蘇 玖

真題展現(xiàn)

問(wèn)題1（2018年全國(guó)Ⅰ卷第5題）設(shè)函數(shù)f（x）＝x3+（a-1）x2+ax，若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（ ）

A.y＝-2xB.y＝-x

C.y＝2xD.y＝x

問(wèn)題2（2018年江蘇卷第19題）記f′（x），g′（x）分別為函數(shù)f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù).若存在x0∈R，滿足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），則稱x0為函數(shù)f（x）與g（x）的一個(gè)“S點(diǎn)”.

（1）證明：函數(shù)f（x）＝x與g（x）＝x2+2x-2不存在“S點(diǎn)”；

（2）若函數(shù)f（x）＝ax2-1與g（x）＝lnx存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）已知函數(shù)f（x）＝ -x2+a，g（x）＝，對(duì)任意a＞0，判斷是否存在b＞0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說(shuō)明理由.

思維延伸

問(wèn)題1是“在點(diǎn)（0，0）處的切線”，如果把“在”改為“過(guò)”呢？于是有：

（改編1-1）已知函數(shù)f（x）＝x3+x，求過(guò)點(diǎn)P（1，2）的切線方程.

上述改編題中的點(diǎn)P在函數(shù)f（x）的圖象上，如果這一點(diǎn)不一定在函數(shù)圖象時(shí)，情況會(huì)怎樣？請(qǐng)看：

（改編1-2）已知函數(shù)f（x）＝x3+ax，若過(guò)點(diǎn)P（1，2）的切線有且僅有2條，求a的值.

第2道改編題中函數(shù)是變化的，點(diǎn)是定的，如果函數(shù)確定，點(diǎn)P坐標(biāo)滿足什么樣的條件可以作3條切線？于是有：

（改編1-3）已知函數(shù)f（x）＝x3-3x對(duì)應(yīng)的曲線為C，若過(guò)點(diǎn)P（a，b）（a＞0）可以作曲線C的3條切線，求證：-3a＜b＜f（a）.

問(wèn)題2中f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0）的含義就是函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在點(diǎn)x＝x0處具有公共切線l，直線l從公共點(diǎn)處穿過(guò)，將每條函數(shù)圖象一分為二.也可以分布在直線l兩側(cè).請(qǐng)看：

（改編2-1）已知函數(shù)f（x）＝x2，g（x）＝2elnx（x＞0）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

試探究是否存在一次函數(shù)y＝kx+b（k，b∈R），使得f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b對(duì)一切x＞0恒成立，若存在，求出該一次函數(shù)的表達(dá)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

此題的兩個(gè)函數(shù)都是確定的，也可以讓一個(gè)函數(shù)是動(dòng)態(tài)的，于是有：

（改編 2-2）已知函數(shù)f（x）＝x-2，g（x）＝a-x2，是否存在k，b∈R，使得g（x）≤kx+b≤f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x（x≠0）恒成立，若存在，求出a的取值范圍，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

這題中的直線將兩條函數(shù)圖象隔離了，有一類函數(shù)上存在點(diǎn)S，在該點(diǎn)處的切線將函數(shù)圖象分成上下兩個(gè)部分.于是有

（改編2-3）記函數(shù)f（x）圖象上點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為y＝g（x），若當(dāng)x≠x0時(shí)，（x-x0）（f（x）-g（x））＞0恒成立，則稱y＝g（x）為函數(shù)f（x）的“伴隨-S函數(shù)”.

試求函數(shù)f（x）＝x3-3x+1的“伴隨-S函數(shù)”g（x）.

點(diǎn)撥解析

問(wèn)題1答案：D.

改編1-1解析：由于題目中沒(méi)有指出P為切點(diǎn)，因此先設(shè)切點(diǎn)T（x0，y0）.因?yàn)閒′（x）＝3x2+1，因此在T點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)P，于是有，化簡(jiǎn)整理得，1）＝0，即，或.

代入切線方程得，4x-y-2＝0或7x-4y+1＝0.

改編1-2解析：設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)閒′（x）＝3x2+a，因此在T點(diǎn)處的切線方程為.又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)P，于是有，化簡(jiǎn)整理得，. ①

因?yàn)橛袃蓷l切線，因此方程①有且僅有兩個(gè)不同解，又等價(jià)于對(duì)應(yīng)的三次函數(shù)的極大值為0，或極小值為0，于是設(shè)g（x）＝2x3-3x2+2-a，其導(dǎo)數(shù)為g′（x）＝6x2-6x＝6x（x-1），令g′（x）＝0得，x1＝0，x2＝1.討論求得，極大值g（0）＝2-a，極小值g（1）＝1-a.由題意得g（0）＝2-a或g（1）＝1-a，所以a＝1或a＝2.

還可以求：a為何值時(shí)，過(guò)P點(diǎn)有三條切線？根據(jù)上述解題過(guò)程知，g（x）有極大值g（0）＝2-a＞0且g（x）有極小值g（1）＝1-a＜0，解之得1＜a＜2.

