胡常福，何兵兵，石萃佳，任偉新

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復(fù)雜軸線拱結(jié)構(gòu)實(shí)用解析解研究

胡常福1，何兵兵1，石萃佳1，任偉新2

(1. 華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌，330013；2. 合肥工業(yè)大學(xué)土木與水利工程學(xué)院，安徽合肥，230009)

拱結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的解析解大多基于沿拱軸的曲線積分，當(dāng)拱軸線為非圓弧線時(shí)該曲線積分往往沒(méi)有閉合解析解。針對(duì)該問(wèn)題，提出近似曲線積分方法，將精確弧長(zhǎng)微分近似顯示表達(dá)，用以得到拱結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的實(shí)用解析解?；诒疚姆椒?，以包含大量復(fù)雜曲線積分的新型拱軸線彈性常數(shù)表達(dá)式及主拱圈自重、橋面系自重作用時(shí)內(nèi)力表達(dá)式為研究對(duì)象，推演得到其實(shí)用解析解，并以彈性常數(shù)精確曲線積分的數(shù)值解與內(nèi)力的有限元解為精確解，驗(yàn)證本文方法的高精確性與實(shí)用性。研究結(jié)果表明：與常規(guī)方法將曲線積分簡(jiǎn)化為直線積分相比，本文方法能得到更高精度的實(shí)用解析解，各彈性常數(shù)表達(dá)式最大相對(duì)誤差小于2%；與內(nèi)力的有限元解相比，本文方法具有更通用的實(shí)用表達(dá)式，且內(nèi)力的最大相對(duì)誤差小于4%。

