何麗娜+張志平

在學(xué)習(xí)人教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)《平行四邊形的面積》之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算，已掌握平行四邊形的特征，還會(huì)畫平行四邊形的底和對(duì)應(yīng)的高，這些都是學(xué)習(xí)平行四邊形面積的重要基礎(chǔ)。本節(jié)課第一次用到 “轉(zhuǎn)化”的方法探索面積的計(jì)算公式，因此轉(zhuǎn)化方法的習(xí)得和轉(zhuǎn)化思想的滲透無(wú)疑成了本節(jié)課教學(xué)的重要目標(biāo)。

在以往的教學(xué)中，我沿著教材的思路進(jìn)行教學(xué)，先讓學(xué)生對(duì)已知底、高和鄰邊的平行四邊形的面積進(jìn)行猜想，再組織學(xué)生驗(yàn)證，最后強(qiáng)化將平行四邊形通過(guò)“割補(bǔ)”變成長(zhǎng)方形的方法，分析兩種圖形的面積與長(zhǎng)、高之間的關(guān)系，從而得出平行四邊形的面積公式。從學(xué)生作業(yè)反饋來(lái)看，正確率比較高。但是過(guò)了一段時(shí)間，問(wèn)題暴露出來(lái)了：不少學(xué)生頻頻出現(xiàn)用兩鄰邊相乘計(jì)算平行四邊形面積的情況。問(wèn)題出在哪兒呢？我反思教學(xué)過(guò)程：首先，整個(gè)教學(xué)過(guò)程難以使“未教先知”的學(xué)生參與探究；其次，難以消除學(xué)生“為什么只能通過(guò)割補(bǔ)‘轉(zhuǎn)化，而不能通過(guò)拉動(dòng)‘轉(zhuǎn)化”的疑慮；第三，教學(xué)過(guò)程不“厚實(shí)”，學(xué)生參與面積形成過(guò)程的機(jī)會(huì)太少，體驗(yàn)比較淺顯，不能建立起清晰的知識(shí)表象，因而遺忘較快。

這學(xué)期再次教學(xué)《平行四邊形的面積》時(shí)，我設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的活動(dòng)：第一個(gè)層次是操作轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生達(dá)成共識(shí)——沿高剪開(kāi)后通過(guò)平移將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；第二個(gè)層次是觀察思考，讓學(xué)生通過(guò)觀察對(duì)比后發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的等量關(guān)系，溝通了兩個(gè)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，為有效推導(dǎo)面積公式提供了有力支撐；第三個(gè)層次是概括公式，水到渠成。這樣設(shè)計(jì)層次清楚，目標(biāo)明確。

一、回顧交流，激趣導(dǎo)入

1.回顧平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形之間的關(guān)系。

2.如果這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1厘米，那么它的面積是1平方厘米，我們可以用它來(lái)測(cè)量多邊形的面積。

3.你們能利用這個(gè)方格圖求出平行四邊形的面積嗎？

評(píng)析：引導(dǎo)學(xué)生回顧整理平行四邊形與長(zhǎng)方形、長(zhǎng)方形與正方形的本質(zhì)聯(lián)系，回憶長(zhǎng)方形面積研究的方法。這既激活了學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，又對(duì)轉(zhuǎn)化的目標(biāo)指引了方向，更重要的是能讓探究活動(dòng)承載理性的數(shù)學(xué)思考。

二、動(dòng)手操作，探究發(fā)現(xiàn)

1.初步感知轉(zhuǎn)化過(guò)程

（1）運(yùn)用方格圖，探究平行四邊形的面積。用方格圖試著測(cè)量這個(gè)平行四邊形的面積。

（2）誰(shuí)來(lái)跟大家說(shuō)說(shuō)你是怎么測(cè)量出這個(gè)平行四邊形的面積的？

方案1：先數(shù)整格，再把幾個(gè)不滿1格的圖形拼成1格。

方案2：把左邊的小格平移到右邊，平移過(guò)來(lái)后可以看成是長(zhǎng)方形。

方案3：把左邊這個(gè)三角形平移到右邊，也可以看成是長(zhǎng)方形。

（3）無(wú)論是一格一格地補(bǔ)滿，還是把這一整個(gè)部分移過(guò)來(lái)補(bǔ)滿，都是把不滿一格的拼成滿格，數(shù)出了它的面積是28平方厘米，變化前后的圖形面積不變。

