陳 俊，陳海飛，高金鳳

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動控制學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是一種將空間分布的多個系統(tǒng)元件如：傳感器、執(zhí)行器、控制器等控制節(jié)點通過數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò)連接的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)[1]。由于控制系統(tǒng)回路中通信網(wǎng)絡(luò)的介入，不可避免地將網(wǎng)絡(luò)其本身帶寬有限等特性引入到控制系統(tǒng)中，必須設(shè)計出先進(jìn)的控制策略。

針對時延和丟包控制問題，LI等[2]提出了一種改進(jìn)的依賴時延上界和丟包上界的穩(wěn)定性判據(jù)；XIE等[3]將通信受限的NCSs建模成具有輸入時延的離散時間切換系統(tǒng)，通過求解一組線性矩陣不等式(LMIs)獲得了系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件；ZHANG等[4]基于Markov建模方法，將傳感器到控制器和控制器到執(zhí)行器的兩段傳輸時延分別建模成兩個Markov鏈，并分析了閉環(huán)系統(tǒng)的隨機(jī)穩(wěn)定性。與此同時，Zhang等[5]考慮了一類時變時延小于一個采樣周期的NCSs，進(jìn)而將系統(tǒng)描述成離散時間切換系統(tǒng)，設(shè)計了相應(yīng)的H∞控制器使系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)均方穩(wěn)定和指定的H∞性能，并建立了時延長度，時延變化頻率和閉環(huán)系統(tǒng)性能的關(guān)系。

另一方面，在接收端恢復(fù)出信號與原信號有一定的誤差。早期ELIA等[6]指出在單輸入單輸出的離散線性時不變系統(tǒng)中，對數(shù)量化器是最粗糙的量化器，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的最小量化密度跟系統(tǒng)自身的不穩(wěn)定極點有關(guān)、QU等[7]研究了離散線性無線網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，基于Markov跳變系統(tǒng)，將系統(tǒng)穩(wěn)定性轉(zhuǎn)化為一個等價的不確定系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題；JIANG等[8]同時考慮了網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延，數(shù)據(jù)包任意丟失，量化的影響，基于已知的丟包概率，時延的上下界和量化密度，設(shè)計了統(tǒng)一的控制率。以上文獻(xiàn)都是考慮了傳感器對被控對象采樣的狀態(tài)信息傳輸?shù)娇刂破鞫说牧炕闆r，而在實際系統(tǒng)中，控制器的輸出信號在送到執(zhí)行器端前也同樣需要量化。

本研究將對系統(tǒng)建模、穩(wěn)定性分析及控制器設(shè)計3個方面進(jìn)行研究。

1 系統(tǒng)建模

考慮被控對象為線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)方程如下：

(1)

式中：x(t)—被控系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(t)∈Rn；u(t)—控制輸入，u(t)∈Rp；y(t)—被控輸出，y(t)∈Rr；A,B,C—具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣。

具有時延和量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 具有時延和量化的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

為了不失一般性，對NCSs作如下假設(shè)：

假設(shè)1：網(wǎng)絡(luò)時延在兩個通道中都存在，用u(t+)=Κx(t-τsc(k))表示傳感器到控制器時延，用u(t+)=Κx(t-τsc(k))表示控制器到執(zhí)行器時延，兩部分的總時延用u(t+)=Κx(t-τsc(k))表示，即u(t+)=Κx(t-τsc(k))。u(t+)=Κx(t-τsc(k))是有界的，即ηm≤τ(k)≤ηM,u(t+)=Κx(t-τsc(k))。

假設(shè)2：數(shù)據(jù)在每個采樣周期內(nèi)以單包的形式傳輸。傳感器是時鐘驅(qū)動，而控制器和執(zhí)行器都是事件驅(qū)動。

假定被控系統(tǒng)的狀態(tài)都是可觀測的，則可以使用閉環(huán)狀態(tài)反饋控制器:

u(t+)=Κx(t-τsc(k))，k=1,2,…

(2)

式中：Κ—狀態(tài)反饋增益。

由于通信網(wǎng)絡(luò)中存在網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延和數(shù)據(jù)包丟失的問題，將式(2)代入式(1)中得到：

(3)

式中：t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]；h—采樣周期；x(ikh)—系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在采樣時刻ikh經(jīng)傳感器檢測出的信號。

由于零階保持器(ZOH)的工作機(jī)制[9]，u(ikh)在采樣時刻ikh總是接收最新的控制信號以保證系統(tǒng)的實時性，又因為x(ikh)=x(t-(t-ikh))，令η(t)=t-ikh，其中，t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]，根據(jù)假設(shè)1可知，ηm≤(ik+1h-ikh)+τ(k+1)≤ηM，所以η(t)也是有界的，即ηm≤η(t)≤ηM。結(jié)合式(1～3)，并用t-η(t)代替ikh，于是式(3)可以表示為：

