趙偉斌+楊小輝

【摘要】離散數(shù)學(xué)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)重要的基礎(chǔ)課程，具有理論性強(qiáng)、知識(shí)點(diǎn)離散、概念抽象和邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn).通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)可以很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯思維能力.本文從離散數(shù)學(xué)特點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)和教學(xué)方式方法等方面，探討如何學(xué)好離散數(shù)學(xué)課程.

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué)；離散量；數(shù)學(xué)模型

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的理論基礎(chǔ)，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)的核心課程.離散數(shù)學(xué)研究各種離散量之間的關(guān)系，課程內(nèi)容具有離散性、抽象性、邏輯性和可行性的特點(diǎn).由于許多學(xué)生認(rèn)識(shí)不到該課程對(duì)于后續(xù)計(jì)算機(jī)課程的重要性，缺乏學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性.也有學(xué)生對(duì)于如何運(yùn)用離散結(jié)構(gòu)解決實(shí)際問(wèn)題理解不夠深刻.因此，正確掌握本課程的教學(xué)方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力和分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力具有重要意義.本文主要針對(duì)離散數(shù)學(xué)的理論學(xué)習(xí)和實(shí)踐教學(xué)方法進(jìn)行初步探討.

一、明確離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)側(cè)重點(diǎn)

一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)求解實(shí)際問(wèn)題的步驟包括實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)建模、算法設(shè)計(jì)和編程實(shí)現(xiàn)，而離散數(shù)學(xué)正是利用離散結(jié)構(gòu)對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)合適的算法并論證算法的有效性，編寫(xiě)高效的程序解決問(wèn)題.現(xiàn)階段本科院校計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)教學(xué)中，普遍增加了計(jì)算機(jī)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)，因此，離散數(shù)學(xué)課程的理論學(xué)習(xí)課時(shí)有所減少.要在較短的時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)離散數(shù)學(xué)課程的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，科學(xué)掌握離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法就顯得尤為重要.

離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容一般包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論四個(gè)部分.數(shù)理邏輯的重點(diǎn)是公式演算與推理證明，是自動(dòng)機(jī)理論、編譯原理和人工智能的理論課程基礎(chǔ).集合論的重點(diǎn)是研究集合、關(guān)系和函數(shù)，這章內(nèi)容是研究數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和關(guān)系型數(shù)據(jù)庫(kù)的理論基礎(chǔ).代數(shù)結(jié)構(gòu)主要運(yùn)用代數(shù)方法研究客觀事物的各種性質(zhì)和特征，有代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)性質(zhì)、群、同構(gòu)與同態(tài)、格等知識(shí)點(diǎn)，是研究計(jì)算機(jī)編碼和糾錯(cuò)碼以及數(shù)字邏輯設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).圖論著重研究圖、連通性、圖的矩陣表示、歐拉圖、平面圖、樹(shù)等知識(shí)點(diǎn)，也是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)[1-2].根據(jù)不同院校對(duì)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的培養(yǎng)要求和后續(xù)課程設(shè)置，學(xué)生每個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)也應(yīng)有所側(cè)重.

二、掌握科學(xué)的離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

（一）注重離散數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)的歸納總結(jié)

離散數(shù)學(xué)的四部分內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，公式概念多且抽象，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)感覺(jué)知識(shí)點(diǎn)比較分散或碎片化.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要邊學(xué)習(xí)邊思考邊總結(jié)歸納，結(jié)合自身所學(xué)的其他相關(guān)計(jì)算機(jī)課程，將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)歸納成系統(tǒng)的知識(shí)體系.通過(guò)對(duì)具有規(guī)律性的內(nèi)容的歸納整理，學(xué)生也可以理清概念，理解規(guī)范表達(dá)、嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)和概括抽象的意義，逐步形成自己的學(xué)習(xí)理解和分析方法.例如，在數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)中，命題邏輯與謂詞邏輯中的概念公式、等值演算和推理理論，有很多共通點(diǎn)可以歸納比較和總結(jié)，加深記憶.又如，通過(guò)樹(shù)的等價(jià)命題證明，可將頂點(diǎn)之間的路徑、回路、連通、橋等概念進(jìn)行系統(tǒng)歸納，加深理解.

（二）注重理論知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系

離散數(shù)學(xué)課程涵蓋了數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)和圖論中的大量概念，深刻理解這些概念是學(xué)好這門(mén)課程的關(guān)鍵.初學(xué)者往往感覺(jué)這些概念過(guò)于抽象，難以與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題建立聯(lián)系.而事實(shí)上，離散數(shù)學(xué)課程中的很多知識(shí)都有著實(shí)際的背景和應(yīng)用.

例如，現(xiàn)準(zhǔn)備在圖1的7個(gè)居民點(diǎn)v1，v2，…，v7中設(shè)置一銀行.問(wèn)設(shè)在哪個(gè)點(diǎn)最合理？要建兩個(gè)銀行呢？

此問(wèn)題的理論基礎(chǔ)是圖論中的最短路徑問(wèn)題，改進(jìn)后變成全局最短路徑問(wèn)題.建設(shè)一個(gè)銀行時(shí)，可采用Floyd算法.先建立此無(wú)向圖的鄰接矩陣（權(quán)矩陣），使用Floyd算法生成最短路徑矩陣.再比較生成矩陣每列的和，取最小值.即可找出建造一個(gè)銀行時(shí)的最佳建造點(diǎn)[3].建造兩個(gè)銀行時(shí)，仍以Floyd算法為基礎(chǔ)，求出最短路徑矩陣.采用枚舉法，以循環(huán)的方式比較建設(shè)在v1，v2點(diǎn)，v1，v3點(diǎn)，v1，v4點(diǎn)等的最短路徑的大小.以對(duì)稱(chēng)矩陣的形式輸出最短路徑的值.通過(guò)這一實(shí)際問(wèn)題的解決，學(xué)生可以系統(tǒng)了解和掌握?qǐng)D論這一章節(jié)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn).

