程含渺, 李紅斌, 徐 晴, 紀(jì) 峰, 陳 剛 , 田正其

(1. 國(guó)家電網(wǎng)公司電能計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司電力科學(xué)研究院), 江蘇 南京 210019；2. 華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430074)

0 引言

元素為隨機(jī)變量的矩陣稱為隨機(jī)矩陣，最初源于數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究，經(jīng)過(guò)數(shù)十年發(fā)展，隨機(jī)矩陣?yán)碚撝鸩酵晟啤?0世紀(jì)50年代，物理學(xué)家Wigner證明了半圓律[1-2]。1976年，馬爾琴科和帕斯圖證明了馬爾琴科-帕斯圖(M-P)定理[3]。目前，隨機(jī)矩陣?yán)碚撘褢?yīng)用于核物理、多元統(tǒng)計(jì)、無(wú)線電通信、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域[4-10]。近兩年，電力數(shù)據(jù)分析引入了大數(shù)據(jù)方法[11-15]，高維隨機(jī)矩陣作為一種處理工具，也開(kāi)始嶄露頭角。

文獻(xiàn)[16]首次用高維隨機(jī)矩陣對(duì)電網(wǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析。文獻(xiàn)[17—18]在此基礎(chǔ)上，著重研究了高維隨機(jī)矩陣在負(fù)荷關(guān)聯(lián)分析的應(yīng)用。文獻(xiàn)[19]研究了高維隨機(jī)矩陣在廣域量測(cè)數(shù)據(jù)異常檢驗(yàn)方面的應(yīng)用。文獻(xiàn)[20]研究了使用高維隨機(jī)矩陣方法評(píng)估變壓器運(yùn)行健康狀態(tài)，并將其與傳統(tǒng)方法進(jìn)行了比較。

雖然高維隨機(jī)矩陣?yán)碚撛跔顟B(tài)評(píng)估方面的研究文獻(xiàn)較多，但在基礎(chǔ)性方面還不完善：(1) 沒(méi)有描述高維隨機(jī)矩陣的適用性；(2) 評(píng)估判據(jù)指標(biāo)只有平均譜半徑(mean spectral radius，MSR)；(3) 數(shù)據(jù)處理步驟復(fù)雜。文中在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，提煉了高維隨機(jī)矩陣的應(yīng)用條件，闡述了應(yīng)用方法，提出了另2個(gè)狀態(tài)評(píng)估指標(biāo)量，討論了單環(huán)定理的編程步驟，以電力設(shè)備健康狀態(tài)評(píng)估和電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)評(píng)估為例進(jìn)行了應(yīng)用仿真。

1 高維隨機(jī)矩陣數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

高維隨機(jī)矩陣?yán)碚搶儆诙嘣y(tǒng)計(jì)學(xué)研究領(lǐng)域，極限譜分布是其重要研究?jī)?nèi)容，以下介紹與狀態(tài)評(píng)估密切相關(guān)的2個(gè)重要譜分布[21-24]。

1.1 馬爾琴科-帕斯圖定理

令隨機(jī)矩陣X=(xij)n×m，矩陣X任意列中的元素xkj(k=i,j=1,2,…)是均值為0，方差為σ2的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，則矩陣X的樣本協(xié)方差矩陣定義為：

(1)

式中：xk為矩陣Xn的第k列。在一般情況下，矩陣Xn的樣本協(xié)方差也可以簡(jiǎn)單定義為：

(2)

式中：Sn為Wishart矩陣。當(dāng)m/n→c∈(0,∞)，Sn的極限譜分布依概率收斂到概率密度函數(shù)為式(3)的譜分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱為M-P律，且當(dāng)σ2=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)M-P律。

(3)

1.2 單環(huán)定理

假設(shè)隨機(jī)矩陣A=(xij)n×n可以分解為A=PTQ，其中P和Q為n階Haar酉矩陣，T是對(duì)角陣，對(duì)角線元素是A的奇異值。當(dāng)滿足一定的條件時(shí)，矩陣A的極限譜分布由其奇異值的概率測(cè)度唯一確定，且特征值在復(fù)平面上收斂到圓環(huán)，圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為：

(4)

式中：v為矩陣A的奇異值的概率測(cè)度。在實(shí)際應(yīng)用中，考慮矩陣A=(xij)∈Cp×N為非-Hermitian矩陣，其元素為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且矩陣A的列向量滿足均值為0、方差為1。對(duì)于L個(gè)矩陣Ai，定義矩陣乘積Z為：

