孔湛琦

對(duì)稱(chēng)性是圓錐曲線(xiàn)的重要性質(zhì)，許多圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題，特別是高考中的圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題常與對(duì)稱(chēng)性有關(guān).用好圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性往往能使問(wèn)題化難為易，事半功倍.

圖1例1（2012年福建理）如圖1，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率e=12.過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為8.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線(xiàn)x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

分析直線(xiàn)l含有m，k兩個(gè)參數(shù)，直線(xiàn)l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，m，k兩個(gè)參數(shù)可以轉(zhuǎn)換為1個(gè)參數(shù).因?yàn)镸為未知，加上點(diǎn)M（x1，y1）的兩個(gè)參數(shù)就變成3個(gè)參數(shù)了，這樣就給下一步的求解帶來(lái)很大困難.大家知道橢圓E與直線(xiàn)x=4都是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M若存在一定在軸上，即M（x1，0）.這樣3個(gè)參數(shù)就變成兩個(gè)參數(shù)，問(wèn)題也就容易解決了.這里巧妙地運(yùn)用了圖形的對(duì)稱(chēng)性，簡(jiǎn)化了運(yùn)算，收到了很好的效果.

解（Ⅰ）橢圓E：x24+y23=1，解題過(guò)程略.

（Ⅱ）由y=kx+m，

x24+y23=1，消去y得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，因?yàn)閯?dòng)直線(xiàn)l與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x0，y0），所以m≠0且Δ=64k2m2-4（4k2+3）（4m2-12）=0，

化簡(jiǎn)得4k2-m2+3=0（*）.

此時(shí)x0=-4km4k2+3=-4km，y=kx0+m=3m，所以P（-4km，3m）.

由y=kx+m，

x=4，得Q（4，4k+m）.

橢圓E與直線(xiàn)x=4都是關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M若存在，M點(diǎn)一定在軸上，即M（x1，0），則MP·MQ=0對(duì)滿(mǎn)足（*）式的m，k恒成立.

因?yàn)镸P=（-4km-x1，3m），MQ=（4-x1，4k+m），由MP·MQ=0得，

-16km+4kx1m-4x1+x21+12km+3=0，整理得4（x1-1）km+x21-4x1+3=0（**）.

由于（**）式對(duì)（*）式的m，k恒成立，

所以4x1-4=0，

x21-4x1+3=0，解得x1=1.

故存在定點(diǎn)M（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.

圖2例2（2015年四川理）如圖2，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率是22，過(guò)點(diǎn)P（0，1）的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)l平行于x軸時(shí)，直線(xiàn)l被橢圓E截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為22.

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q，使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析此題系2015年四川理的壓軸題，屬于高難度題目.此題也曾是山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)的一次考試題，得分率很低.很多同學(xué)的困難在于一是不知道|QA||QB|=|PA||PB|如何轉(zhuǎn)化，二是Q點(diǎn)的坐標(biāo)不知道導(dǎo)致參數(shù)過(guò)多不容易操作.事實(shí)上，橢圓E與直線(xiàn)AB都是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q若存在一定在y軸上，即可設(shè)Q（0，y0）.

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).則A（0，2），B（0，-2），

由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，

解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿(mǎn)足條件|QA||QB|=|PA||PB|，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q（0，2）.剩下的只需驗(yàn)證Q（0，2）對(duì)任意的直線(xiàn)l，均有|QA||QB|=|PA||PB|即可，即只需驗(yàn)證kQA+kQB=0，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了.

解（Ⅰ）橢圓E：x24+y22=1，解題過(guò)程略.

（Ⅱ）橢圓E與直線(xiàn)AB都是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q若存在一定在y軸上，即可設(shè)Q（0，y0）.

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn).則A（0，2），B（0，-2），

由|QA||QB|=|PA||PB|，有|y0-2||y0+2|=2-12+1，

解得y0=1或y0=2.

所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿(mǎn)足題設(shè)條件，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為Q（0，2）.

下面證明：對(duì)任意的直線(xiàn)l，均有

|QA||QB|=|PA||PB|.

