楊樹(shù)樹(shù)， 寧 勇， 董寧?kù)?/p>

(1.中國(guó)航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京 210007；2.南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

傳統(tǒng)的數(shù)字信號(hào)處理是以奈奎斯特(Nyquist)采樣定理為基礎(chǔ)的，在該框架下，數(shù)字系統(tǒng)采樣速率必須達(dá)到模擬信號(hào)帶寬的2倍才能無(wú)失真地恢復(fù)原始模擬信號(hào)[1]。然而，隨著信息需求量的日益增加，信號(hào)帶寬越來(lái)越寬，信息獲取對(duì)采樣速率和處理速度提出了越來(lái)越高的要求，人們迫切需要去尋求新的數(shù)據(jù)采集和處理的方法。在這種情況下，針對(duì)具有稀疏特性信號(hào)的采樣和處理技術(shù)的壓縮感知(CS)[2-3]理論應(yīng)運(yùn)而生。

目前壓縮采樣系統(tǒng)主要有基于多陪集(MC)[4]的方法、基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(MWC)[5-7]的方法等，這些方法均采用多通道結(jié)構(gòu)，在頻率支集未知的情況下能夠顯著降低采樣頻率，但是此系統(tǒng)硬件復(fù)雜，對(duì)通道間的幅相一致性要求較高，系統(tǒng)的穩(wěn)健性差。本文提出了一種基于周期非均勻采樣的多頻帶信號(hào)感知技術(shù)，它是一種基于單通道結(jié)構(gòu)的壓縮采樣系統(tǒng)[8]，重點(diǎn)解決了上述方法實(shí)現(xiàn)時(shí)硬件復(fù)雜度高、設(shè)備要求高的問(wèn)題。

1 周期非均勻壓縮采樣系統(tǒng)

1.1 理論采樣過(guò)程

yi[n]=x(nLTnyq+ciTnyq),1≤i≤p

(1)

以上周期非均勻采樣過(guò)程可用圖1表示。

由圖1可知，周期非均勻采樣系統(tǒng)可由p個(gè)起始點(diǎn)不同的采樣頻率為fnyq/L的A/D轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)，圖2為周期非均勻采樣時(shí)序。

1.2 實(shí)際采樣模式

實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，為了避免各通道的不一致性，圖1所描述的多通道采樣系統(tǒng)可通過(guò)一個(gè)由非均勻時(shí)鐘控制的A/D轉(zhuǎn)換器實(shí)現(xiàn)，則該采樣系統(tǒng)變?yōu)橐粋€(gè)單通道采樣系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3中的非均勻脈沖信號(hào)p(t)為周期性的，周期為L(zhǎng)Tnyq，每個(gè)周期內(nèi)包含p個(gè)脈沖，即進(jìn)行p次采樣。一個(gè)周期非均勻脈沖信號(hào)在一個(gè)周期內(nèi)的波形如圖4所示。

圖4中脈沖信號(hào)的每個(gè)上升沿控制A/D轉(zhuǎn)換器的一次采樣，各上升沿對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)應(yīng)該分別為c1Tnyq,c2Tnyq,…,cpTnyq。

2 信號(hào)重構(gòu)

完成對(duì)信號(hào)的周期非均勻采樣后，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，恢復(fù)出原始信號(hào)的奈奎斯特采樣序列。

2.1 信號(hào)加窗

周期非均勻采樣系統(tǒng)可以采樣得到任意長(zhǎng)度的樣本序列，但重構(gòu)算法在一段時(shí)間內(nèi)只能處理有限長(zhǎng)的序列，因此，可以利用窗函數(shù)對(duì)采樣序列進(jìn)行分段[9]。適當(dāng)?shù)募哟疤幚砜梢杂行У胤乐惯吘壭?yīng)，并且可以避免頻譜泄露破壞信號(hào)頻域的稀疏性。為了完全重構(gòu)出原信號(hào)，首先利用分析窗將接收到的無(wú)限長(zhǎng)序列分段，經(jīng)過(guò)信號(hào)處理過(guò)程后，再通過(guò)綜合窗將各段信號(hào)拼接起來(lái)，恢復(fù)出原來(lái)的無(wú)限長(zhǎng)信號(hào)。

為了描述整個(gè)分段加窗的處理過(guò)程，用y′表示周期非均勻采樣系統(tǒng)的采樣輸出序列，用x表示序列y′所對(duì)應(yīng)的原始信號(hào)的奈奎斯特采樣序列。首先將序列y′插零，將相對(duì)于奈奎斯特率采樣而言的周期非均勻采樣未采到的位置均補(bǔ)零，得到奈奎斯特速率的序列y。將序列y分段，各段長(zhǎng)度為N(N/L為偶數(shù))，重疊率為50%，并將各段序列與分析窗函數(shù)w1相乘，則得到的第j(j=0,1,…)段序列為：

yj(i)=w1(i)y(i+jN/2),i=0,1,…,N-1

(2)

