賈晨 楊劉

【摘要】深刻理解和掌握基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì)既是高中數(shù)學(xué)階段學(xué)習(xí)的重要要求，也是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師講授的難點之一，將數(shù)學(xué)建模的思想融入這一部分教學(xué)，可有效提高教學(xué)效果.本文以冪函數(shù)為例，介紹了相關(guān)數(shù)學(xué)建模案例設(shè)計，有一定的教學(xué)意義.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；冪函數(shù)；模型設(shè)計

一、引 言

函數(shù)的定義及其性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，同時也是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，因此，對高中階段涉及的函數(shù)，深刻理解其定義及性質(zhì)是十分重要的.但是，函數(shù)定義的抽象性給學(xué)生學(xué)習(xí)和教師講授帶來了很大的困難.因此，這一部分內(nèi)容也成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的難點之一.

數(shù)學(xué)建模將數(shù)學(xué)理論知識和實際應(yīng)用緊密聯(lián)系起來，是數(shù)學(xué)理論和實際應(yīng)用之間的橋梁.將數(shù)學(xué)建模的思想融入函數(shù)概念與性質(zhì)的教學(xué)，能夠起到理論聯(lián)系實際的作用，并能提高學(xué)生對這些抽象概念與性質(zhì)的理解和掌握.

而在兩者的結(jié)合上，案例的選取與構(gòu)造，又是決定建模思想輔助函數(shù)教學(xué)效果好壞的關(guān)鍵.合適的案例，可以促進隱性知識與顯性知識的不斷轉(zhuǎn)化，通過具體的情境，將隱性的知識外顯，或?qū)@性的知識內(nèi)化，在加深學(xué)生對抽象概念理解的基礎(chǔ)上，還可以進一步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.已有文獻中提出了一些用以加深學(xué)生對函數(shù)定義與性質(zhì)理解的數(shù)學(xué)建模案例，但這些案例大多屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用題范疇，如下文所述，這些應(yīng)用題與數(shù)學(xué)建模有較大差別，因而，在上述輔助教學(xué)方面起到的作用較為有限.本文以冪函數(shù)為例，介紹相關(guān)的建模案例的設(shè)計.

二、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用題

建立數(shù)學(xué)模型分析實際問題與解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題是有一定區(qū)別的.通常的應(yīng)用題不是直接來自實際，而是經(jīng)過一定程度的數(shù)學(xué)建模加工得到的成品或半成品，問題的提法也已經(jīng)是數(shù)學(xué)化、理想化，具有條件清楚準確、結(jié)論唯一、結(jié)果符合實際等特點，甚至可以說是已經(jīng)建立了完善的數(shù)學(xué)模型.顯然數(shù)學(xué)建模與這一類應(yīng)用題有密切的聯(lián)系，又有較為明顯的區(qū)別，主要體現(xiàn)在以下四個方面：

（1）問題給出的條件的充分程度；

（2）問題解決過程中是否需要一定的合理假設(shè)；

（3）結(jié)果是否需要在實際中反復(fù)檢驗并根據(jù)檢驗結(jié)果對過程進行相應(yīng)的修改和完善；

（4）問題解決的表達方式.

數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實世界的特定對象，為了特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)建模是從實際問題出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)方法對模型進行分析求解，并解釋和驗證所得的解，進而為解決現(xiàn)實問題提供數(shù)據(jù)支持和理論指導(dǎo)的過程.可以說，數(shù)學(xué)建模教學(xué)是學(xué)生在教師指導(dǎo)下，發(fā)揮主體性進行的、充滿個人思維構(gòu)造色彩的創(chuàng)造性活動，具有個人體驗、自主活動的鮮明特點，這些是數(shù)學(xué)應(yīng)用題所缺乏的.因此，構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)建模案例輔助課程內(nèi)容教學(xué)，相比較與解答相關(guān)的應(yīng)用題有著更為重要的意義.

三、基于數(shù)學(xué)建模思想的函數(shù)教學(xué)案例設(shè)計

日常生活中，我們有一些基本的常識，比如在商店購買商品時，買大包裝比小包裝更劃算，這是由商品的出廠價格決定的.例如，某廠家生產(chǎn)牙膏出售，其中60 g裝的牙膏出廠價為每支1.15元，150 g裝的牙膏出廠價為每支2.5元.現(xiàn)該廠家根據(jù)客戶需要生產(chǎn)180 g裝的牙膏，請你確定該牙膏的出廠價格.

（一）符號約定

上述冪函數(shù)的單調(diào)性可更清楚地說明大包裝商品價格更低的現(xiàn)象.

（四）模型分析與改進的教學(xué)延展

（1）實際中牙膏的出廠價格除了生產(chǎn)牙膏的成本及包裝成本之外，還應(yīng)包含外包裝盒等成本，但與文中考慮的兩項相比影響較小，對結(jié)果的影響不大；

（2）模型中假設(shè)牙膏體積與表面積的函數(shù)關(guān)系是一種相對規(guī)則形狀的對應(yīng)關(guān)系，它們之間更準確的關(guān)系應(yīng)在進一步調(diào)查測量的基礎(chǔ)之上改進.

在上述案例中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析實際問題，提取其中的數(shù)學(xué)信息，根據(jù)不同牙膏質(zhì)量所對應(yīng)的各項成本建立冪函數(shù)關(guān)系，進而建立數(shù)學(xué)模型并進行分析與求解.在這一過程中，學(xué)生既感受了數(shù)學(xué)建模的全過程（問題分析、簡化假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與進一步改進等），也加深了對冪函數(shù)的概念、性質(zhì)與應(yīng)用的理解和掌握，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模輔助教學(xué)的效果.

四、總 結(jié)

數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)教學(xué)，既可以有效提高函數(shù)理論的學(xué)習(xí)效果，也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，因此，對開展相關(guān)問題的理論研究與實踐研究都具有十分重要的意義.

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