(4)

其中：t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]，ηm≤η(t)≤ηM。

考慮到前饋通道和反饋通道分別加入量化器后，量化器g(·)和f(·)分別量化狀態(tài)信號和控制信號，量化器與其兩端的輸入輸出關(guān)系描述如下：

v(t)=Κg(x(ikh))

(5)

u(t)=f(v(t))

(6)

量化器f(·)和g(·)定義為：

f(v)=[f1(v1),f2(v2),…,fp(vp)]T

(7)

g(x)=[g1(x1),g2(x2),…,gn(xn)]T

(8)

其中：fi(·)和gj(·)(i=1,2,…,p;j=1,2,…,n)是對稱的，即fi(-vi)=-fi(vi)和gj(-xj)=-gj(xj)，本文選取fi(·)和gj(·)為對數(shù)量化器。

定義1[10]：一個量化器被稱為對數(shù)量化器，它的量化級數(shù)的集合為：

U={±ui：ui=ρiu0,i=±1,±2,…}∪
{±u0}∪{0},0<ρ<1,u0>0

(9)

定義為：

(10)

其中：

(11)

(12)

利用扇形界方法可將fi(·)和gj(·)表示為[11]：

fi(vi)=(1+Δfi(vi))vi，|Δfi(vi)|≤δfi

(13)

gj(xj)=(1+Δgj(xj))xj，|Δgj(xj)|≤δgj

(14)

于是量化器fi(·)和gj(·)可以表示為：

f(v)=(Ι+Δf)v

(15)

g(x)=(Ι+Δg)x

(16)

其中：令Δf=Δfi，Δg=Δgj，Ι為適當(dāng)維數(shù)的單位陣。根據(jù)式(1～4，15-16)得到系統(tǒng)的控制輸入為：

u(t)=(Ι+Δf)Κ(Ι+Δg)x(ikh)=
(Κ+Δ(Κ))x(ikh)

(17)

其中，Δ(Κ)=ΔfΚ+ΚΔg+ΔfΚΔg。結(jié)合式(4)和式(17)得到：

(18)

其中：t∈[ikh+τ(k),ik+1h+τ(k+1)]。

(19)

引理2[12]：對于給定的具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Ω1，Ω2和Ψ，σ(t)是關(guān)于t的函數(shù)，且滿足0≤σm≤σ(t)≤σM，則：(σ(t)-σm)Ω1+(σM-σ(t))Ω2+Ψ<0成立當(dāng)且僅當(dāng)：(σM-σm)Ω1+Ψ<0，(σM-σm)Ω2+Ψ<0。

引理3[13]：對于給定的適當(dāng)維數(shù)的實矩陣D，E和F且滿足‖F(xiàn)‖≤1，則對任意給定的變量ε>0，有下面的不等式成立：

DEF+ETFTDT≤ε-1DDT+εETE

(20)

2 穩(wěn)定性分析

定理1給出了其漸近穩(wěn)定的一個判據(jù)，為接下來的控制器設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。

定理1：給定狀態(tài)反饋增益矩陣Κ和標(biāo)量常數(shù)ηm，ηM，如果存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣P>0，Ti>0，Mi>0(i=1,2)和普通矩陣S，N滿足式(21～22)，則閉環(huán)控制系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的。

(21)

(22)

其中：

證明：選取的Lyapunov-Krasovskii泛函形式：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

其中：

V1(t)=xT(t)Px(t)

xT(t)T2x(t)-xT(t-ηM)T2x(t-ηM)

2φT(t)S[x(t-ηm)-x(t-η(t))-

(23)

另外，其中兩項：

(24)

(25)

結(jié)合式(23～25)可得：

xT(t-ηm)T1x(t-ηm)-

(x(t)-x(t-ηm))TM1(x(t)-x(t-ηm))-

2φT(t)S(x(t-ηm)-x(t-η(t)))+

2φT(t)N(x(t-η(t))-x(t-ηM))+

(26)

由于Δ(Κ)=ΔfΚ+ΚΔg+ΔfΚΔg是以非線性的形式存在的，其中的Δf和Δg為兩個不確定項，Δ(K)也是不確定的，無法直接用Matlab中的LMI工具箱求解，所以本研究應(yīng)用常見處理不確定項的方法，將其轉(zhuǎn)化成如下形式。定理2給出了處理不確定項Δ(K)的具體過程。

