葉海波+王會玲

人教版初中《數(shù)學》教材章節(jié)后的“數(shù)學活動”部分充分體現(xiàn)了編者對數(shù)學活動經(jīng)驗的重視，但由于教材對“數(shù)學活動”提供的情景或問題往往比較簡略，表面上看不出具體知識技能的指向，加之受應(yīng)試教育的影響，導致一些教師對“數(shù)學活動”教與學沒有足夠的重視。因此，數(shù)學活動實際教學情況是：要么是一帶而過，要么上成復習課，抑或是上成“手工課”。這與新課標中關(guān)于數(shù)學活動是初中數(shù)學四大領(lǐng)域之一“綜合與實踐”的重要載體的地位是不相符的。近日，在一次數(shù)學學科培訓活動中，一位鄉(xiāng)村中學的青年教師為我們展示了一節(jié)生動而豐富的數(shù)學活動課《平面鑲嵌》（八年級上冊），在活動進程中既有學生動手實踐的精彩，也有思維碰撞的火花。

課堂實錄：

【引入】首先播放地面鑲嵌的視頻，出示課題，然后要求學生圍繞問題自學：1.什么是平面鑲嵌？2.平面鑲嵌的條件是什么？

學生的回答從“一些不重疊的多邊形把平面的一部分完全覆蓋”到“嚴絲合縫，不留空隙”再到“無空隙，不重疊”。

教師都給予肯定的評價，同時出示PPT引導學生觀察圖形的局部（某個拼接點），發(fā)現(xiàn)多邊形平面鑲嵌條件的數(shù)學表述：每個拼接點處內(nèi)角之和為360°。

點評：數(shù)學源于生活且應(yīng)用于生活，這位教師借助視頻和課件展現(xiàn)生活中學生熟悉的大量有關(guān)多邊形密鋪的圖片，從直觀角度對學生認識什么是多邊形平面鑲嵌打下烙印。然后提出問題引發(fā)思考，讓學生經(jīng)歷從生活化的語言表述逐步提煉成數(shù)學語言的過程。教師在對多邊形平面鑲嵌條件的數(shù)學表述上給了學生恰當?shù)狞c撥，讓學生體會從具體直觀到抽象概括的數(shù)學化過程。

【活動1】以小組為單位，嘗試用課前準備的邊長相同的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形紙片中的一種分別進行密鋪，分組上臺展示各種拼接的情況并說明是否是平面鑲嵌。

設(shè)問：為什么正三角形、正方形、正六邊形能平面鑲嵌？為什么正五邊形不能平面鑲嵌？正八邊形能否平面鑲嵌？正十邊形呢？

由于有前一個環(huán)節(jié)的鋪墊，結(jié)合動手操作的情況，學生認識到：能否用正多邊形鑲嵌，就是看若干個正多邊形的內(nèi)角能否拼成周角，轉(zhuǎn)化為數(shù)量條件即為：正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)能否整除360°。學生也進一步通過計算發(fā)現(xiàn)正八邊形、正十邊形不能平面鑲嵌。

點評：研究生活中的常見數(shù)學問題，引發(fā)了學生對知識的渴望，喚起了學生自己動手探究的主動性和積極性。在動手實踐中有學生看得見、摸得著的實體形象，喚起學生學習的愉悅；在問題串的探究交流中又展現(xiàn)了學習的智力背景，體現(xiàn)出數(shù)學知識的實用功能，鼓舞著學生主動求知。在為所有學生提供充分展示學習實踐成果機會的前提下，讓學生建立學習數(shù)學的自信，教師只是以合作者的身份幫助學生在活動探究中加深對知識的理解，獲得初步的數(shù)學活動經(jīng)驗。此處如果對究竟“有哪幾種正多邊形能平面鑲嵌？”作進一步的探討，還可以給學生更多的思考空間。

【活動2】還以小組為單位，嘗試用課前準備的一些形狀、大小相同的三角形紙板和四邊形紙板分別進行密鋪，分組上臺展示各種拼接的情況并說明是否是平面鑲嵌。

設(shè)問：形狀、大小相同的三角形紙板和四邊形紙板為什么分別能平面鑲嵌？對任意多邊形平面鑲嵌除了要求拼接點處的內(nèi)角和為360°以外，還要注意什么？

通過拼圖和借鑒前面活動的經(jīng)驗，學生認識到任意三角形和四邊形分別能進行平面鑲嵌是因為它們內(nèi)角和的特殊性決定的。而對比某一個拼接點的不同拼法，一方面學生從直觀的角度認識到“拼接邊要相等”，另一方面加深學生對平面鑲嵌概念更深入的理解，即“如果有足夠多的多邊形（三角形或四邊形）可以將整個平面完全覆蓋”，強化平面鑲嵌要達成“每個拼接點的內(nèi)角和為360°”。

點評：活動2是在經(jīng)過活動1積累了一定的活動經(jīng)驗，同時對平面鑲嵌有了初步了解的基礎(chǔ)上設(shè)計的一個形式更為一般、更為復雜的拼接活動。創(chuàng)設(shè)更富挑戰(zhàn)性和趣味性的活動情境，讓學生又投入到積極的學習中，通過展示活動成果既讓學生獲得成功的體驗，也能感受到矛盾和困難的沖擊，以達到對所涉及的數(shù)學知識更深入的理解和掌握更多的探究學習技能。

