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(浙江師范大學(xué)附屬寧波市四明中學(xué),浙江 寧波 315040)

●唐恒鈞

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院，浙江 金華 321004)

在信息化社會，學(xué)會學(xué)習(xí)已成為學(xué)校教育的一個(gè)重要目標(biāo)，而學(xué)生學(xué)習(xí)力的發(fā)展是實(shí)現(xiàn)學(xué)會學(xué)習(xí)的重要保障.文獻(xiàn)[1]提出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的結(jié)構(gòu)模型，其中3個(gè)基礎(chǔ)性要素為“知識與經(jīng)驗(yàn)”“思維與方法”“興趣與價(jià)值”[1].這事實(shí)上也為課堂教學(xué)的難點(diǎn)突破提供了指向.具體地，課堂教學(xué)的難點(diǎn)往往產(chǎn)生于3個(gè)方面：1)新學(xué)內(nèi)容本身過于抽象；2)學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)新學(xué)內(nèi)容的知識與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，缺少固著點(diǎn)；3)學(xué)生對新學(xué)內(nèi)容缺乏價(jià)值感.筆者正是基于這些方面的思考，通過課例的形式開展如下教學(xué)探索.

1 課例設(shè)計(jì)的背景與基本思想

“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”設(shè)置在《數(shù)學(xué)(必修1)》第2章借助圖像研究了基本初等函數(shù)的性質(zhì)之后和第3章應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題之前，為下節(jié)課“用二分法求方程的近似解”等算法的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備，起著承上啟下的作用，對于學(xué)生核心素養(yǎng)的提升與發(fā)展起著非常重要的推動作用.

由于學(xué)生認(rèn)知水平的局限性，學(xué)生對于圖像穿過x軸這種直觀感受不夠深刻，也缺乏用抽象的代數(shù)符號來描述這種現(xiàn)象的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，因此對于零點(diǎn)的存在性定理在理解上存在較大的困難.

在教學(xué)設(shè)計(jì)中遵循了以下思路：提高學(xué)生對函數(shù)的廣泛運(yùn)用以及函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)聯(lián)系的認(rèn)識，加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系，具體體現(xiàn)在結(jié)合函數(shù)的圖像、判斷方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，進(jìn)而探究函數(shù)零點(diǎn)存在的條件.為了突破難點(diǎn)，筆者嘗試通過借助信息技術(shù)手段，經(jīng)歷具體的二次函數(shù)到一般的二次函數(shù)再到一般的函數(shù)的過程，層層遞進(jìn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}[2]，自然地引出函數(shù)零點(diǎn)存在的兩個(gè)條件.

2 教學(xué)過程簡錄

問題1浙江省紹興市某日早晨2時(shí)的氣溫是-1 ℃，中午12時(shí)的氣溫是4 ℃，在這段時(shí)間內(nèi)，假設(shè)氣溫是均勻變化的，問是否存在某時(shí)刻的氣溫為0 ℃？你能從數(shù)學(xué)的角度來解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生熟悉的生活實(shí)際出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)的概念，得出該函數(shù)是一次函數(shù).教師追問函數(shù)的圖像，學(xué)生可能會忽視定義域[2，12]，回答是一條直線，教師及時(shí)糾正，再引導(dǎo)學(xué)生從形的角度觀察是一條穿過x軸的線段，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)(2,-1)與點(diǎn)(12,4)，又是連續(xù)不斷的，必然會與x軸相交，引導(dǎo)學(xué)生思考“如果從數(shù)的角度怎么解釋呢？”從而自然地引出本節(jié)課的課題.

問題2用幾何畫板展示方程x2-2x-3=0，x2-2x+1=0，x2-2x+3=0的根及對應(yīng)函數(shù)的圖像，再用動畫演示一元二次方程的一般形式中改變各系數(shù)時(shí)對應(yīng)的動態(tài)圖像.請大家觀察具體的一次、二次方程的根與對應(yīng)的函數(shù)圖像，你能發(fā)現(xiàn)這其中有什么關(guān)系嗎？這種關(guān)系能在一般形式的二次函數(shù)中成立嗎？

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生熟知的、具體的二次函數(shù)入手，在學(xué)生的最近思維發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，使新知識與原有知識形成聯(lián)系，并通過從具體到一般的認(rèn)知過程，自然地給出零點(diǎn)的概念.這樣做，既有利于學(xué)生掌握知識，又有助于學(xué)生抽象思維能力的形成，培養(yǎng)他們的歸納概括能力，同時(shí)用動畫演示非常形象生動，讓學(xué)生在直觀上對二次方程的根與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系有深刻的印象.