(5)

式中：Au,i為Ai的奇異值等價(jià)矩陣。將矩陣Z標(biāo)準(zhǔn)化為Zstd，使其滿足σ2(zi)=1/N，則Zstd的極限譜分布依概率收斂到概率密度函數(shù)為式(6)的譜分布函數(shù)。

(6)

式中：λz為特征值；d為p/N∈{(0,1]，p,N→∞}。Zstd的特征值在復(fù)平面的分布是一個(gè)圓環(huán)，內(nèi)環(huán)半徑為(1-d)L/2，外環(huán)半徑為1。

2 高維隨機(jī)矩陣應(yīng)用方法

2.1 適用條件

一般來(lái)說(shuō)，表征系統(tǒng)狀態(tài)的可測(cè)狀態(tài)參量有N個(gè)，假設(shè)分別為{P1,P2,…,PN}，可測(cè)是指可以直接或間接測(cè)量?，F(xiàn)對(duì)可測(cè)狀態(tài)參量Pi(i=1,2,…,N)與系統(tǒng)狀態(tài)的關(guān)系作如下3個(gè)一般性假設(shè)。

(1) 理想狀態(tài)下，N個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量保持基本恒定不變，僅在均值水平附近正態(tài)隨機(jī)波動(dòng)，且這種隨機(jī)波動(dòng)過(guò)程是平穩(wěn)的，則第i個(gè)狀態(tài)參量在任意時(shí)刻的測(cè)量值pim為：

pim=μ(pi)+εi

(7)

式中：μ(pi)為第i個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量的均值水平；εi為第i個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量的隨機(jī)波動(dòng)量；波動(dòng)量應(yīng)滿足μ(εi)=0，σ2(εi)=const(const為常量)。

(2) 若第i個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量的測(cè)量值出現(xiàn)異常波動(dòng)，不再是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)波動(dòng)，即μ(εi)≠0或σ2(εi)≠const，則懷疑該系統(tǒng)的狀態(tài)存在變化。

(3) 若有多個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量出現(xiàn)(2)所描述的情況，則有更加充分的理由懷疑系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生了變化。

需要說(shuō)明的是，當(dāng)應(yīng)用條件不滿足上述基本假設(shè)條件時(shí)，可以對(duì)可測(cè)量進(jìn)行適當(dāng)變換。例如，在文獻(xiàn)[19]中，對(duì)變壓器各狀態(tài)參量的測(cè)量數(shù)據(jù)用AR(1)、ARMA(1,1)等低階模型擬合，再求殘差序列，用殘差值構(gòu)建高維隨機(jī)矩陣。

2.2 高維矩陣構(gòu)建方法

假設(shè)在狀態(tài)評(píng)估時(shí)間窗內(nèi)，對(duì)系統(tǒng)的K個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量測(cè)量T次，則在截取的時(shí)間窗內(nèi)，所有測(cè)量數(shù)據(jù)可以構(gòu)成K行T列矩陣：

(8)

式中：矩陣D的元素xij表示第i個(gè)可測(cè)狀態(tài)參量在j時(shí)刻的測(cè)量值。當(dāng)K和T充分大，并且K和T是同一數(shù)量級(jí)時(shí)，矩陣D是一個(gè)高維隨機(jī)矩陣。對(duì)矩陣D進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使標(biāo)準(zhǔn)化之后的矩陣Dstd=(yij)K×T滿足：

(9)

式中：yi=(yi1,yi2,…,yiT),1≤i≤K，則矩陣Dstd一般為非-Hermitian矩陣。當(dāng)K,T→∞且K/T→c時(shí)，矩陣Dstd滿足如下性質(zhì)：(1) 樣本協(xié)方差矩陣的極限譜分布滿足標(biāo)準(zhǔn)M-P律；(2) 奇異值等價(jià)矩陣通過(guò)Haar酉矩陣變換得到的標(biāo)準(zhǔn)化乘積矩陣應(yīng)滿足標(biāo)準(zhǔn)單環(huán)定理。