評(píng)析：本環(huán)節(jié)主要通過(guò)讓學(xué)生用數(shù)方格的方法，初步感知平行四邊形與長(zhǎng)方形面積之間的聯(lián)系，在模型的初步驗(yàn)證中滲透特殊化思想和轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)為下一步的探究提供思路，做好鋪墊。

2.經(jīng)歷探索轉(zhuǎn)化過(guò)程

（1）如果沒(méi)有了方格圖，應(yīng)該怎么求出它的面積呢？

（2）學(xué)生借助剪刀、三角尺這些工具，進(jìn)行研究。

（3）和同桌交流：①你是怎么做的？②你為什么這么做？

（4）全班交流，邊演示邊說(shuō)。

（5）想一想：為什么要沿高剪開(kāi)呢？

評(píng)析：通過(guò)讓學(xué)生親身經(jīng)歷把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方形的全過(guò)程，溝通兩個(gè)圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而輕松獲取平行四邊形的面積，在模型的進(jìn)一步證明中滲透一般化思想和轉(zhuǎn)化思想。

3.推導(dǎo)公式

（1）不管是數(shù)方格還是剪拼，我們都是將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，求出長(zhǎng)方形的面積就可以知道平行四邊形的面積。那以后我們每次求平行四邊形的面積都要先找一張同樣大小的紙片，沿著高剪開(kāi)，然后平移拼成長(zhǎng)方形，再來(lái)測(cè)量長(zhǎng)和寬，最后計(jì)算出面積，從而得到平行四邊形的面積。

（2）這太麻煩了，有沒(méi)有更簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢？平行四邊形的面積和它自身的哪些條件有關(guān)呢？它可不可以計(jì)算？如果可以計(jì)算又應(yīng)該怎樣計(jì)算呢？

生：我覺(jué)得平行四邊形的面積可以用底乘高計(jì)算。

師：真的嗎？那我們來(lái)量量這個(gè)平行四邊形的底和高各是多少？

（教師演示操作。）

師：大家看看，28正好是7和4的乘積。這個(gè)平行四邊形的面積的確是用底乘以高，是不是所有的平行四邊形都可以用底乘以高求出面積呢？

（3）任選一個(gè)平行四邊形，量一量、算一算，并將相關(guān)數(shù)據(jù)填入表格。

（4）通過(guò)驗(yàn)證，我們得到了平行四邊形的面積計(jì)算方法是底乘以高。為什么平行四邊形的面積是底乘高呢？

（5）通過(guò)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證和圖形的觀察，我們發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和平行四邊形的底數(shù)值相等，長(zhǎng)方形的寬和平行四邊形的高數(shù)值相等，所以我們知道了平行四邊形的面積=底×高，這就是平行四邊形面積的計(jì)算方法。如果用a表示底，h表示高，S表示面積，那么平行四邊形的面積公式可以怎樣寫呢？

評(píng)析：五年級(jí)學(xué)生具備一定的思辨能力，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成等積的長(zhǎng)方形之后，可以嘗試著去思考現(xiàn)象背后的原因。學(xué)生再次回顧探究過(guò)程，溝通了一般與特殊的本質(zhì)聯(lián)系，感悟“轉(zhuǎn)化”策略的應(yīng)用價(jià)值。

三、總結(jié)升華，拓展延伸

師：關(guān)于多邊形的面積相關(guān)內(nèi)容，早在兩千多年前，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》一書的《方田章》中就有這樣一段論述：“廣從步數(shù)相乘得積步?！彼囊馑际钦f(shuō)長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬。長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，那為什么長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)乘寬而不是底乘高呢？

評(píng)析：適時(shí)地向?qū)W生介紹一些有關(guān)的數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的人文價(jià)值教育，首尾呼應(yīng)，滲透了辯證統(tǒng)一的思想。endprint

【整體評(píng)析】

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可以理解為數(shù)學(xué)思想方法在具體學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的表現(xiàn)，而思想方法是在操作層面實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

1.追溯本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)思想

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，尤其是新知的形成過(guò)程，其實(shí)就是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法體驗(yàn)的過(guò)程。數(shù)學(xué)思想方法是需要學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知過(guò)程，才能逐步體會(huì)、理解和掌握的。