問題3方程的根、函數(shù)圖像與x軸是否有交點(diǎn)以及函數(shù)的零點(diǎn)之間有什么關(guān)系？除了二次函數(shù)之外，其他函數(shù)也有這種關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生討論得出在具體的二次函數(shù)中存在等價(jià)關(guān)系，事實(shí)上可以推廣到一般的二次函數(shù)中，進(jìn)而可以推廣到更一般的函數(shù)中，體會“具體到一般”的數(shù)學(xué)思想.教師在學(xué)生回答的過程中應(yīng)及時(shí)糾正引導(dǎo)，三者雖然是等價(jià)關(guān)系，但涵義是不相同的，并且等價(jià)關(guān)系具有傳遞性，即方程有實(shí)數(shù)根、函數(shù)圖像與x軸有交點(diǎn)以及函數(shù)有零點(diǎn)是相互等價(jià)的，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

問題4那又怎樣判斷函數(shù)有沒有零點(diǎn)呢？

設(shè)計(jì)意圖希望除了用方程有沒有根、函數(shù)圖像與x軸有沒有交點(diǎn)之外，尋求別的方法，自然地去探究零點(diǎn)的存在性定理.結(jié)果這里學(xué)生的回答比較出乎預(yù)料，從學(xué)生的回答中發(fā)現(xiàn)他們有根深蒂固的認(rèn)識，就是方程的根就只理解為一元二次方程的根，這也是知識負(fù)遷移的結(jié)果，教師應(yīng)引起重視.

問題5除了求相應(yīng)方程是否有根外，還可以用什么方法呢？請大家觀察函數(shù)y=x2-2x-3的圖像，你能發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？

(用動畫演示函數(shù)圖像上的動點(diǎn)從x軸上方穿過下方、再從下方穿過上方的動態(tài)的過程，同時(shí)用聲音突出顯示動點(diǎn)穿過零點(diǎn)所在的位置時(shí)的變化，以及用顏色顯示相應(yīng)端點(diǎn)函數(shù)值的符號變化，加深學(xué)生的直觀感受.)

問題6我們發(fā)現(xiàn)，二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3在區(qū)間[-2,1]和區(qū)間[2,4]內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，在這兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)圖像有什么共同點(diǎn)？函數(shù)值的變化有什么共同點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖希望學(xué)生得出函數(shù)圖像的共同點(diǎn)是“經(jīng)過x軸”，函數(shù)值的變化共同點(diǎn)是“在零點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)值異號”[3]，體現(xiàn)從形到數(shù)的思想，也體現(xiàn)出從動到靜的變化，但是學(xué)生對于把“穿過x軸的圖像特征”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)表示”是有很大難度的，對零點(diǎn)存在性定理的概括和準(zhǔn)確描述也是有困難的.于是組織學(xué)生討論：在區(qū)間[-2,1]內(nèi)，f(-2)>0，f(1)<0，函數(shù)值一正一負(fù)，在區(qū)間[2,4]內(nèi)，f(2)<0，f(4)>0，函數(shù)值一負(fù)一正，它們可以歸類為函數(shù)值異號.并進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)出用兩個(gè)函數(shù)值相乘為負(fù)(f(a)·f(b)<0)來表示異號.

問題7剛才發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)二次函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)上函數(shù)值異號時(shí)有零點(diǎn)，那函數(shù)值同號時(shí)的情況又怎樣呢？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生從直觀上感受發(fā)現(xiàn)函數(shù)值同號時(shí)可能有零點(diǎn)，也可能沒有零點(diǎn)，在此可以借助信息技術(shù)多展示一些基本的初等函數(shù)圖像，比如當(dāng)Δ=0時(shí)的二次函數(shù)圖像，為幫助學(xué)生理解零點(diǎn)存在性定理中的條件是充分不必要的做好準(zhǔn)備.

