè)在于可以即時(shí)驗(yàn)證想法，但是問題的證明還需要使用解析法，教師要將傳統(tǒng)方法與幾何畫板相結(jié)合.

五、幾何畫板中的參數(shù)建立及控制

幾何畫板中的參數(shù)是不同于度量值和計(jì)算值的能夠獨(dú)立存在的一種數(shù)值，它的建立不依靠具體的對(duì)象.使用參數(shù)可以進(jìn)行計(jì)算、構(gòu)造可控制的動(dòng)態(tài)圖形、建立動(dòng)態(tài)的函數(shù)解析式、控制圖形的變換、控制對(duì)象的顏色變化.

1.新建參數(shù)有兩種方法：通過圖表—新建參數(shù)：通過度量—計(jì)算—數(shù)值下拉菜單—新建參數(shù).

2.參數(shù)的控制：

（1）選中工作區(qū)中的參數(shù)—按小鍵盤上的“+”或“-”鍵.

（2）雙擊工作區(qū)中的參數(shù)—編輯參數(shù)值.

（3）選中參數(shù)—編輯—操作類按鈕—?jiǎng)赢嫛\(yùn)動(dòng)參數(shù)的屬性對(duì)話框.

（4）選中參數(shù)—顯示—顯示運(yùn)動(dòng)控制臺(tái).

用幾何畫板優(yōu)化代數(shù)課堂教學(xué)，要以課堂教學(xué)為主線，以優(yōu)化教育教學(xué)方式和關(guān)鍵環(huán)節(jié)為重點(diǎn)，以改善教育教學(xué)行為為目的，將幾何畫板與實(shí)踐應(yīng)用相結(jié)合，促進(jìn)其與教育教學(xué)深度融合.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]伍春蘭.基于“幾何畫板”的中學(xué)數(shù)學(xué)課堂“探究學(xué)習(xí)”的實(shí)踐與探索[J].北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004（4）：69-75.endprint