卞小偉

在圓錐曲線的綜合應用中，常常會碰到向量的“身影”，向量偶爾來“湊湊熱鬧”，給圓錐曲線問題帶來無窮新意和一派生機.由于向量身兼“數(shù)”、“形”兩種身份，因此它可用來簡潔明了地表示多種幾何關系.通常情況下，向量會“變身”為共線、平行、垂直、線性運算、數(shù)量積等形式.

一、向量“變身”為三點共線

直線與圓錐曲線的位置關系是圓錐曲線應用中的常見問題，一條直線上三點的位置關系及線段的長度關系可用向量來表示.

例1已知點F和直線l分別是橢圓的右焦點和右準線.過點F作斜率為的直線，該直線與l交于點A，與橢圓的一個交點是B，且.則橢圓的離心率e＝_______.

分析條件形式上是向量的共線，且F點為公共點，不僅可轉化得到三點A，F(xiàn)，B共線，還可以得到線段AF與線段FB的長度關系.處理時，設出點的坐標，將向量坐標化，代入數(shù)據(jù)即可.

解因為F（c，0），設出直線AB方程，與直線聯(lián)立方程組得：點

設點B坐標（x，y），結合，得

二、向量“變身”為平行關系

圓錐曲線中直線與直線的平行關系可以用向量的等量關系表示.

例2設F1，F(xiàn)2分別為橢圓1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若，則點A的坐標是________.

分析注意到中沒有公共點，F(xiàn)1A與F2B不是共線關系，而是平行關系.處理時，仍然轉化為坐標運算.

解設A（x，y），則，可得B點坐標

將A，B分別代入橢圓方程，聯(lián)立方程組可得：

解得：A（0，1）或（0，-1）.

三、向量“變身”為垂直關系

圓錐曲線中直線與直線的垂直關系也可以用向量表示，若數(shù)量積為零，即說明兩直線垂直.

例3已知雙曲線，P是其右支上任一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，Q是PF1上的點，N是F2Q上的一點，且有，，求Q點的軌跡方程.

分析條件，說明了PN⊥F2N且F2N＝NQ，即直線PN是F2Q的垂直平分線.理解向量條件的幾何意義，是解決本題的關鍵.

解由已知得，

由雙曲線的定義得｜PF1｜-｜PF2｜＝，

所以Q的軌跡是以F1為圓心，半徑為的一段圓弧.

所以Q的軌跡方程為.

四、向量加法運算的“變身”

當圓錐曲線中向量與向量不共線時，幾個向量之間的關系可以利用加法運算表達出來.

例4設雙曲線0）的右焦點為F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若，則該雙曲線的離心率為_______.

分析由于P，A，B三點是共線的，則條件應滿足λ+μ＝1.

解直線l方程為x＝c，代入雙曲線方程可得雙曲線兩漸近線方程為，與直線l方程聯(lián)立可得，所以，由P，A，B三點共線得λ+μ＝1，又，解得（P在第一象限）.

五、向量數(shù)量積的“變身”

向量的數(shù)量積在圓錐曲線中的應用特別廣泛，數(shù)量積既可以作為條件，也可以作為結論；題型上可以有求數(shù)量積的值、求數(shù)量積的范圍、求定點、求定值、求軌跡等.

例5已知雙曲線的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，求的最小值.

分析設出P點坐標，從而運用向量的坐標形式進行運算.

解設，所以，.

因為x≥1，所以x＝1時，取得最小值.

由此可見，向量在圓錐曲線中的體現(xiàn)形式千變萬化，但通常解決的方法基本一致，即先將向量的條件轉化為坐標之間的數(shù)量關系，或幾何圖形的位置、大小關系，然后再通過聯(lián)立方程組等代數(shù)方法或借助平面幾何的知識、方法解決問題.