福建省南平市第一中學(xué) 潘 凌

“雄兔腳撲朔，雌兔眼迷離；雙兔傍地走，安能辨我是雄雌？”出自《木蘭詩》，多用于指事情重雜，而“任意”與“存在”好像雄兔與雌兔，在題中讓大多數(shù)學(xué)生“傻傻分不清”，從而束手無策。函數(shù)中的任意性與存在性問題，是函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容交匯處的一個(gè)十分活躍的知識(shí)點(diǎn)，常與導(dǎo)數(shù)工具的靈活應(yīng)用相結(jié)合，同時(shí)與數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想緊密聯(lián)系，使題型更加多變，因此常受到高考命題者的青睞。這類題型常有以下三種情形：一是單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題；二是雙函數(shù)、雙變量中的任意性與存在性問題（存在存在型、任意任意型）；三是雙函數(shù)雙變量中的任意存在問題（任意存在型）。

一、單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題

此類解題過程中常有如下結(jié)論：

以上結(jié)論的獲得可以借助生活例子引入（實(shí)驗(yàn)方法）或借助函數(shù)圖象（數(shù)形結(jié)合思想）。

方法一：借助生活例子引入（實(shí)驗(yàn)方法）

例如對(duì)于結(jié)論1，我們可以用甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)打比方：有個(gè)人比甲班的任何一個(gè)學(xué)生的成績(jī)都要高，這個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)需要滿足什么條件？答案是這個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)應(yīng)高于甲班分?jǐn)?shù)最高的（即大于最大值）。

例如對(duì)于結(jié)論3，我們同樣用甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)打比方：有個(gè)人比甲班的某個(gè)學(xué)生成績(jī)高，這個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)需要滿足什么條件？答案是這個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)高于甲班分?jǐn)?shù)最低的（即大于最小值）。

例如對(duì)于結(jié)論5，我們同樣用甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)打比方：有個(gè)人比甲班的某個(gè)學(xué)生成績(jī)一樣高，這個(gè)人的數(shù)學(xué)成績(jī)需要滿足什么條件？答案應(yīng)是這人的數(shù)學(xué)成績(jī)介于最低分和最高分之間，即落在甲班學(xué)生成績(jī)構(gòu)成的值域內(nèi)。

方法二：借助函數(shù)的圖象（數(shù)形結(jié)合思想）

二、雙函數(shù)、雙變量中的任意性與存在性問題（存在存在型、任意任意型）

恒成立，則只需

方法一：借助生活例子引入（實(shí)驗(yàn)方法）

例如對(duì)于結(jié)論6，我們可以用甲班和乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)打比方：甲班的任何一個(gè)學(xué)生的成績(jī)要高于乙班的任何一個(gè)學(xué)生成績(jī)，那么甲班和乙班的學(xué)生成績(jī)需要滿足什么條件？答案是甲班的最低分?jǐn)?shù)高于乙班的最高分?jǐn)?shù)。

方法二：借助單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題

三、雙函數(shù)、雙變量中的任意性與存在性混合型問題（任意存在型）

同樣地，借助單函數(shù)、單變量中的任意與存在性問題考慮：

縱觀以上13個(gè)結(jié)論，實(shí)際上都是以前5個(gè)為基礎(chǔ)的一些變化，同時(shí)，對(duì)函數(shù)中的存在性與任意性問題，若是不等關(guān)系，則轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，若是方程問題，則轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題。另外，以上的結(jié)論都是在默認(rèn)函數(shù)最值存在的前提下，若給定區(qū)間為非閉區(qū)間或函數(shù)非連續(xù)時(shí)，其最值可能無法取到，此時(shí)須確定其上（或下）界，并考慮等號(hào)能否取得。

此類問題關(guān)鍵是對(duì)“任意”“存在”意義的理解，當(dāng)然還有很多問題可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為任意或存在問題去求解，只要我們充分利用所給定函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì)，具體問題具體分析，選用恰當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，就能使問題獲得解決，只有這樣，才能提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]傅建紅．聚焦函數(shù)中的任意性與存在性問題[J]．高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2012（6）．