【活動3】以小組為單位，嘗試用課前準備的邊長相同的正三角形和正方形兩種紙片進行拼接，能否平面鑲嵌？若用正三角形和正五邊形紙片呢？若用正三角形和正六邊形紙片呢？展示各種拼接的情況并說明是否是平面鑲嵌？為什么？

在小組活動交流的基礎(chǔ)上結(jié)合拼接成的圖形，學生認識到：兩種正多邊形能否平面鑲嵌取決于是否有若干個正多邊形的內(nèi)角拼出一個周角。

設(shè)問：判斷能否用邊長相同的正三角形和正八邊形平面鑲嵌？

由于事先沒準備正八邊形紙片，不能操作判斷。學生自然會類比前面的活動經(jīng)驗，通過計算正三角形和正八邊形的內(nèi)角度數(shù)來判斷。此時多數(shù)學生是選擇嘗試不同個數(shù)正三角形和正八邊形的內(nèi)角求和，經(jīng)過實驗作出判斷。在此基礎(chǔ)上教師啟發(fā)學生思考把不確定的正三角形或正八邊形的個數(shù)符號化，引入方程思想。即假設(shè)能平面鑲嵌，設(shè)一個拼接點處有m個正三角形的角，n個正八邊形的角，則60m+135n=360，再討論二元一次方程的正整數(shù)解作出判斷。

點評：在活動3中，學生的學習行為從動手實踐，到具體數(shù)據(jù)的算術(shù)試驗，再到討論不定方程的特殊解。這種從學生面對的顯性、外在的具體操作過渡到用數(shù)學解釋操作的理由或代替操作，再到用更一般更通性的數(shù)學方法去做出判斷的活動過程，符合學生的認知規(guī)律。

【延伸】課外活動：能任選邊長相同的三種不同正多邊形進行平面鑲嵌嗎？四種呢？

學生小組交流談想法，教師做點評，再播放三種正多邊形能（或不能）平面鑲嵌的推算和拼擺過程的微課。

點評：在經(jīng)過豐富的數(shù)學活動和數(shù)學思考之后，學生站在理性的角度重新面對具體的情境，那就不再首先是動手做，而是先通過數(shù)學方法做出判斷。經(jīng)歷這樣的環(huán)節(jié)，進一步強化了學生的數(shù)學應(yīng)用意識，也體現(xiàn)了“問題情境——建立模型——解釋應(yīng)用與拓展”這一知識形成應(yīng)用的過程。對課堂上由于時間關(guān)系無法直接探討完成的知識點用微課進行延伸，學生既興趣盎然，又易于接受，這樣學習效率高，課堂教學效率也高。

總評：

《平面鑲嵌》這節(jié)數(shù)學活動課在教材中是以課題學習的形式呈現(xiàn)的。本節(jié)課以問題為主線，以學生的動手操作實驗活動為主，以“提出問題——自主探究——歸納分析”的模式展開教學。學生在問題的引領(lǐng)下有目標的自主探究，既培養(yǎng)學生的動手操作能力，經(jīng)歷猜想、實踐、歸納的過程，又培養(yǎng)學生認真思考、討論交流的良好習慣，同時也培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和實踐能力。

數(shù)學活動課是對課堂教學的一種補充，不同于數(shù)學知識傳授課，也不是一般的數(shù)學課外活動。它是為了讓學生對某一體系的數(shù)學知識更深入理解、更牢固掌握、更靈活應(yīng)用，針對性創(chuàng)設(shè)一定的活動情境，在數(shù)學思維活動的參與下，進行的學習研究活動。本節(jié)活動課主要體現(xiàn)了以下兩個方面的特點：一是注重數(shù)學活動的內(nèi)涵。突出了觀察與體驗、感性與理性。我們時?？吹交顒诱n表面很熱鬧，但活動與思維是脫節(jié)的，這樣的活動課是低層次的。但在這節(jié)活動課中，讓學生在做數(shù)學活動中，產(chǎn)生一些想法——無論正確與否——加以驗證，培養(yǎng)了學生自覺應(yīng)用數(shù)學解釋生活現(xiàn)象的意識。二是轉(zhuǎn)換數(shù)學活動的角色。我們還看到一些活動課，學生在活動中只是扮演教師的若干只手而已，是被動參與。要做什么、怎么做、會有什么結(jié)果，學生一直是被教師牽著走的。而在本節(jié)課中，學生是活動的主體、知識的探索者、團隊的合作者，教師只是參與者，學生主動參與發(fā)現(xiàn)、探究、解決問題，從中獲得數(shù)學知識，獲得解決實際問題的過程體驗、情感體驗。

數(shù)學活動課教學與系統(tǒng)理論知識的教學是不同的，它要求教師花更多的時間和精力去準備，包括確定活動目標、明確活動主題、選擇活動場景、預設(shè)活動過程、預測活動結(jié)果等，每個方面都值得我們?nèi)ゴ脱芯俊＜埳系脕斫K覺淺，絕知此事要躬行，數(shù)學活動課的預設(shè)與生成值得我們?nèi)ド顚犹剿?，需要?shù)學教師在多次的數(shù)學活動課教學中積累，經(jīng)過多次嘗試才能獲得成功。

（作者單位：葉海波，宜都市教研室；王會玲，宜都市枝城中學）

責任編輯 陳建軍endprint