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

聯(lián)立x24+y22=1，

y=kx+1，得（2k2+1）x2+4kx-2=0.Δ=16k2+8（2k2+1）>0，

所以，x1+x2=-4k2k2+1，x1x2=-22k2+1.

kQA+kQB=y1-2x1+y2-2x2=k-1x1+k-1x2=2k-x1+x2x1x2=2k-2k=0.

所以∠QPA=∠QPB，從而|QA||QB|=|PA||PB|.

故存在與P不同的定點(diǎn)Q（0，2），使得|QA||QB|=|PA||PB|恒成立.

其實(shí)對(duì)稱(chēng)性的作用不僅體現(xiàn)在定值，定點(diǎn)問(wèn)題，圓錐曲線(xiàn)的很多問(wèn)題都與對(duì)稱(chēng)性有關(guān).

例3（2016年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理）已知A是橢圓E：x24+y23=1的左頂點(diǎn)，斜率為kk>0的直線(xiàn)交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.endprint

（Ⅰ）當(dāng)AM=AN時(shí)，求△AMN的面積；

（Ⅱ）當(dāng)2AM=AN時(shí)，證明：3

分析（Ⅰ）如果無(wú)法求出kk>0的值，就無(wú)法求出△AMN的面積；如何求出k值，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性可知直線(xiàn)AM的傾斜角為π4，這樣問(wèn)題就容易解決了.

解（Ⅰ）設(shè)M（x1，y1），則由題意知y1>0.由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線(xiàn)AM的傾斜角為π4，又A（-2，0），因此直線(xiàn)AM的方程為y=x+2.將x=y-2代入x24+y23=1得7y2-12y=0，解得y=0或y=127，所以y1=127.

所以△AMN的面積

S△AMN=2×12×127×127=14449.

（Ⅱ）略.

例4（2013年重慶文）設(shè)雙曲線(xiàn)C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線(xiàn)A1B1和A2B2，使A1B1=A2B2，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的交點(diǎn)，則該雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（）.

A.（233，2] B.[233，2）

C.（233，+∞）D.[233，+∞）

分析盡管此題是一道選擇題，但是如果找不到合適的辦法難度還是非常大的，因?yàn)椴恢獜暮翁幦胧?但是如果心里裝著圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，題目就不難解決了.易知A1B1=A2B2，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知，滿(mǎn)足題意的這一對(duì)直線(xiàn)也是關(guān)于x軸（或y軸對(duì)稱(chēng)）.由題意知有且只有一對(duì)這樣的直線(xiàn)，故該雙曲線(xiàn)在第一象限的漸近線(xiàn)的傾斜角θ的范圍是π6<θ≤π3，即33

本來(lái)到這里此文就該結(jié)束了，但恰逢2017年高考結(jié)束.當(dāng)筆者第一眼見(jiàn)到2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理第20題時(shí)，第一感覺(jué)是“又見(jiàn)圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性”.

例5（2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ理）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1）、P2（0，1）、P3（-1，32）、P4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A、B兩點(diǎn).若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).

分析盡管（Ⅰ）不是很難，但是確是奠基步驟，有的考生就是因?yàn)椴荒芮蟪鰴E圓的方程而導(dǎo)致整個(gè)題目無(wú)法得分.而出現(xiàn)這種情況的一個(gè)重要原因是不能斷定4個(gè)點(diǎn)中哪3個(gè)點(diǎn)在橢圓C上.事實(shí)上P3、P4關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性P3、P4一定在橢圓上（因?yàn)槿舨辉冢瑢⒉粫?huì)有3個(gè)點(diǎn)在橢圓上）.然后就可判定點(diǎn)P2在橢圓上，而點(diǎn)P1不在橢圓上.有了這樣的判斷就很容易解決了.C：x24+y22=1，解題過(guò)程略.

以上幾例充分說(shuō)明對(duì)稱(chēng)性不僅是圓錐曲線(xiàn)的一條重要性質(zhì)，還是高考命題的重要切入點(diǎn).其實(shí)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用還遠(yuǎn)不止這幾例，只要我們有一個(gè)對(duì)稱(chēng)性的意識(shí)，心里裝著對(duì)稱(chēng)性，就能發(fā)現(xiàn)其中之規(guī)律，讓圓錐曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用發(fā)揮出最大的潛能.