拱結(jié)構(gòu)；實(shí)用解析解；弧長(zhǎng)微分；近似曲線積分

拱結(jié)構(gòu)是基本的橋梁結(jié)構(gòu)型式之一，因力學(xué)性能優(yōu)異，在國(guó)內(nèi)外廣泛使用[1]。在拱結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的解析解研究中，大多數(shù)使用了基于能量原理的方法，如彈性常數(shù)、內(nèi)力分析、連拱問(wèn)題中的虛功原理[2]，變形分析中的虛位移原理[3]、分枝點(diǎn)穩(wěn)定[4]、躍越屈曲[5]與動(dòng)力屈曲[6]中使用的能量方法以及自振分析中的能量守恒原理[7]等。在拱結(jié)構(gòu)中應(yīng)用這些能量方法時(shí)，都需要沿拱軸進(jìn)行曲線積分。拱結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題是否有解析解，建立在該曲線積分是否有顯示解析解的基礎(chǔ)之上。對(duì)于不同的拱軸線，求解曲線積分顯示解析解的方法也各不相同。在圓弧拱中，由于曲率處處相等，弧長(zhǎng)微分得以簡(jiǎn)化，沿拱軸的曲線積分就簡(jiǎn)化為以圓心角為變量的普通直線積分，因此，圓弧拱的各種力學(xué)問(wèn)題均得到了顯示解析解[2, 4, 6?8]。然而，圓弧線對(duì)應(yīng)于等深度靜水壓力，與實(shí)際拱橋荷載型式相差較大，在實(shí)際拱橋工程中應(yīng)用并不多。相反的是，使用最頻繁的如拋物線、懸鏈線等非圓弧拱軸線，沿拱軸的曲線積分反而沒(méi)有解析解。為解決這個(gè)問(wèn)題，KOOLEE等[9]在拋物線拱的自振分析中，將直角坐標(biāo)系下的拋物線弧長(zhǎng)微分，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系下進(jìn)行表達(dá)，希望達(dá)到像圓弧拱那樣簡(jiǎn)便的普通直線積分，但最終仍采用了數(shù)值積分得出結(jié)果；WANG等[10]針對(duì)英國(guó)石拱橋承載力評(píng)估方法MEXE中的沿拋物線拱軸的曲線積分，將弧長(zhǎng)微分簡(jiǎn)化為直線微分，進(jìn)而使得沿拋物線拱軸的曲線積分簡(jiǎn)化為沿水平坐標(biāo)軸的直線積分，雖得到了顯示解，但在矢跨比較大的陡拱中誤差增大[11]；BRADFORD等[3]在拋物線淺拱穩(wěn)定問(wèn)題中，將沿拋物線拱軸的曲線積分簡(jiǎn)化為沿水平坐標(biāo)軸的直線積分，得到的結(jié)果僅適用于矢跨比較小的淺拱，其驗(yàn)證的算例矢跨比均小于1/10、驗(yàn)證的試驗(yàn)拱[12]矢跨比為1/18.8與1/25。YI等[13]在含有彈性支撐淺拱的振動(dòng)分析中，采用了將曲線積分簡(jiǎn)化為直線積分的方法；MOON等[14]在拋物線淺拱的屈曲分析中，將沿拱軸的曲線積分簡(jiǎn)化為沿水平坐標(biāo)軸的直線積分；我國(guó)拱橋手冊(cè)[2]中，采用數(shù)值積分方法計(jì)算沿拱軸的曲線積分，并通過(guò)對(duì)結(jié)果進(jìn)行列表，來(lái)解決沿拱軸曲線積分無(wú)法顯示表達(dá)問(wèn)題；胡常福等根據(jù)懸索線[15]弧長(zhǎng)微分可顯示表達(dá)的特點(diǎn)，得到了拋物線[16]、懸鏈線[17]拱軸曲線積分的實(shí)用解析解。由此可以看出：針對(duì)沿非圓弧拱軸曲線積分無(wú)法顯示表達(dá)的問(wèn)題，使用最廣泛的方法是將其簡(jiǎn)化為沿水平坐標(biāo)軸的直線積分，該方法雖簡(jiǎn)便但僅適用于淺拱，在陡拱中存在較大誤差，求解沿非圓弧拱軸曲線積分的高精度顯示解仍非常困難。針對(duì)該問(wèn)題，本文作者提出近似曲線積分方法，將精確弧長(zhǎng)微分近似顯示化用以得到曲線積分的實(shí)用解析解，以沿新型復(fù)雜拱軸線[18]的曲線積分為研究對(duì)象，以包含大量曲線積分的彈性常數(shù)及主拱圈自重、橋面系自重作用下內(nèi)力為研究?jī)?nèi)容，基于所提出的方法推演其實(shí)用解析解，并通過(guò)數(shù)值積分與有限元法結(jié)果，驗(yàn)證本文方法高精度性與顯示表達(dá)式的特點(diǎn)。

1 復(fù)雜軸線精確弧長(zhǎng)微分的顯式近似

任偉新等[18]針對(duì)下承空腹式拱橋恒載的主要分布型式為橋面系自重與主拱圈自重，提出了一個(gè)新型的復(fù)雜拱軸線，如下式所示：

(a) 3種方法積分路徑比較；(b) 3種方法弧長(zhǎng)微分比較

在拱結(jié)構(gòu)所有的力學(xué)問(wèn)題的解析解中，彈性常數(shù)及內(nèi)力分析包含的沿拱軸曲線積分?jǐn)?shù)量最多。為此，以無(wú)鉸拱、兩鉸拱的彈性常數(shù)表達(dá)式及橋面系自重、主拱圈自重作用下內(nèi)力表達(dá)式為研究對(duì)象，展現(xiàn)近似曲線積分方法所具有的高精度顯示解析解特點(diǎn)，進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的有效性。

