李 松,魏中浩,張冰塵,洪 文,黎昌碩

(1.中國(guó)科學(xué)院電子學(xué)研究所,北京100190;2.微波成像技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100190;3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京100190)

0 引言

合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar,SAR)是一種具有全天時(shí)、全天候的高分辨成像系統(tǒng)。傳統(tǒng)的合成孔徑雷達(dá)需要嚴(yán)格遵守奈奎斯特采樣定律,因此為了實(shí)現(xiàn)寬測(cè)繪帶和高分辨率需要海量數(shù)據(jù)運(yùn)算的支持,給雷達(dá)系統(tǒng)的計(jì)算、傳輸和存儲(chǔ)性能帶來(lái)巨大的負(fù)擔(dān)。近年來(lái)由Donoho提出的壓縮感知理論[1](Compressive Sensing,CS)使得當(dāng)信號(hào)滿足稀疏性或可壓縮性時(shí),能夠有效利用觀測(cè)目標(biāo)的先驗(yàn)信息,從有限的觀測(cè)數(shù)據(jù)中獲得較高的變換域分辨率以實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確重建。CS理論框架下的雷達(dá)成像技術(shù)能在降低信號(hào)采樣率的前提下提高目標(biāo)圖像質(zhì)量,為圖像分析和目標(biāo)識(shí)別提供有效的信息。CS已在雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用[2-3]。目前應(yīng)用于稀疏雷達(dá)的典型壓縮感知重建算法有迭代閾值算法[4](Iterative Thresholding Algorithm,ITA)、正交匹配追蹤法[5](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)和復(fù)近似消息傳遞法[6](Complex Approximated Message Passing,CAMP)等。但在稀疏雷達(dá)成像過(guò)程中,大的目標(biāo)場(chǎng)景往往意味著巨大的計(jì)算量,交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,ADMM)在凸優(yōu)化問(wèn)題上的效率優(yōu)勢(shì)[7]使其能在不影響計(jì)算精度的前提下對(duì)稀疏成像過(guò)程并行加速,大大提升計(jì)算性能。

目前合成孔徑雷達(dá)在距離向的高分辨率多為通過(guò)線性調(diào)頻信號(hào)(LFM)進(jìn)行脈沖壓縮獲取的,這也就帶來(lái)了雷達(dá)參數(shù)容易估計(jì)而被截獲的問(wèn)題。混沌序列調(diào)頻信號(hào)具有良好的相關(guān)特性,類“圖釘形”的模糊函數(shù)使其具有較高的測(cè)距測(cè)速能力[8]。同時(shí),混沌序列調(diào)頻信號(hào)又有類隨機(jī)性,克服了線性調(diào)頻信號(hào)參數(shù)容易估計(jì)的缺點(diǎn)。這些優(yōu)點(diǎn)使得混沌序列調(diào)頻信號(hào)在雷達(dá)成像領(lǐng)域取得了廣泛的關(guān)注。

本文將壓縮感知與混沌序列調(diào)頻信號(hào)相結(jié)合,使用一種新的壓縮感知重構(gòu)算法對(duì)稀疏雷達(dá)進(jìn)行成像。相比于傳統(tǒng)的時(shí)域相關(guān)法,該方法能大大降低回波信號(hào)的采樣率,并且能利用混沌序列調(diào)頻信號(hào)的優(yōu)勢(shì)對(duì)目標(biāo)場(chǎng)景精確成像。新重構(gòu)算法的加入使得分布式并行運(yùn)算成為可能,提升了數(shù)據(jù)處理的速度。本文首先介紹相關(guān)理論,然后給出壓縮感知雷達(dá)模型,最后通過(guò)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證其可行性。

1 混沌序列調(diào)頻信號(hào)

混沌序列調(diào)頻信號(hào)的波形設(shè)計(jì)主要在一維離散混沌映射的基礎(chǔ)上進(jìn)行,混沌序列調(diào)頻信號(hào)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型一般為

式中,信號(hào)頻率φ(t)由混沌序列xk計(jì)算得到

用于產(chǎn)生混沌序列的一維離散混沌映射方法主要有Bernoulli映射、Tent映射、Logistic映射和Chebyshev映射[9]。以上4種混沌映射中,Bernoulli映射的功率譜最不平坦,同時(shí)其自相關(guān)函數(shù)的峰值旁瓣比最高。文獻(xiàn)[9]指出在實(shí)際使用混沌序列進(jìn)行信號(hào)調(diào)頻時(shí),只有Bernoulli映射序列才能得到理想的自相關(guān)特性。因此本文采用Bernoulli映射產(chǎn)生的混沌序列作為發(fā)射信號(hào),其定義為