巧數(shù)方格，滲透轉(zhuǎn)化思想。方格是學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)面積的工具，盡管長(zhǎng)方形面積公式是從若干個(gè)面積的計(jì)量單位排列的操作實(shí)踐中推導(dǎo)出來(lái)的，但是獲得公式后，教師更關(guān)注的是公式的熟練掌握和變式練習(xí)，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)代表一行能擺幾個(gè)面積的計(jì)量單位、寬代表能擺相同的幾行這一事實(shí)逐漸忽略淡忘。到了五年級(jí)學(xué)習(xí)《平行四邊形面積》時(shí)，教材中也編排了借助方格數(shù)平行四邊形面積的內(nèi)容，但很多教師僅僅把方格當(dāng)作數(shù)的工具，“不足一格的按半格計(jì)算”從數(shù)學(xué)角度看也不夠嚴(yán)謹(jǐn)，還有的完全拋棄了方格，直接進(jìn)入了操作環(huán)節(jié)。

細(xì)讀教材，數(shù)方格其實(shí)也是“轉(zhuǎn)化”，因此在教學(xué)中應(yīng)該重視數(shù)方格的過(guò)程和方法，幫助學(xué)生建立空間觀察，初步感受轉(zhuǎn)化的魅力。用方格圖嘗試著數(shù)出平行四邊形面積的過(guò)程中，有的學(xué)生先數(shù)出整格，再通過(guò)觀察選擇對(duì)應(yīng)的兩個(gè)不足一格的部分湊成一格后再數(shù)；有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)把每行左邊的半格平移到右邊，就能轉(zhuǎn)化成小長(zhǎng)方形（即“小補(bǔ)”），利用數(shù)面積單位的方法確定了平行四邊形的面積，避免了“不到一格算半格”的不足；還有的學(xué)生面對(duì)放在方格圖下的平行四邊形，想到了把左邊的三角形整體“移”到另一邊，正好“補(bǔ)”成一個(gè)長(zhǎng)方形（即“大補(bǔ)”）。學(xué)生在交流中分享經(jīng)驗(yàn) ，在“移、補(bǔ)”中，完成了從“平行四邊形到長(zhǎng)方形”的轉(zhuǎn)化，這些方法正是“出入相補(bǔ)”思想的體現(xiàn)。不管是“小補(bǔ)”還是“大補(bǔ)”，恰恰滲透了本課的核心操作——用割、補(bǔ)的方法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，初步體驗(yàn)到了轉(zhuǎn)化的好處，“將未知轉(zhuǎn)化為已知”“將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單”，為后續(xù)教學(xué)進(jìn)行了鋪墊，降低了難度。

動(dòng)手剪拼，感悟轉(zhuǎn)化思想。數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過(guò)程，實(shí)際上就是數(shù)學(xué)思想的發(fā)生過(guò)程。揭開(kāi)數(shù)學(xué)這種嚴(yán)謹(jǐn)、抽象的面紗，將發(fā)現(xiàn)過(guò)程中的活生生的教學(xué)“返璞歸真”地交給學(xué)生，讓學(xué)生親自參與“知識(shí)再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，經(jīng)歷探索過(guò)程的磨礪，就是對(duì)學(xué)生最好的滲透和訓(xùn)練。數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中只可意會(huì)，不需言傳，讓學(xué)生明白其中的道理，掌握內(nèi)在的規(guī)律就達(dá)到了教學(xué)的目的，無(wú)須讓學(xué)生記住這是什么思想方法，否則就會(huì)使課堂教學(xué)顯得牽強(qiáng)與做作，與學(xué)生的認(rèn)知脫節(jié)，影響學(xué)生思維能力的發(fā)展。

用方格圖能數(shù)出圖形的面積，如果方格沒(méi)有了，面積怎么求呢？由于有之前“大補(bǔ)”成長(zhǎng)方形的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生會(huì)下意識(shí)地想：是不是也可以把這個(gè)沒(méi)有方格的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形求出面積呢？ 但怎樣轉(zhuǎn)化呢？對(duì)此，教師給學(xué)生提供了平行四邊形紙片，提供足夠的空間去思考，足夠的時(shí)間去探討，引導(dǎo)他們自己通過(guò)操作尋找合理途徑。學(xué)生在匯報(bào)時(shí)，既可以表達(dá)出自己的想法，又發(fā)現(xiàn)平行四邊形可以剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，原平行四邊形的面積與拼成的長(zhǎng)方形的面積相等，計(jì)算出這個(gè)平行四邊形的面積就能知道平行四邊形的面積，在不同的方法轉(zhuǎn)化中抓住本質(zhì)點(diǎn)——沿高剪拼。以上探究活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷了化新為舊、化難為易的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，思維始終聚焦在“轉(zhuǎn)化”的本質(zhì)上，感悟了轉(zhuǎn)化思想的本質(zhì)。

