陳詩菲，徐海娜，劉小松

(嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

1 引 言

Schwarz引理是單復(fù)變數(shù)中一個著名的引理，具有廣泛的應(yīng)用，到目前為止，Schwarz引理在相同維數(shù)的情形已基本解決，相關(guān)文獻(xiàn)見文[1-7].一個極其自然的問題：是否存在多復(fù)變數(shù)不同維數(shù)單位多圓柱上的Schwarz引理，本文給出了一個肯定的回答.

本文中，Un表示為n維復(fù)歐式空間Cn的開單位多圓柱，即Un=(z1,z2,…,zn)′∈Cn|zl|<1，l=1，2，…，n，‖zn‖=max|z1|,|z2|,…,|zn|，H(Un,Um)表示Un到Um上的所有全純映照的全體；N+表示正整數(shù)集.f(z)∈H(Un,Um)的一階Fréhet導(dǎo)數(shù)與P(P≥2)階Fréchet導(dǎo)數(shù)分別為Df(z)和Dpf(z)(am-1,.).

2 一些引理

為證明本文的主要定理，需給出如下引理.

引理2[2]設(shè)|a|≤1，|z|<1，則

3 主要定理

則

且上述估計(jì)式是精確的.

g1(ζ)=f1(ζz0)，ζ∈U，1=1，2，…，m.

(1)

由引理1，有

(2)

由引理2和(2)得

和

令ζ=‖z‖n,有

因

|g1(0)|=|f1(0)|，|f1(0)|≤‖f(0)‖m，

因此

令ζ=‖z‖n，有

特別取j∈{1,2,…,m},使得|fj(0)|=‖f(0)‖m，于是

注意到

|gj(0)|=|fj(0)|=‖f(0)‖m，

故

綜上

易得

故

上述定理1的結(jié)論左邊等號成立.

易得

而

故

上述定理1的結(jié)論右邊等號成立.

且上述估計(jì)式是精確的.

g1(ζ)=f1(ζz0)，ζ∈U，1=1，2，…，m，

則

令

則由引理1知h1(ζ)∈H(U,U).

又令

(3)

則

于是由引理1，有

w1(ζ)≤ζ.

(4)

又由(3)得

由引理2和(4)得

和

對于

令ζ=‖z‖n,有

故

因此

對于

令ζ=‖z‖n，有

特別取j∈{1,2,…,m},使得

于是

注意到

因此

綜上

易得

故有

從而上述定理2的左邊等式成立.

取z=

-reiarga1，…，-reiargan

而

故有

因此上述定理2的右邊等式成立.

g1(ζ)=f1(ζz0)，ζ∈U，1=1,2,…,m.

則

令

(5)

則

由引理1，有

(6)

又由(5)得

故

因此由(6)得

因

即

故

因此

定理3精確的實(shí)例證明與定理1相同.

[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)第四版[M]. 北京：高等教育出版社，2012.

[2] 史濟(jì)懷，劉太順.復(fù)變函數(shù)[M]. 合肥：中國科學(xué)技術(shù)出版社，1998.

[3] 張敏珠.推廣的Schwarz-Pick引理[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，49(3)：613—616.

[4] Osserman R.A sharp inequality on the boundary[J]. Proc Amer Math Soc，2000，138: 3513—3517.

[5] Mercer P R.Sharpened versions of the Schwarz Lemma[J]. J Math Anal Appl，1997，205：508—511.

[6] 史濟(jì)懷.多復(fù)變函數(shù)論基礎(chǔ)[M]. 北京：高等教育出版社，1996.

[7] TANG X M，LIU T S.Schwarz lemma at the boundary of the unit polydisle inCn[J] Sci China Math，2015，58(8): 1639—1652.