可以通過(guò)檢驗(yàn)Dstd是否滿足上述性質(zhì)來(lái)評(píng)估設(shè)備或系統(tǒng)的可測(cè)狀態(tài)參量是否發(fā)生異常波動(dòng)。為了檢驗(yàn)Dstd是否偏離上述性質(zhì)，需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)量作為評(píng)估判據(jù)指標(biāo)。

2.3 評(píng)估判據(jù)指標(biāo)

2.3.1 譜分布概率密度函數(shù)相似度判據(jù)

假設(shè)正常狀態(tài)時(shí)，由狀態(tài)量測(cè)量值構(gòu)成的隨機(jī)矩陣的樣本協(xié)方差矩陣為S1，S1的特征值分布概率密度函數(shù)為f1(x)。當(dāng)狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，其狀態(tài)量測(cè)量值構(gòu)成的隨機(jī)矩陣的樣本協(xié)方差矩陣為S2，S2的特征值分布概率密度函數(shù)為f2(x)。顯然，狀態(tài)變化前后的S1和S2有差異，對(duì)應(yīng)的f1(x)和f2(x)也會(huì)有差異。因此，可以將f1(x)和f2(x)的差異程度作為狀態(tài)變化的定量評(píng)估判據(jù)指標(biāo)。

設(shè)有2個(gè)概率密度函數(shù)f1(x),x∈[b1,h1]和f2(x),x∈[b2,h2]，定義概率密度函數(shù)的差異程度υ為：

(10)

式中：B=min(b1,b2)，H=min(h1,h2)。υ越小表示2個(gè)概率密度函數(shù)的差異越小。在實(shí)際應(yīng)用中，可以將f1(x)和f2(x)分別與標(biāo)準(zhǔn)M-P律求差異度，再比較兩個(gè)差異度的大小。

2.3.2 特征值線性統(tǒng)計(jì)量判據(jù)

正常狀態(tài)下，服從單環(huán)定理的特征值會(huì)均勻分布在圓環(huán)內(nèi)，若狀態(tài)發(fā)生異常變化，特征值分布會(huì)隨之變化，分布不再均勻，導(dǎo)致圓環(huán)的形態(tài)改變。因此，可以使用特征值的分布環(huán)半徑以及分布集中程度作為狀態(tài)是否變化的評(píng)估判據(jù)指標(biāo)，通常用矩統(tǒng)計(jì)量表征。

假設(shè)隨機(jī)變量的一個(gè)樣本為X={X1,X2,…,Xn}，則該樣本的k階中心矩αk為：

(11)

式中：E(X)為樣本期望。同理，可以定義樣本的k階原點(diǎn)矩βk為：

(12)

對(duì)于隨機(jī)矩陣的n階樣本協(xié)方差矩陣Sn×n，若Sn×n的特征值為λ={λ1,λ2,…，λn}，其一階原點(diǎn)矩的物理意義是平均譜半徑，二階中心矩的物理意義是特征值距離平均譜半徑的距離平方和。因?yàn)樘卣髦捣植荚郊?，平均譜半徑越大，所以可以采用一階原點(diǎn)矩β1和二階中心矩α2作為狀態(tài)評(píng)估判據(jù)指標(biāo)。

3 單環(huán)定理編程步驟

單環(huán)定理編程步驟實(shí)際上也是高維測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法，文獻(xiàn)[16—20]已經(jīng)進(jìn)行了具體闡述，但過(guò)程復(fù)雜。文中在上述文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上，對(duì)編程步驟作了進(jìn)一步討論。

依照單環(huán)定理的描述，在獲得原始數(shù)據(jù)矩陣X之后，應(yīng)求取矩陣T，具有以下性質(zhì)[23-24]：(1) 是一個(gè)對(duì)角矩陣；(2) 對(duì)角線元素是矩陣A的奇異值；(3) 矩陣A是將T用2個(gè)Haar酉矩陣進(jìn)行變換得到。根據(jù)單環(huán)定理的描述，在使用數(shù)學(xué)工具如Matlab編程時(shí)，具體步驟如下:

(1) 將n個(gè)變量的測(cè)量數(shù)據(jù)xi(ti)按照時(shí)間順序排列，再分段截取構(gòu)成待處理的原始高維矩陣X；

(2) 用奇異值分解函數(shù)對(duì)原始矩陣X作奇異值分解，得到對(duì)角矩陣Xsng，該過(guò)程不依賴Haar酉矩陣；

(3) 生成2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)Haar酉矩陣U和V，按照式(13)將Xsng變換為矩陣Zorg：