定理2：給定反饋增益矩陣Κ和標(biāo)量常數(shù)ηm，ηM，如果存在適當(dāng)維數(shù)的對稱正定矩陣P>0，Ti>0，Mi>0(i=1,2)和普通矩陣S，N以及變量εk(k=1,2,3)滿足式(27～28)則閉環(huán)控制系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的。

(27)

(28)

其中：

證明：將定理1中的Ω作如下形式改寫：

(29)

應(yīng)用引理3可知，存在εk(k=1,2,3)使得下列不等式成立：

(30)

3 控制器設(shè)計

根據(jù)定理1和定理2，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)(18)漸近穩(wěn)定。下面給出量化反饋控制器的設(shè)計方法。

(29)

(30)

其中：

證畢。

注釋2：從定理3中可以看出線性矩陣不等式(29～30)的可行性解不僅與網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時延的上下界ηM，ηm有關(guān)，還與兩個量化器的量化參數(shù)δf，δg有關(guān)，根據(jù)式(11)可知，兩個量化器的量化密度ρf，ρg的大小直接影響線性矩陣不等式(31～32)的求解。

4 數(shù)值仿真示例

例1：考慮如下線性系統(tǒng)：

同時選取兩個量化器為對數(shù)量化器，并選擇適當(dāng)?shù)牧炕芏?，根?jù)定理3，取常數(shù)α1=9.6，α2=8.0，對應(yīng)有不同的量化密度ρf和ρg。

在不同的量化密度下，系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 不同量化密度下系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)比較

3種量化密度下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)如圖3所示。

圖3 3種量化密度下系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

從圖3可以看出：(1)通過量化反饋控制器可以使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；(2)隨著量化器的量化密度增大，量化器對信號的采樣和量化越精細(xì)，對系統(tǒng)的信息了解越多，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)的時間變短，則系統(tǒng)的控制性能變好。

5 結(jié)束語

本研究運用Lyapunov穩(wěn)定性理論提出了一種基于時變時延依賴的Lyapunov-Krasovskii泛函，并得到了以兩個線性矩陣不等式(LMIs)表示的穩(wěn)定性判據(jù)；在不考慮外部干擾的情況下，設(shè)計了量化狀態(tài)反饋控制器使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，并且得到系統(tǒng)的控制性能與量化器的量化密度ρf和ρg密切相關(guān)；最后給出的數(shù)值仿真示例驗證了所提方法的有效性。

[1] 游科友，謝立華.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的最新研究綜述[J].自動化學(xué)報，2013，39(2)：101-118.

[2] LI H B, YANG H J, SUN F C, et al. A network-bound-dependent stabilization method of networked control systems[J].Automatica,2013,49(8):2561-2566.

[3] XIE D, CHEN X, LV L, et al. Asymptotical stabilisability of networked control systems: time-delay switched system approach[J].IETControlTheoryandApplications,2008,2(9):743-751.

[4] ZHANG L Q, SHI Y, CHEN T W, et al. A new method for stabilization of networked control systems with random delays[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2005,50(8):1177-1181.

[5] ZHANG W A, YU L, YIN S. A switched system approach to H∞control of networked control systems with time-varying delays[J].JournaloftheFranklinInstitute,2011,348(2):165-178.

[6] ELIA N, MITTER K. Stabilization of linear systems with limited information[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2001,46(9):1384-1400.

[7] QU F L, HU B, GUAN Z H, et al. Quantized stabilization of wireless networked control systems with packet losses[J].ISATransactions,2016,6(4):92-97.

[8] JIANG S, FANG H J. Quantized stabilization of discrete-time systems in a networked environment[J].AppliedMathematicalModelling,2014,38(5-6):1685-1697.

[9] FENG Yu, CHEN Xiang, GU Guo-xiang. Quantized feedback stabilizing control for multiple-input networked systems with multiplicative random noises: a stochastic approach[C]. American Control Conference, Portland: IEEE,2014.

[10] LI F W, SHI P, WANG X C, et al. Fault detection for networked control systems with quantization and Markovian packet dropouts[J].SignalProcessing,2015,111(C):106-112.

[11] LIU T F, JIANG Z P, HILL D J. A sector bound approach to feedback control of nonlinear systems with state quantization[J].Automatica,2012,48(1):145-152.

[12] HAN Qing-long. Absolute stability of time-delay systems with sector-bounded nonlinearity[J].Automatica,2005,41(12):2171-2176.

[13] CAO Y Y, SUN Y X, JAMES L. Delay-dependent robust H∞control for uncertain systems with time-varying delays[J].IEEEProceedings-ControlTheoryandApplications,1998,145(3):338-344.

[14] FU M Y, XIE L H. The sector bound approach to quantized feedback control[J].IEEETransactionsonAutomaticControl,2005,50(11):1698-1711.