改編1-3解析：設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)閒′（x）＝3x2-3，因此在T點(diǎn)處的切線方程為又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)P，于是有，化簡(jiǎn)整理得，. ①

因?yàn)橛?條切線，因此方程①有且僅有3個(gè)不同解，又等價(jià)于對(duì)應(yīng)的三次函數(shù)的極大值大于0，且極小值小于0.于是設(shè)g（x）＝2x3-3ax2+3a+b，其導(dǎo)數(shù)為g′（x）＝6x2-6ax＝6x（x-a），令g′（x）＝0得，x1＝0，x2＝a（a＞0）.討論得，極大值g（0）＝3a+b，極小值g（a）＝-a3+3a+b.由題意得g（0）＝3a+b＞0且g（a）＝-a3+3a+b＜0，所以 -3a＜b＜f（a）.

本題還可以探究a＜0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)f（a）＜b＜-3a時(shí)，可以作三條切線.同學(xué)們還可以探究函數(shù)式中含有兩個(gè)參變量，點(diǎn)P為定點(diǎn)，如果能作三條切線，探究參數(shù)之間的關(guān)系.

問(wèn)題2答案：（1）（略）；（2）；（3）對(duì)任意a＞0，存在b＞0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”.

改編2-1解析：存在，.

先證，f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；其次，在點(diǎn)處的公切線；最后證明：當(dāng)x＞0時(shí)，，且恒成立.

略解：易證.令G（x）＝，于是，因此，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，G′（x）＞0，G（x）在上單調(diào)遞增.

改編2-2解析：設(shè)f（x）在點(diǎn)處的切線為lA，g（x）在點(diǎn)處的切線為lB，

f′（x）＝-2x-3，g′（x）＝-2x.因此，.由題意知，lA與lB重合的充要條件為且，消去x2得，.令，則方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為t3-3t+a＝0在（0，+∞）內(nèi)有解.

設(shè)h（t）＝t3-3t+a，則h′（t）＝3t2-3＝3（t-1）（t+1）.討論求得h（t）min＝a-2.

要使得存在k，b，必須使方程在（0，+∞）內(nèi)有解，當(dāng)且僅當(dāng)h（t）min＝h（1）＝a-2≤0，即a≤2.

當(dāng)a≤2時(shí)，存在實(shí)數(shù)k，b滿足題意.

改編2-3解析：設(shè)函數(shù)f（x）圖象上點(diǎn)P（x0，y0），y0＝x30-3x0+1，f′（x）＝3x2-3，

因此，在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為.

因?yàn)楫?dāng)x≠x0時(shí)，（x-x0）（f（x）-g（x））＞0恒成立，等價(jià)于（x-x0）3（x+2x0）＞0恒成立，即等價(jià)于（x-x0）（x+2x0）＞0恒成立，即必有x0＝-2x0，因此x0＝0.

所以g（x）＝-3x+1.

回顧悟道

問(wèn)題一主要是探究在曲線上一點(diǎn)處的切線和過(guò)點(diǎn)（點(diǎn)可能在曲線上也可能不在曲線上）作切線，重點(diǎn)討論三次函數(shù)的問(wèn)題，最終還是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題；問(wèn)題二是新定義函數(shù)的公切線問(wèn)題，處理這類問(wèn)題也是等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)求極值.改編問(wèn)題策略，一是改編函數(shù)解析式（如變更函數(shù)、設(shè)置參數(shù)），二是變更點(diǎn)與曲線的位置（通過(guò)參數(shù)調(diào)控），三是變更已知條件與結(jié)論的位置（可以全部交換，也可以局部交換）.求解策略通常是待定系數(shù)法、函數(shù)與方程、分類討論數(shù)形結(jié)合思想方法等等.

小試牛刀

（2018年全國(guó) Ⅲ 卷第14題）曲線y＝（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為-2，則a＝________.

提示1：本題給出切線斜率，求參數(shù)的值，如果切線的斜率由兩直線的位置關(guān)系確定.

改編1：___________________________.

提示2：若點(diǎn)不在曲線上，過(guò)點(diǎn)作切線的情況如何？

改編2：___________________________.

小試牛刀

原題答案：因?yàn)閥′＝ （ax+a+1）ex，因此f′（0）＝a+1，于是a+1＝-2，即a＝-3.

改編1：曲線y＝（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線與直線2x-ay+b＝0平行，則a＝________.

改編2：討論過(guò)原點(diǎn)作曲線y＝（ax+1）ex切線的條數(shù).

解析：設(shè)切點(diǎn)T（x0，y0），f′（x0）＝（ax0+a+1）ex0，于是在點(diǎn)T（x0，y0）處的切線方程為y-（ax0+1）ex0＝（ax0+a+1）ex0（x-x0），

將（0，0）代入得，-（ax0+1）ex0＝（ax0+a+1）ex0（-x0），即ax20+x0-1＝0.

若a＝0時(shí)，方程只有一解；