由于加窗后yj中補(bǔ)零的位置依然為0，因此實(shí)際處理過(guò)程中無(wú)需對(duì)序列y′插零。直接將y′按長(zhǎng)度M=pN/L進(jìn)行重疊率為50%的分段，并將分段后序列中的各元素分別與w1中對(duì)應(yīng)位置的窗函數(shù)元素相乘，可得到序列yj，則yj中的元素為序列yj中所有的非補(bǔ)零位置的元素。因此，yj可以理解為對(duì)分段加窗信號(hào)xj(i)=w1(i)x(i+jN/2)進(jìn)行周期非均勻采樣的結(jié)果。

分析可知，除去最初的N/2個(gè)樣本點(diǎn)和最后的N/2個(gè)樣本點(diǎn)，x(k)中的其他樣本點(diǎn)都被映射到xj中的兩個(gè)位置：第「|2k/N?-1段序列的第kmod(N/2)+N/2個(gè)點(diǎn)，第「|2k/N?段序列的第kmod(N/2)個(gè)點(diǎn)。

(3)

式中，i∈0,1,…,N-1，j為整數(shù)。由式(3)可知，為保證信號(hào)的完全重構(gòu)，窗函數(shù)w1、w2需滿足：

w1(i)w2(i)+w1(i+N/2)w2(i+N/2)=1

(4)

式中，i=0,1,…,N/2-1。

2.2 重構(gòu)過(guò)程

將周期非均勻采樣系統(tǒng)的輸出序列y′[n]分為p組新序列yi[n]=y′[np+i-1]，其中1≤i≤p，n=0,1,2,…，則yi[n]=x(nLTnyq+ciTnyq)，其速率為fp=fnyq/L。序列yi[n]的離散時(shí)間傅里葉變換可表示為：

exp(j2πfciTnyq),f∈Fp

(5)

式中，Tp=1/fp，F(xiàn)p=-fp/2,fp/2。

(6)

將式(6)表示為矩陣形式，可得：

(7)

Aik=1/Lexp(j2πci(k-1-L/2)/L)

(8)

向量z(f)是L×1維未知向量，其第i個(gè)元素為：

zi(f)=X(f+(i-L/2-1)fp)

(9)

將式(7)轉(zhuǎn)換為時(shí)域形式，有：

(10)

頻帶個(gè)數(shù)為N的多頻帶信號(hào)所對(duì)應(yīng)向量z(f)的聯(lián)合稀疏度K滿足K≤2N。向量z(f)的聯(lián)合支撐集S=suppz(f)可以利用一種連續(xù)-有限(CTF)模塊進(jìn)行估計(jì)，其框架如圖5所示。

令：

(11)

用CTF模塊估計(jì)出支撐S后，可求出：

(12)

zi[n]=0,i?S

(13)

(14)

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 系統(tǒng)重構(gòu)成功率

設(shè)計(jì)一個(gè)多頻帶信號(hào)周期非均勻采樣系統(tǒng)，參數(shù)設(shè)計(jì)為：L=256，p=32。ci在[0,L-1]中隨機(jī)選取，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，假設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器的實(shí)際有效位數(shù)為13位。

選用由三個(gè)符號(hào)速率為fd=100 kHz的QPSK信號(hào)組成的多頻帶信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析輸入信號(hào)的信噪比對(duì)系統(tǒng)重構(gòu)成功率的影響。

由圖6可知，對(duì)于輸入信號(hào)的能量系數(shù)為Ei=1,10,106的情況，最小信號(hào)與白噪聲之間信噪比為5dB時(shí)，最小信號(hào)的重構(gòu)成功率已達(dá)到90%以上。而對(duì)于輸入信號(hào)的能量系數(shù)為Ei=1,10,107的情況，即使輸入信噪比增高，系統(tǒng)重構(gòu)成功率也保持在93.5%左右不再提高，這是由有效數(shù)字為13位的A/D轉(zhuǎn)換器引起的量化噪聲導(dǎo)致的。

3.2 系統(tǒng)重構(gòu)精度仿真

選用由正弦信號(hào)，符號(hào)速率均為fd=200 kHz的QPSK信號(hào)和BPSK信號(hào)三個(gè)子信號(hào)組成的多頻帶信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析輸入信號(hào)的信噪比與重構(gòu)信號(hào)精度的關(guān)系。

(15)

3.3 壓縮比對(duì)系統(tǒng)性能的影響

定義周期非均勻采樣系統(tǒng)壓縮采樣的壓縮比為β=L/p，因此參數(shù)L=256保持不變，通過(guò)改變參數(shù)p改變系統(tǒng)的壓縮比β。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文介紹了周期非均勻壓縮采樣工作原理，提出了一種基于單通道結(jié)構(gòu)的壓縮采樣系統(tǒng)，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)以及性能分析，相對(duì)于傳統(tǒng)的多通道壓縮采樣系統(tǒng)而言，該系統(tǒng)能克服傳統(tǒng)多通道壓縮采樣系統(tǒng)硬件復(fù)雜度高、設(shè)備要求高的問(wèn)題，易于工程實(shí)現(xiàn)。■

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