問題8進(jìn)一步把問題進(jìn)行推廣，在討論中發(fā)現(xiàn)：若二次函數(shù)在區(qū)間兩端點(diǎn)上的函數(shù)值異號時(shí)，則在這個(gè)區(qū)間有零點(diǎn)；若同號，則不一定不存在零點(diǎn).這個(gè)結(jié)論能推廣到一般的函數(shù)嗎？需要符合什么條件？

設(shè)計(jì)意圖對于函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理，由于高中不講“連續(xù)函數(shù)”的概念，不可能以有關(guān)連續(xù)的定義來進(jìn)行推理，《數(shù)學(xué)(必修1)》的教師教學(xué)用書也明確提出只要求學(xué)生理解并會用，不需給出證明，因此只需讓學(xué)生從直觀上再次體會“具體到一般”的思想，探究后自然地得出函數(shù)零點(diǎn)存在的兩個(gè)條件[4]，讓學(xué)生嘗試描述零點(diǎn)存在性定理，并完善補(bǔ)充.

在之后的教學(xué)中，通過4個(gè)辨析題加深對零點(diǎn)存在性定理的理解.因?yàn)榱泓c(diǎn)存在性定理中的條件對于結(jié)論而言是充分不必要的，而且結(jié)論是至少存在一個(gè)零點(diǎn)，要判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)又需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)進(jìn)行判斷，自然地引出下面教材例1中零點(diǎn)唯一性的討論.限于論文的主題，不再展開這些環(huán)節(jié)的教學(xué)描述.

3 若干反思

在本節(jié)課的教學(xué)中，筆者試圖從以下3個(gè)方面突破教學(xué)難點(diǎn)：首先，為了使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立在其經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，教學(xué)中采用了利用生活經(jīng)驗(yàn)理解數(shù)學(xué)問題及數(shù)學(xué)知識的策略，即在導(dǎo)入階段創(chuàng)設(shè)了“紹興一天溫度變化”這一生活情境，并要求學(xué)生從數(shù)學(xué)尤其是函數(shù)的角度理解這個(gè)問題，這既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在身邊，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣及價(jià)值感，同時(shí)也為后續(xù)新知識的理解提供了一個(gè)范例性的表征.

其次，為了減緩由于數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性給學(xué)生造成的困難，教學(xué)中采用了具體化的處理手段.具體地，課堂中讓學(xué)生從對一次函數(shù)、二次函數(shù)等熟悉的函數(shù)及相應(yīng)的方程的探索開始，初步歸納出結(jié)論，進(jìn)而推廣到一般函數(shù)及相應(yīng)方程中的結(jié)論.而在上述探究過程中，還利用信息技術(shù)，通過函數(shù)圖像上點(diǎn)的動態(tài)變化過程，讓學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)穿過x軸前后函數(shù)值的變化特點(diǎn)，使零點(diǎn)存在性定理這樣一個(gè)比較抽象的定理顯性化.

再次，通過過程性的經(jīng)驗(yàn)展現(xiàn)數(shù)學(xué)的思維過程，使逆向思維變得更容易.在零點(diǎn)存在性定理的發(fā)現(xiàn)過程中，需要應(yīng)用逆向思維，這對于學(xué)生而言是比較困難的.教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷從具體函數(shù)到一般函數(shù)的探索過程，使得逆問題的提出變得更為自然而有脈絡(luò)，而上述探索過程又為學(xué)生理解逆向問題提供了討論基礎(chǔ)與經(jīng)驗(yàn).

[1] 唐恒鈞,陳碧芬,張維忠.基于學(xué)習(xí)力視角的高中數(shù)學(xué)課程建設(shè)[J].當(dāng)代教育與文化,2016,8(2):17-21.

[2] 唐恒鈞.基于問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013(6):64.

[3] 章建躍.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育,2012(1/2):17.

[4] 魏仁洪.方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的教學(xué)實(shí)錄與教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)通訊，2016(8):30.