朱永廠++錢軍先

1問(wèn)題提出

圖1高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課上，筆者向?qū)W生展示了2017年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第12題：“如圖1，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量OA，OB，OC的模分別為1，1，2，OA與OC的夾角為α，且tanα=7，OB與OC的夾角為45°.若OC=mOA+nOB（m，n∈R）， 則m+n=.”

這是一道以平面向量基本定理為背景，以向量分解和向量加法的法則為工具，以化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想為依托的既源于課本又高于課本的試題，本題的立意深、入口寬、方法廣，具有較高的研究?jī)r(jià)值.本文旨在通過(guò)學(xué)生對(duì)問(wèn)題解法的探究、理解和感悟來(lái)探尋高三數(shù)學(xué)高效課堂之道，以期拋磚引玉.

2解法探究

對(duì)問(wèn)題解法進(jìn)行多角度的探究，運(yùn)用一題多解的方法，能夠有效地幫助學(xué)生自主構(gòu)建平面向量的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)，獲得解決問(wèn)題的一般方法，找到向量與其他知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，揭示出問(wèn)題的本質(zhì)，比較出各種不同解法的優(yōu)劣，將數(shù)與形完美地結(jié)合，使一個(gè)陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成熟悉的、易于解決的問(wèn)題來(lái)處理，從而有效地訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

圖22.1從形的視角入手

課堂上，第一學(xué)習(xí)小組首先從形的角度進(jìn)行了探究，借助向量加法的三角形法則和解三角形中的正弦定理，獲得了常規(guī)解法，由組長(zhǎng)學(xué)生1展示.

解法1如圖2，過(guò)點(diǎn)C作直線OA的平行線交OB的延長(zhǎng)線于D，則有OC=OD+DC，由tanα=7得sinα=7210，cosα=210，

在△OCD中，有sinD=sinπ4+α=sinπ4cosα+cosπ4sinα=22·210+22·7210=45，

由正弦定理，得OD7210=CD22=245，解得CD=54，OD=74，再由DC=mOA，OD=nOB得m=54，n=74.所以m+n=3.

這時(shí)，第二小組的學(xué)生2也站了起來(lái)說(shuō)，上面的方法是利用平面向量基本定理將向量OC分解到向量OA，OB方向上來(lái)的，解法很好，但若換個(gè)視角將向量OA，OB進(jìn)行分解，解法將更為優(yōu)美.

圖3解法2如圖3，分別將向量OA，OB分解到平行和垂直于OC的方向上來(lái)，再由OC=mOA+nOB，可得mcosα+ncos45°=2，

msinα-nsin45°=0，

因?yàn)閟inα=7210，cosα=210，

所以210m+22n=2，

7210m-22n=0，即m+5n=10，

7m-5n=0，

解得m=54，n=74，所以m+n=3.

此時(shí)，先是鴉雀無(wú)聲，后是掌聲一片！

2.2從數(shù)的角度挖掘

稍傾，第三學(xué)習(xí)小組又提出了不同的見(jiàn)解，小組代表同學(xué)3激動(dòng)地說(shuō)，問(wèn)題中既有向量的模又有向量的夾角，這與向量的數(shù)量積有聯(lián)系，正是向量數(shù)量積的體現(xiàn)啊！若從向量數(shù)量積的角度去挖掘，則會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的喜人景象.

解法3由OC=mOA+nOB，得

mOA=OC-nOB，

nOB=OC-mOA，

對(duì)方程組中的方程兩邊分別平方得

m2OA2=OC2+n2OB2-2nOBOCcosπ4，

n2OB2=OC2+m2OA2-2mOAOCcosα，再由OA=1，OB=1，OC=2和cosα=210得m2=2+n2-2n，

n2=2+m2-25m，解得m=54，n=74，

所以m+n=3.