Zorg=UXsngV

(13)

(4) 將矩陣Zorg按照式(9)標(biāo)準(zhǔn)化得到Zstd，最后再求Zstd的特征值。

依照上述4個(gè)步驟，Zstd的特征值分布呈標(biāo)準(zhǔn)的單環(huán)。關(guān)于Haar酉矩陣的生成方法，可以參看文獻(xiàn)[25]，矩陣Zorg的標(biāo)準(zhǔn)化方法可以參看文獻(xiàn)[16—20]，在運(yùn)算過(guò)程中，還要注意矩陣的行列數(shù)符合矩陣運(yùn)算條件。

4 電力設(shè)備健康狀態(tài)評(píng)估

電力設(shè)備健康狀態(tài)往往由多個(gè)參量共同決定，變壓器的狀態(tài)參量包括油中溶解氣體、絕緣電阻、介質(zhì)損耗、油中微水等，斷路器狀態(tài)參量包括觸頭電磨損、分合閘線圈電流、開(kāi)斷行程等。將這些狀態(tài)量的測(cè)量值，構(gòu)建成高維隨機(jī)矩陣，則可以通過(guò)分析矩陣性質(zhì)評(píng)估電力設(shè)備健康狀態(tài)。

假設(shè)某電力設(shè)備的可測(cè)狀態(tài)參量有3個(gè)，記為P1,P2,P3。在正常狀態(tài)下，這3個(gè)可測(cè)狀態(tài)量在其均值附近隨機(jī)波動(dòng)。在某一時(shí)刻，由于狀態(tài)發(fā)生惡化，導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)量P3出現(xiàn)異常(或者可測(cè)狀態(tài)量P3出現(xiàn)異常，導(dǎo)致?tīng)顟B(tài)惡化)。3個(gè)狀態(tài)參量的測(cè)量數(shù)據(jù)曲線如圖1所示。

圖1 設(shè)備可測(cè)狀態(tài)參量的數(shù)據(jù)曲線Fig.1 Measured parameter data curve of equipment

圖中：信號(hào)幅值單位為1，采樣數(shù)據(jù)一共為1000組，假設(shè)在第500組采樣點(diǎn)處狀態(tài)量P3發(fā)生異常波動(dòng)，持續(xù)時(shí)間為500組采樣點(diǎn)。

4.1 第一組數(shù)據(jù)仿真

數(shù)據(jù)取自圖1中的1—500組采樣點(diǎn)，得到一個(gè)3×500矩陣，采用文獻(xiàn)[21]的矩陣擴(kuò)充方法將矩陣擴(kuò)充為300×500矩陣。根據(jù)M-P律和單環(huán)定理實(shí)施方法，得到的仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 第一組仿真結(jié)果Fig.2 The first simulation results

4.2 第二組數(shù)據(jù)仿真

數(shù)據(jù)取自圖1中的501—1000組采樣點(diǎn)，參照第一組仿真過(guò)程，得到的仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 第二組仿真結(jié)果Fig.3 The second simulation results

從2組仿真結(jié)果可以看出，第一組與第二組的仿真結(jié)果有明顯差異，具體表現(xiàn)在：(1) 第二組仿真結(jié)果出現(xiàn)了重大特征值，偏離M-P律的程度變大；(2) 第二組仿真結(jié)果中特征值超出圓環(huán)內(nèi)徑，環(huán)內(nèi)的特征值分布更分散。若將2.3.1中的3個(gè)定量評(píng)估判據(jù)指標(biāo)記為J1,J2,J3，分別計(jì)算兩組仿真結(jié)果的判據(jù)量化值，結(jié)果如表1所示。

表1 評(píng)估判據(jù)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果Tab.1 The calculation results of evaluation criterion

從表1可以看出，當(dāng)設(shè)備或系統(tǒng)的可測(cè)狀態(tài)量數(shù)據(jù)出現(xiàn)異常時(shí)，判據(jù)量化值具有顯著變化。第二組數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果與第一組相比：(1)J1變大，說(shuō)明第二組數(shù)據(jù)偏離M-P律的程度變大；(2)J2變小，說(shuō)明第二組數(shù)據(jù)的單環(huán)平均半徑變小，特征值向中心分散；(3)J3變大，環(huán)內(nèi)的特征值分布更分散。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，適當(dāng)選擇滑動(dòng)時(shí)間窗，實(shí)時(shí)計(jì)算3個(gè)評(píng)估判據(jù)指標(biāo)，得到3條指標(biāo)曲線，則可以根據(jù)曲線的波動(dòng)情況對(duì)設(shè)備狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估。