2 復(fù)雜軸線拱的彈性常數(shù)及內(nèi)力實(shí)用解析解

2.1 彈性常數(shù)實(shí)用解析解

基于如式(5)所示的近似曲線積分方法，即可推演組合線兩鉸拱常變位彈性常數(shù)的實(shí)用解析解，如下式所示：

2.2 內(nèi)力實(shí)用解析解

基于如式(5)所示的近似曲線積分方法，即可推演主拱圈自重作用下組合線兩鉸拱載變位的實(shí)用表達(dá)式，如下式所示：

表1 彈性常數(shù)實(shí)用解析解

綜合表1與表2，即可求得兩鉸拱、無(wú)鉸拱結(jié)構(gòu)體系在主拱圈自重、橋面系自重荷載作用下的內(nèi)力實(shí)用表達(dá)式，如表3所示。

表2 載變位實(shí)用解析解

表3 內(nèi)力的實(shí)用解析解

3 精度分析與算例驗(yàn)證

在以上的分析中，基于近似曲線積分方法，針對(duì)彈性常數(shù)與內(nèi)力分析中所包含大量的復(fù)雜曲線積分，均得到了實(shí)用的解析解，表明本文方法在求解復(fù)雜拱軸曲線積分顯示解方面的有效性。下面以彈性常數(shù)的數(shù)值積分解與內(nèi)力的有限元解為精確解，來(lái)驗(yàn)證本文方法結(jié)果的高精度性。

3.1 彈性常數(shù)精度分析

為驗(yàn)證本文方法彈性常數(shù)實(shí)用解析解的精度，分別使用精確曲線積分?jǐn)?shù)值積分方法、本文近似曲線積分方法與簡(jiǎn)化為水平直線積分的常規(guī)方法，來(lái)計(jì)算表1中各彈性常數(shù)在/=1時(shí)的數(shù)值，并以精確曲線積分的數(shù)值積分結(jié)果為精確解，比較本文方法與常規(guī)方法的精度，如表4所示。

由表2可以看出：隨著矢跨比由1/3變化至1/10，各彈性常數(shù)中本文方法與常規(guī)方法的相對(duì)誤差都減小，本文方法相對(duì)誤差明顯比常規(guī)方法的小；當(dāng)矢跨比為1/10時(shí)，常規(guī)方法計(jì)算的各彈性常數(shù)最大相對(duì)誤差為5.239 5%，最小相對(duì)誤差為1.113 5%。而在同樣的矢跨比中本文方法最大相對(duì)誤差為0.029 1%，最小相對(duì)誤差為0.004 8%，明顯比常規(guī)方法更優(yōu)；當(dāng)矢跨比為1/3時(shí)，常規(guī)方法計(jì)算的各彈性常數(shù)最大相對(duì)誤差為51.527 9%，最小相對(duì)誤差為7.740 0%，表明在陡拱中常規(guī)方法已經(jīng)不能使用，而在同樣的矢跨比中本文方法最大相對(duì)誤差為1.155 4%，最小相對(duì)誤差為 0.239 5%，顯示了本文方法具有相當(dāng)高的精度。

表5 3種方法彈性常數(shù)相對(duì)誤差比較

綜合表1與表2可知：在各彈性常數(shù)的計(jì)算結(jié)果中，常規(guī)方法在陡拱中誤差較大，而本文方法在陡拱與淺拱中均具有較高的精度，各彈性常數(shù)最大相對(duì)誤差小于2%。

3.2 內(nèi)力表達(dá)式算例驗(yàn)證

某跨徑255 m的拱橋[19]，矢跨比為1/4，拱肋面積為0.77 m2，慣性矩為0.775 m4，彈性模量為201 GPa，材料容重為78.5 kN/m3，橋面系平均重力為 1 208.9 kN/m，拱軸線為如式(1)所示的復(fù)雜拱軸線型。為驗(yàn)證本文方法內(nèi)力實(shí)用表達(dá)式結(jié)果的精確性，分別使用有限元法及本文方法計(jì)算兩鉸拱與無(wú)鉸拱2個(gè)結(jié)構(gòu)體系，在主拱圈自重作用、橋面系自重作用時(shí)的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，兩者結(jié)果的比較如圖2所示。