同是第三小組的同學(xué)4也站了起來(lái)說(shuō)，告訴大家一個(gè)好消息，我們組還從結(jié)論“若向量OA，OB不共線，且OP=xOA+yOB，則x+y=1的充要條件為A，B，P三點(diǎn)共線（蘇教版必修④P73第15題） ”入手，得出了這道試題的另一種解法.

圖4解法4如圖4，連結(jié)AB交OC于D，由tanα=7可得sinα=7210，cosα=210，

所以 cos∠AOB=cosπ4+α=cosπ4cosα-sinπ4sinα=-35，

在△OAB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB=165，即AB=45，

于是又cosB=25，sinB=15，所以sin∠ODB=sinπ4+B=31010.

由正弦定理得OD15=131010，解得OD=23，

故OC=3OD.所以，由上述結(jié)論得m+n=3.

此時(shí)，教室里響起了一片熱烈的掌聲！

2.3從數(shù)與形的角度升華

緊接著，第四學(xué)習(xí)小組的同學(xué)顯得有點(diǎn)急不可耐了，學(xué)生5代表大家闡述了觀點(diǎn)，基于向量兼具數(shù)與形的雙重特征，我們?nèi)绻⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系就能將數(shù)與形完美結(jié)合起來(lái).

圖5解法5如圖5，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閟inα=7210，cosα=210，sinπ4+α=45，

所以有 OA=1，0，OB=cosα+π4，

sinα+π4=-35，45，

OC=2cosα，2sinα=15，75，又OC=mOA+nOB，所以可得m-35n=15，

45n=75，解得m=54，n=74，所以m+n=3.

第五學(xué)習(xí)小組的同學(xué)6代表他們組給出了更為巧妙的建系方法，獲得了較小運(yùn)算量的精彩解法.

解法6以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，于是有OA=cos-α，sin-α，OB=cosπ4，sinπ4，OC=2，0，

再由sinα=7210，cosα=210和OC=mOA+nOB，得mcosα+ncos45°=2，endprint

-msinα+nsin45°=0，即m+5n=10，

7m-5n=0，

解得m=54，n=74，所以m+n=3.

最后，學(xué)習(xí)委員進(jìn)行了概括與總結(jié)：本題并不是一道多么繁、難的問(wèn)題，解決起來(lái)也沒(méi)有太大的困難，問(wèn)題突破的關(guān)鍵在于能否通過(guò)對(duì)本題的探究，將平面向量、解三角形以及解析法等知識(shí)和方法有機(jī)地串聯(lián)起來(lái)，能否通過(guò)不同的解法比較出各解法的優(yōu)劣，能否通過(guò)探究概括出可以推廣的東西，能否在解決問(wèn)題中優(yōu)化我們學(xué)習(xí)者的思維.

不知不覺(jué)中，下課鈴響了，但雷鳴般的掌聲經(jīng)久不息！

3教學(xué)思考

課堂上，筆者引導(dǎo)學(xué)生從多角度、深層次對(duì)高考題進(jìn)行了探究，不僅深化了對(duì)平面向量的加法法則、平面向量基本定理、向量數(shù)量積、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三角形中的正、余弦定理等核心概念的理解，還將它們的本質(zhì)和內(nèi)涵進(jìn)行了有機(jī)整合和聯(lián)系，將數(shù)學(xué)中的符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言進(jìn)行了巧妙的結(jié)合和轉(zhuǎn)化.雖然本節(jié)課只是解決了一道題，但是從問(wèn)題的典型性、探究的科學(xué)性、引導(dǎo)的合理性來(lái)看卻是解決了一類題甚至是幾類題，收到了較好的效果.在高三復(fù)習(xí)課的例題教學(xué)中，如果我們能在引導(dǎo)學(xué)生從不同角度探究問(wèn)題的解法的同時(shí)，幫助學(xué)生比較不同解法的優(yōu)劣、總結(jié)適用的范圍、探索可推廣的條件，在變式拓展中完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，深化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)、思想和方法的認(rèn)識(shí)和理解，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，則更加完美.基于此，筆者對(duì)高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有如下思考：