5 電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)評(píng)估

評(píng)估電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)一般需要依賴電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，但隨著電網(wǎng)規(guī)模越來(lái)越大，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變得越來(lái)越復(fù)雜，建模分析難度也隨之增大?？梢詫?duì)電網(wǎng)節(jié)點(diǎn)電壓數(shù)據(jù)構(gòu)建高維矩陣，通過(guò)分析矩陣性質(zhì)從而評(píng)估電網(wǎng)運(yùn)行狀態(tài)，從而實(shí)現(xiàn)依賴于電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的狀態(tài)評(píng)估，文獻(xiàn)[26]也進(jìn)行了類(lèi)似探索研究。采用Power System Toolbox(PST)仿真工具，針對(duì)圖4所示的新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)典型電力系統(tǒng)，對(duì)基于高維隨機(jī)矩陣?yán)碚摰碾娋W(wǎng)運(yùn)行異常狀態(tài)評(píng)估方法進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。仿真時(shí)間步進(jìn)設(shè)置為0.01 s，仿真時(shí)長(zhǎng)設(shè)置為2 s，假設(shè)在第1.8 s時(shí)，線路3-4發(fā)生對(duì)地三相短路故障，隨后故障恢復(fù)，1.85 s時(shí)清除近端故障告警，1.9 s時(shí)清除遠(yuǎn)端故障告警，相關(guān)斷路器先后合閘，母線節(jié)點(diǎn)電壓仿真結(jié)果如圖5所示。

圖4 新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.4 The New-England 10-generator 39-bus system

圖5 節(jié)點(diǎn)電壓仿真結(jié)果Fig.5 Simulation result of bus voltage

由圖5可知，在1.85 s故障發(fā)生時(shí)，各母線電壓出現(xiàn)了不同程度跌落，3號(hào)母線電壓跌落至零，距離3號(hào)母線越遠(yuǎn)，電壓跌落程度越小。用高維隨機(jī)矩陣的方法識(shí)別本次故障，第一組數(shù)據(jù)取第1 s內(nèi)的運(yùn)行結(jié)果，第二組數(shù)據(jù)取第2 s內(nèi)的運(yùn)行結(jié)果。參照式(8)，構(gòu)建39行100列的矩陣，計(jì)算結(jié)果如圖6所示，定量評(píng)估判據(jù)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果如表2所示。

圖6 高維隨機(jī)矩陣處理所得結(jié)果Fig.6 Results obtained after handling with large dimensional random matrices

表2 評(píng)估判據(jù)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果Tab.2 The calculation results of evaluation criterion

從仿真結(jié)果可以看出，與應(yīng)用于電力設(shè)備狀態(tài)評(píng)估的結(jié)果類(lèi)似，當(dāng)電網(wǎng)發(fā)生故障時(shí)，矩陣譜分布偏離M-P律和單環(huán)律，與電網(wǎng)正常狀態(tài)時(shí)的計(jì)算結(jié)果相比，有明顯差異。對(duì)于圖6中的第二組數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果而言，圖6(a)在15處出現(xiàn)異常特征值，圖6(b)的特征值分布超出圓環(huán)范圍。

6 結(jié)語(yǔ)

文中提煉了高維隨機(jī)矩陣應(yīng)用條件，即在系統(tǒng)正常穩(wěn)定時(shí)，其表征系統(tǒng)狀態(tài)的可測(cè)參量本身或經(jīng)處理后是平穩(wěn)隨機(jī)變量?？偨Y(jié)了高維隨機(jī)矩陣應(yīng)用方法，著重討論了單環(huán)定理實(shí)現(xiàn)步驟，其關(guān)鍵是第2步和第3步。列舉了兩個(gè)應(yīng)用實(shí)例，仿真結(jié)果表明，應(yīng)用高維隨機(jī)矩陣的方法，可以識(shí)別設(shè)備或系統(tǒng)狀態(tài)變化。本文對(duì)將高維隨機(jī)矩陣應(yīng)用于評(píng)估系統(tǒng)狀態(tài)的研究者具有參考價(jià)值。

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