又如，利用層次分析法求解旅游地點(diǎn)的選擇問(wèn)題，可將決策問(wèn)題分為3個(gè)層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)則層C和方案層P.每層有若干個(gè)元素，各層元素間的關(guān)系用直線相連.通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重.最后將兩組權(quán)重進(jìn)行綜合分析，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重.所以，在學(xué)習(xí)概念之前先引入一個(gè)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，將定性分析與定量分析有機(jī)結(jié)合，可以加深學(xué)生對(duì)特征向量和一致性檢驗(yàn)的理解與掌握[4]，達(dá)到事半功倍的效果.

（三）注重離散數(shù)學(xué)課程的實(shí)踐教學(xué)

離散數(shù)學(xué)課程實(shí)驗(yàn)是加深理論學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和動(dòng)手解決問(wèn)題的能力.離散數(shù)學(xué)課程中有許多有趣的問(wèn)題，如出差派遣問(wèn)題、船夫過(guò)河問(wèn)題、工作調(diào)度和安排問(wèn)題、航空調(diào)度和航班設(shè)定問(wèn)題、交通規(guī)劃與管理問(wèn)題、工程工序管理問(wèn)題、地面鋪磚問(wèn)題、網(wǎng)絡(luò)布局問(wèn)題、投資組合問(wèn)題等.這些問(wèn)題的求解都要求學(xué)生首先了解問(wèn)題的背景知識(shí)，然后掌握相關(guān)的建模技巧和求解方法，最后通過(guò)編寫(xiě)程序進(jìn)行求解.

課程實(shí)踐教學(xué)中可在每章安排一些簡(jiǎn)單的編程練習(xí)，如集合的并、交合差運(yùn)算、關(guān)系矩陣的n次冪運(yùn)算、按圖的關(guān)系矩陣求圖中各節(jié)點(diǎn)的出入度、最小生成樹(shù)、最短路徑等，通過(guò)這些練習(xí)使學(xué)生對(duì)利用現(xiàn)有模型進(jìn)行編程具有初步的概念和認(rèn)識(shí).

對(duì)于需要自行建模求解的問(wèn)題，可采用分組完成的模式.如，某地區(qū)的交通規(guī)劃與管理問(wèn)題，涉及哪些地方哪些時(shí)段比較阻塞？哪些地方應(yīng)設(shè)置單行道？立交橋和紅綠燈應(yīng)如何設(shè)置才最合理？這類(lèi)問(wèn)題需要考慮的因素較多，或涉及多個(gè)章節(jié)甚至其他學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)，采用小組做題的形式能更好地發(fā)揮各成員的特長(zhǎng)，鍛煉組員溝通與合作能力.通過(guò)實(shí)踐教學(xué)，不但能加深學(xué)生對(duì)概念的理解，也能提高學(xué)生的建模和編程能力，學(xué)生參與實(shí)驗(yàn)操作的積極性也能得到有效提高.

（四）利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)強(qiáng)化學(xué)習(xí)和知識(shí)點(diǎn)延伸

離散數(shù)學(xué)課程的傳統(tǒng)教學(xué)方式受課程教學(xué)學(xué)時(shí)限制，教師與學(xué)生很難開(kāi)展有效的互動(dòng).基于網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)平臺(tái)能利用校園網(wǎng)的優(yōu)勢(shì)，使網(wǎng)上資源共享、課后答疑成為可能，極大地提高教學(xué)效率.在離散數(shù)學(xué)的課后學(xué)習(xí)中，可以利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)進(jìn)行師生間的教學(xué)互動(dòng).教師可將授課視頻、課件和重點(diǎn)難點(diǎn)總結(jié)共享到平臺(tái)，課程教學(xué)可回放，方便學(xué)生復(fù)習(xí)和教學(xué)存檔.學(xué)生可在平臺(tái)中將學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和疑惑發(fā)布到論壇，得到同學(xué)和教師的及時(shí)解答.在此基礎(chǔ)上，任課教師可以隨時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)態(tài)，完善教學(xué)計(jì)劃，調(diào)整教學(xué)進(jìn)度.教師也可以進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的適當(dāng)延伸，鼓勵(lì)學(xué)生挑戰(zhàn)其中的一些實(shí)際問(wèn)題，既能鞏固課堂知識(shí)，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能.

三、結(jié)束語(yǔ)

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)一門(mén)非常重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，也是計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)學(xué)生認(rèn)為比較難學(xué)的課程之一.離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于后續(xù)課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、編譯原理和計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等課程具有重要的影響.正確掌握學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的方法，對(duì)于培養(yǎng)計(jì)算機(jī)相關(guān)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)用理論解決實(shí)際問(wèn)題的能力具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

【參考文獻(xiàn)】

[1]耿素云，屈婉玲.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]左孝凌.離散數(shù)學(xué)[M].上海：上海科技文獻(xiàn)出版社，2003.

[3]張曉明，戴波，趙國(guó)慶，等.計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)能力架構(gòu)設(shè)計(jì)及其在網(wǎng)絡(luò)教學(xué)中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)教育，2014（20）：65-69.

[4]孫嵐，王一蕾，吳英杰.離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法探討[J].計(jì)算機(jī)教育，2012（1）：57-59.endprint