3.1回歸課本，重在構(gòu)建和完善認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，要立足課本，結(jié)合具體問(wèn)題，重新全面地梳理課本中的概念、定理、公式等知識(shí)和方法，系統(tǒng)地建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)和網(wǎng)絡(luò)，要引導(dǎo)學(xué)生揭示其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，從中提煉出數(shù)學(xué)思想方法.課本中的許多重要的例題和習(xí)題都是高考試題的原型，它們蘊(yùn)含了重要數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)屬性，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)這類數(shù)學(xué)問(wèn)題，要充分運(yùn)用變式教學(xué)，通過(guò)類比、延伸、遷移和拓展，提出新的問(wèn)題并加以解決，努力使學(xué)生做到觸類旁通、舉一反三，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提高數(shù)學(xué)素質(zhì).

3.2精選例題，重在突出典型性和示范性

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，如何選題很重要.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，大多數(shù)教師仍然喜歡選一些技巧性強(qiáng)的難題，以為這樣學(xué)生的水平就能提高，學(xué)生在高考中就能得心應(yīng)手，就能體現(xiàn)出教師水平的高超.其實(shí)恰恰相反，這樣的課堂往往是低效的，甚至是無(wú)效的乃至負(fù)效的.實(shí)際上，例題的選擇應(yīng)具有典型性、思維性和示范性，例題的立意要深、入口要寬、方法要廣、研究性要強(qiáng)，只有這樣的問(wèn)題才有利于教師從不同的角度去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究；才有利于學(xué)生進(jìn)行解題的總結(jié)與歸納、回顧與反思；才有利于學(xué)生提煉并概括出基本思想與基本方法；才有利于學(xué)生在解法的比較和思辨中解決“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全，全而不美”的現(xiàn)象；才有利于學(xué)生在高考中超越自我、創(chuàng)造輝煌.

3.3解題教學(xué)，重在研究解題方向和策略

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué).數(shù)學(xué)能力的提高在于解題的質(zhì)量而非解題的數(shù)量，解題教學(xué)要重在研究解題的方向和策略.教師對(duì)問(wèn)題的講解要到位，要重視知識(shí)的形成過(guò)程，不能孤立地就題論題，要講相關(guān)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，要講老師是如何想到的？為什么這樣想？條件與目標(biāo)之間應(yīng)該如何轉(zhuǎn)化？要把教師之前不成熟的想法、錯(cuò)誤的想法和調(diào)整后的想法展現(xiàn)給學(xué)生，要多講通性通法，少講或不講不具有推廣性的技巧.要注意充分挖掘典型題的教育功能，教學(xué)生學(xué)會(huì)思考，學(xué)會(huì)對(duì)典型問(wèn)題進(jìn)行變式、拓展、推廣和反思.

學(xué)之道在于“悟”，教之道在于“度”.課堂教學(xué)是教與學(xué)的雙邊活動(dòng)，學(xué)的真諦在于悟，悟是獨(dú)立思考，是自主構(gòu)建，是高效的學(xué)習(xí)方法；教的秘訣在于度，度就是恰到好處，就是能在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間和結(jié)點(diǎn)給予啟發(fā)，是高效課堂的重要保證. 學(xué)的悲哀是依賴，教的悲哀是替代，這種不爭(zhēng)的依賴和替代現(xiàn)象在基礎(chǔ)年級(jí)有，在畢業(yè)年級(jí)也存在.所以，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，只有教會(huì)學(xué)生探究和思考問(wèn)題的方法，才能真正擺脫模仿，走出題海，走向創(chuàng)新.

作者簡(jiǎn)介朱永廠（1977—），男，江蘇泗洪人，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向?yàn)檎n堂教學(xué)與課程改革研究.省優(yōu)秀青年教師，學(xué)科帶頭人，已在《數(shù)學(xué)通報(bào)》、《數(shù)學(xué)教學(xué)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等期刊上發(fā)表論文一百多篇，參編教材兩本，編寫專著一本，主編教輔用書10余部等.endprint