抽象歸納，建立數(shù)學(xué)模型。學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知、嘗試、體驗(yàn)等學(xué)習(xí)過(guò)程，頭腦中會(huì)或多或少地形成一些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，但這些經(jīng)驗(yàn)是零散的、低層次的，要從“經(jīng)歷”走向“經(jīng)驗(yàn)”，形成比較穩(wěn)定、完整的數(shù)學(xué)思想方法經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，需要將知識(shí)中隱含的思想方法加以歸納提煉，學(xué)生才能牢固掌握數(shù)學(xué)思想方法。

在學(xué)生找到合理轉(zhuǎn)化途徑之后，又一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題擺在他們的面前：是不是以后要求平行四邊形的面積，都要找一個(gè)和它同樣大小的圖形進(jìn)行剪拼，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算才能得出這個(gè)平行四邊形的面積呢？這就引導(dǎo)學(xué)生不得不去思考將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形除了面積不變外，還存在著哪些聯(lián)系。通過(guò)觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：平行四邊形的底和轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)數(shù)值相等，平行四邊形的高和長(zhǎng)方形的寬數(shù)值相等，平行四邊形的面積正好是底和高的乘積，由此一步步推導(dǎo)出平行四邊形面積的計(jì)算公式。脫離圖形，梳理轉(zhuǎn)化的過(guò)程，溝通知識(shí)前后間的聯(lián)系，把形象直觀的操作過(guò)程轉(zhuǎn)化成具體的數(shù)學(xué)方法，建立了數(shù)學(xué)模型。

2.溝通聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)教育既是科學(xué)素養(yǎng)的教育，也是一種文化素質(zhì)的教育。每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的背后都有豐富的數(shù)學(xué)文化，在教學(xué)中，應(yīng)適時(shí)地向?qū)W生介紹一些數(shù)學(xué)趣聞與數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展源于人類生活的需要，體會(huì)數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的人文價(jià)值。

《平行四邊形的面積》一課主要是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)剪拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，因此，開(kāi)課就用韋恩圖的方式溝通了長(zhǎng)方形、正方形與平行四邊形間的本質(zhì)聯(lián)系；接著引導(dǎo)學(xué)生數(shù)方格，通過(guò)補(bǔ)成滿格初步感知平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系；再去掉方格后進(jìn)行剪拼，進(jìn)一步明確平行四邊形可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；這樣，未知的問(wèn)題與以往的經(jīng)驗(yàn)有了良好對(duì)接，認(rèn)知的道路由此打通。最后通過(guò)對(duì)比它們的底（長(zhǎng)）、高（寬）和面積的數(shù)據(jù)，再次溝通這兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系，水到渠成地探索出平行四邊形面積的計(jì)算方法，直觀而牢固，清晰而深刻。課尾，教師與孩子們一起走進(jìn)了東漢時(shí)期數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》，《方田章》中的一段論述讓學(xué)生馬上明白了這其實(shí)就是課始的韋恩圖里長(zhǎng)方形和平行四邊形之間的關(guān)系。古人經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的探索，也能從一般到特殊的研究圖形面積，首尾呼應(yīng)，滲透了辯證統(tǒng)一的思想。

3.激活思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的、不斷體驗(yàn)的、慢慢積淀的過(guò)程。在課堂教學(xué)中，應(yīng)給學(xué)生提供足夠的思維時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，形成問(wèn)題意識(shí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神，體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成真正落實(shí)到課堂教學(xué)并有效地融入學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，持之以恒，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能真正得到培養(yǎng)和提升。

本課始終以“轉(zhuǎn)化”這一重要的數(shù)學(xué)思想方法貫穿探索平行四邊形面積計(jì)算方法的全過(guò)程，給學(xué)生預(yù)留充分的“獨(dú)立思考”“合作討論”“交流反饋”等學(xué)習(xí)空間與時(shí)間，站在學(xué)生的角度來(lái)設(shè)想問(wèn)題，挖掘其背后存在的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的真實(shí)性。如：在將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的過(guò)程中為什么面積是不變的？又如：為什么平行四邊形的面積等于底×高？還如：為什么要“沿高剪”呢？接二連三的問(wèn)題“轟炸”，不僅激發(fā)了學(xué)生探究的欲望，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考，用數(shù)學(xué)的眼光看待事物，而且培養(yǎng)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)和思維品質(zhì)，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和探究新知識(shí)的能力，而這正是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)中重要的內(nèi)容。

（作者單位：何麗娜，武漢市江漢區(qū)紅領(lǐng)巾學(xué)校；張志平，武漢市江漢區(qū)小學(xué)教研室）

責(zé)任編輯 陳建軍endprint