楊金燕+龍飄

楊金燕龍飄

摘要：一道大學(xué)自主招生試題原參考解答在計(jì)算功時(shí)并未明確指出所針對(duì)的參照系，但從功的計(jì)算結(jié)果來(lái)分析可知參照系有兩種可能的情況：其一、f1、f2做的功均以傳送帶為參照系；其二、f1做的功以傳送帶為參照系，f2做的功以地面為參照系。然而，事實(shí)上在中學(xué)物理計(jì)算功時(shí)，當(dāng)題目沒(méi)有明確指定是針對(duì)何種參照系時(shí)一般就是默認(rèn)以地面為參照系；而在運(yùn)用動(dòng)能定理、功能原理解題時(shí)必須是針對(duì)同一選定的慣性參照系來(lái)計(jì)算外力對(duì)各質(zhì)點(diǎn)的功。

關(guān)鍵詞：參照系；做功；力學(xué)試題

為了方便讀者，現(xiàn)將2003年上海交大自主招生的一道試題及原參考解答轉(zhuǎn)錄于下：

試題：如圖1所示，在水平地面xOy上有一沿x正方向做勻速運(yùn)動(dòng)的傳送帶，運(yùn)動(dòng)速度為v1，傳送帶上有一質(zhì)量為m的正方形物體隨傳送帶一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)Oz平面時(shí)遇到一阻擋板C，阻止其繼續(xù)向x正方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體與傳送帶間的摩擦因素為μ1，與擋板之間的摩擦因素為μ2。此時(shí)若要使物體沿y正方向以勻速v2運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：

（1） 沿y方向所加外力為多少？

（2） 若物體沿y方向運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間t，則在此期間摩擦力所做的功為多少？

圖1

圖2

原參考解答：（1）物體對(duì)皮帶的速度如圖2所示，f1為皮帶給物體的摩擦力，f2為擋板給物體的摩擦力，而

f1=μ1mg，N=f1sinθ，

f2=μ2N=μ2f1sinθ。

其中sinθ=v1v21+v22，cosθ=v2v21+v22。故

F=f2+f1cosθ=mgμ1（v1μ2+v2）v21+v22。

（2） Wf=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t=-mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

筆者認(rèn)為，題目第（2）問(wèn)的原參考解答在計(jì)算功時(shí)參照系選取問(wèn)題上考慮欠妥，本文對(duì)此予以分析。

原解答的過(guò)程敘述十分簡(jiǎn)單，計(jì)算功時(shí)并未明確指出所針對(duì)的參照系。但從功的計(jì)算結(jié)果“Wf=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t”來(lái)看，在計(jì)算功時(shí)所針對(duì)的參照系有兩種可能的情況：其一、f1、 f2做的功均以傳送帶為參照系；其二、f1做的功以傳送帶作為參照系，f2做的功以地面作為參照系。因?yàn)樵趂1做功項(xiàng)“-f1（v2t/cosθ）”中，v2t/cosθ只能理解為以傳送帶為參照系得到的位移，而在f2的做功項(xiàng)“-f2v2t”中，v2t既可以理解為是以地面為參照系得到的位移，也可以理解為是以傳送帶為參照系的位移通過(guò)正交分解后得到的沿f2方向的分位移。

然而，筆者認(rèn)為在計(jì)算功時(shí)對(duì)參照系的上述兩種理解均是欠妥的。眾所周知，中學(xué)物理在計(jì)算功時(shí)限于中學(xué)物理的特點(diǎn)并沒(méi)有強(qiáng)調(diào)參照系問(wèn)題，在一般情況下如果題目沒(méi)明確指定是針對(duì)何種參照系，則往往就是默認(rèn)以地面為參照系的。而在計(jì)算幾個(gè)力對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)的做功量時(shí)，一般是不需要對(duì)每個(gè)力各自選定參照系來(lái)計(jì)算每個(gè)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功的——因?yàn)樵谥袑W(xué)物理中計(jì)算功的目的一般是為了進(jìn)一步利用動(dòng)能定理、功能原理等功能關(guān)系來(lái)處理問(wèn)題，所以計(jì)算各個(gè)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的做功量時(shí)如果題目沒(méi)有明確指定不同力所針對(duì)的參照系，則在中學(xué)物理中一般也默認(rèn)的是針對(duì)同一慣性參照系來(lái)計(jì)算所有外力對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)或每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的功。由于在原題題目中沒(méi)有明確指定計(jì)算功的參照系，所以在解答中就應(yīng)該以地面為參照系，計(jì)算所有外力對(duì)物體所做的功，但原題解卻并非如此。

為了使得原題第（2）問(wèn)可解且使解答符合原題的本意，筆者認(rèn)為可將該題第（2）問(wèn)作如下修改：

或者改為：若物體沿y方向運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間t，則在此期間相對(duì)傳送帶物體受到的摩擦力所做的功為多少？

此時(shí)，f1、f2做的功均以傳送帶為參照系。根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系有

v→2t=v→t+v→1t。

由圖二中位移的矢量關(guān)系，可得此時(shí)物體相對(duì)傳送帶為參照系的位移為

vt=v2t/cosθ。

故摩擦力做功為

Wf=-f1（vt）-f2（vt）cosθ=-f1（v2t/cosθ）-f2v2t=-mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

或者改為：若物體沿y方向運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間t，則在此期間摩擦生熱為多少？

此時(shí)，物體與傳送帶的摩擦生熱量等于物體所受傳送帶施加的摩擦力相對(duì)傳送帶做功的絕對(duì)值，物體與地面的摩擦產(chǎn)生熱量則等于物體所受地面施加的摩擦力相對(duì)地面做功的絕對(duì)值。同樣根據(jù)圖二中位移的矢量關(guān)系不難分別求得這些做功量，進(jìn)而便得到總的摩擦生熱量為

Q=f1（v2t/cosθ）+f2v2t=mgμ1t（v21+v22+μ2v1v2v21+v22）。

作者簡(jiǎn)介：

楊金燕，龍飄，四川省南充市，西華師范大學(xué)物理與空間科學(xué)學(xué)院。endprint