由圖2可以看出：在主拱圈自重、橋面系自重2種荷載作用工況下，兩鉸拱、無(wú)鉸拱兩種結(jié)構(gòu)體系的彎矩與軸力中，本文方法的計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果均吻合較好。通過(guò)對(duì)內(nèi)力的精度計(jì)算，本文方法軸力最大相對(duì)誤差為3.62%，彎矩最大相對(duì)誤差為3.30%，顯示了本文方法具有較好的精度。同時(shí)，由彈性常數(shù)精度分析結(jié)果可知，本文方法在矢跨比大時(shí)誤差會(huì)增加，而本算例矢跨比為1/4，已是實(shí)際拱橋的最大矢跨比。由此可知，本文方法在各種矢跨比情況下均與有限元結(jié)果吻合較好，且能保持較高的精度。

(a) 兩鉸拱主拱圈自重工況彎矩比較；(b) 兩鉸拱主拱圈自重工況軸力比較；(c) 兩鉸拱橋面系自重工況彎矩比較；(d) 兩鉸拱橋面系自重工況軸力比較；(e) 無(wú)鉸拱主拱圈自重工況彎矩比較；(f) 無(wú)鉸拱主拱圈自重工況軸力比較；(g) 無(wú)鉸拱橋面系自重工況彎矩比較；(h) 無(wú)鉸拱橋面系自重工況軸力比較

4 結(jié)論

1) 通過(guò)概念分析、公式推演與精度分析可知，近似曲線積分方法可以用于求解復(fù)雜拱軸曲線積分的高精度實(shí)用解析解。

2) 基于近似曲線積分方法能得到復(fù)雜拱軸線下彈性常數(shù)的實(shí)用解析解，公式簡(jiǎn)潔且在陡拱下也保持了非常高的精度，各彈性常數(shù)最大相對(duì)誤差不超過(guò)2%。

3) 基于近似曲線積分方法能得到復(fù)雜拱軸線下的內(nèi)力實(shí)用解析解，公式簡(jiǎn)潔且與有限元解吻合較好，內(nèi)力最大相對(duì)誤差不超過(guò)4%。

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(編輯 楊幼平)

Research on approximate analytical solution of arch structure with complex arch axis

HU Changfu1, HE Bingbing1, SHI Cuijia1, REN Weixin2

(1. School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China; 2. School of Civil Engineering and Water Conservancy, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

The curve integration along arch axis is a basic problem of analytical solution method in arch structure mechanics, and it has no closed form analytical solution when the arch axis is not an arc. An approximate curve integration method was proposed to solve this problem. It took approximate display arc-length differentiation to replace the complex exact one to obtain the practical closed form analytical solution of arch structure mechanics problem. Based on the proposed method, some practical analytical solutions were deduced, by studying arch structure elastic constant and main arch ring inner force under main arch ring and deck system dead load in a new complex axis arch structure, since it had a lot of complex curve integrations along arch axis in these mechanics problems. Numerical integration solution of elastic constant using exact arc-length differentiation and finite element solution of inner force were taken as exact solutions to verify high precision of the display result of proposed method. The results show that compared with the normal method which takes curve integration simplified to horizontal line integration, the proposed method can get higher precision approximate expression results, and the maximum relative error of all elastic constants is less than 2%; compared with finite element solution, the proposed method have more general approximate expression, and the maximum relative error of all inner force is less than 4%.

arch structure; approximate analytical solution; arc-length differentiation; approximate curve integration

U441

A

1672?7207(2018)01?0217?09

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.01.028

2017?01?09；

2017?03?16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51568020)；國(guó)家留學(xué)基金資助項(xiàng)目(201608360147)；江西省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(20141BBG70089) (Project(51568020) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(201608360147) supported by China Scholarship Council; Project(20141BBG70089) supported by Science and Technology Plan in Jiangxi Province)

胡常福，博士，講師，從事拱結(jié)構(gòu)力學(xué)研究；E-mail: hcf@ecjtu.jx.cn