陜西省西安市高新第三中學(xué)(710075) 呂二動(dòng)

陜西省西安市西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(710127) 耿 妍

北師大版《步步高大一輪復(fù)習(xí)講義》第357頁(yè)第15題是關(guān)于從圓上兩頂點(diǎn)出發(fā)的動(dòng)直線與恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,本文從此問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行進(jìn)一步推廣,得到圓錐曲線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的一些普適結(jié)論.

問(wèn)題1如圖1,已知圓O的直徑|AB|=4,定直線l到圓心的距離為4,且直線l垂直于直線AB.點(diǎn)P是圓O上異于A,B的任意一點(diǎn),直線PA,PB分別交l于M,N兩點(diǎn).

圖1

(1)若∠PAB=30°,求以MN為直徑的圓的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí),求證:以MN為直徑的圓必過(guò)圓O內(nèi)的一定點(diǎn).

筆者對(duì)此題作出大膽的猜想,能否將此題中的圓改為橢圓,結(jié)論還能過(guò)定點(diǎn)嗎?答案是肯定的.

一、試題變式

變式1如圖2,已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A(?5,0),B(5,0),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,求證:以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn).

圖2

做完此題,筆者對(duì)此題作了一般性結(jié)論的推廣.

結(jié)論1 已知橢圓的左右頂點(diǎn)為A(?a,0),B(a,0),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,求證以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右(左)焦點(diǎn).

若將橢圓改為雙曲線是否有相同的結(jié)論呢?答案是肯定的.

變式2 如圖3,已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為A(?4,0),B(4,0),點(diǎn)P是雙曲線上異于A,B的任意一點(diǎn),直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,求證:以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線內(nèi)的右焦點(diǎn).

圖3

結(jié)論2已知雙曲線的左右頂點(diǎn)為A(?a,0),B(a,0),點(diǎn)P是雙曲線上異于A,B的任意一點(diǎn),直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,求證以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右(左)焦點(diǎn).

對(duì)于以上的結(jié)論筆者考慮要是拋物線也有,那將是圓錐曲線的普適結(jié)論,但拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn),所以筆者對(duì)條件進(jìn)行修改,便有下面問(wèn)題.

變式3 如圖4,已知拋物線y2=4x,點(diǎn)A是雙曲線上異于原點(diǎn)O(0,0)的任意一點(diǎn),直線l:x=?1,過(guò)點(diǎn)A向y軸做垂線,與直線l交于點(diǎn)M,直線AO與直線l交于點(diǎn)N,求證:以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

圖4

結(jié)論3 已知拋物線y2=2px,點(diǎn)A是雙曲線上異于原點(diǎn)O(0,0)的任意一點(diǎn),直線,過(guò)點(diǎn)A向y軸做垂線,與直線l交于點(diǎn)M,直線AO與直線l交于點(diǎn)N,求證以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn).

統(tǒng)一結(jié)論圓錐曲線上過(guò)異于頂點(diǎn)的點(diǎn)與兩頂點(diǎn)組成的兩條直線與圓錐曲線的準(zhǔn)線相交于兩點(diǎn),以這兩點(diǎn)組成的線段為直徑的圓恒過(guò)焦點(diǎn).特別的當(dāng)圓錐曲線為只有一個(gè)頂點(diǎn)的拋物線時(shí),其中一條直線為過(guò)曲線與準(zhǔn)線垂直的直線.

二、試題拓展

拓展1若A點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn),B為A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,則以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn).

拓展2若A點(diǎn)為x軸上橢圓上任意一點(diǎn),B為A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),PF與橢圓交于點(diǎn)Q,直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,則.

拓展3若A點(diǎn)為x軸上橢圓上任意一點(diǎn),B為A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),直線l:x=x0(|x0|＞a),直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,則以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

拓展4若A點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),B為橢圓的右頂點(diǎn),F為橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),PF與橢圓交于點(diǎn)Q,直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,MN的中點(diǎn)記為G,MN與x軸的交點(diǎn)為A1,M1N1為MN在右(左)準(zhǔn)線上的投影,則有以下結(jié)論:

(2)A、N、Q三點(diǎn)共線.

(3)MF平分∠PFB,FA1平分∠PA1Q.

(4)MA1//GN1.

拓展5若A點(diǎn)為x軸上橢圓上任意一點(diǎn),B為A點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上異于A,B的任意一點(diǎn),F的坐標(biāo)為(m,0)(|m|＜a),PF與橢圓交于點(diǎn)Q,直線,直線PA,PB分別交l于點(diǎn)M,N,則.

以上結(jié)論對(duì)雙曲線都成立,部分結(jié)論對(duì)拋物線也成立,這些及上面拓展的證明留給有興趣的讀者去思考,這些結(jié)論僅僅圓錐曲線的一部分,圓錐曲線中蘊(yùn)含著復(fù)雜多變的關(guān)系,其研究空間很大,收獲頗多,其樂(lè)無(wú)窮!

數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量的關(guān)系,數(shù)學(xué)的本質(zhì)是“智慧”,是“人的思維”,數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是思維過(guò)程的引導(dǎo)、啟發(fā),因此,做數(shù)學(xué)題要從根本出抓起,通過(guò)研究問(wèn)題的變式,優(yōu)化解題的方法,拓展問(wèn)題應(yīng)用,揭示問(wèn)題的背景等方式,跳出無(wú)邊無(wú)際的“書(shū)山題?！?通過(guò)對(duì)解題過(guò)程之反思,留住知識(shí)之根、方法之根,價(jià)值之根和本質(zhì)之根,只有從根處澆灌知識(shí)之營(yíng)養(yǎng),數(shù)學(xué)之花,才能燦爛綻放.