可見(jiàn)雖然混沌調(diào)頻信號(hào)對(duì)敵方雷達(dá)系統(tǒng)是隨機(jī)信號(hào),但由于混沌調(diào)頻信號(hào)由初始值和迭代參數(shù)唯一確定,所以它相對(duì)于系統(tǒng)自身來(lái)說(shuō)其實(shí)是確定的,其不斷變化的波形提升了雷達(dá)的隱蔽性能,圖釘形的模糊函數(shù)使得混沌調(diào)頻雷達(dá)可以同時(shí)無(wú)模糊地進(jìn)行測(cè)距和測(cè)速[10]。這些特點(diǎn)使得混沌信號(hào)擁有廣泛的應(yīng)用前景[11]。

2 壓縮感知理論和雷達(dá)成像模型

2.1 壓縮感知理論

定義向量X={x1,x2,…,xN}的lp范數(shù)為

式中,當(dāng)p=0時(shí)得到l0范數(shù),表示X中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù);p=1時(shí)為l1范數(shù),表示X中各個(gè)元素絕對(duì)值之和。

考慮一個(gè)有限長(zhǎng)一維離散時(shí)間信號(hào)x,RN空間的任何信號(hào)都可以用N×1維基向量{ψi}的線性組合表示。由向量集{ψi}構(gòu)成N×N維的基矩陣Ψ={ψ1,ψ2,…,ψN},任一信號(hào)在該基矩陣之下都可以表示為

式中,s為x的展開(kāi)系數(shù)構(gòu)成的N×1維列向量,且si=〈x,ψi〉,當(dāng)s中只有k個(gè)非零元素時(shí),稱信號(hào)x是稀疏的。

如果對(duì)信號(hào)x的測(cè)量是在時(shí)域上進(jìn)行的,那么有

式中,Φ為M×N維矩陣,稱之為觀測(cè)矩陣,y為測(cè)量值。當(dāng)觀測(cè)數(shù)量M遠(yuǎn)小于信號(hào)長(zhǎng)度N時(shí),由觀測(cè)數(shù)據(jù)y重構(gòu)x的方程是欠定的,信號(hào)x不能直接由測(cè)量值y求解。

將式(4)代入式(5)中得到

在信號(hào)稀疏或可壓縮的前提下,求解欠定方程組y=As的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最小l0范數(shù)問(wèn)題:

求解上述問(wèn)題需要列出s中所有非零項(xiàng)位置的CKN種線性組合才能得到最優(yōu)解。因此,求解上式是NP難問(wèn)題(Non-Deterministic Polynomia,多項(xiàng)式復(fù)雜程度的非確定性問(wèn)題),其數(shù)值計(jì)算解極不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[12]指出當(dāng)觀測(cè)矩陣A=ΦΨ滿足有限等距性質(zhì)(Restricted Isometry Property,RIP)時(shí),上述問(wèn)題可以等價(jià)為更簡(jiǎn)單的l1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題:

l1范數(shù)下的優(yōu)化問(wèn)題又稱為基追蹤(Basis Pursuit,BP)問(wèn)題,目前基追蹤的壓縮感知重構(gòu)算法主要分為貪婪算法和凸優(yōu)化算法兩大類,其中凸優(yōu)化算法比貪婪算法所求的解更加精確,但是需要更高的計(jì)算復(fù)雜度。

在稀疏雷達(dá)成像過(guò)程中,大目標(biāo)場(chǎng)景的重構(gòu)往往意味著巨大的計(jì)算量,傳統(tǒng)稀疏算法模式下的集中式計(jì)算可能需要耗費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間來(lái)完成。交替方向法(Alternative Direction Method of Multipliers,ADMM)是一種求解優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算框架,適用于求解分布式凸優(yōu)化問(wèn)題。ADM M通過(guò)分解協(xié)調(diào)(Decomposition-Coordination)過(guò)程,將大的全局問(wèn)題分解為多個(gè)較小、較容易求解的局部子問(wèn)題,并通過(guò)協(xié)調(diào)子問(wèn)題的解而得到全局問(wèn)題的解。ADM M 最早分別由Glowinski和Marrocco、Gabay和Mercier于1975年和1976年提出,并被Boyd等于2011年重新綜述并證明其適用于大規(guī)模分布式優(yōu)化問(wèn)題[13]。ADMM算法在凸優(yōu)化問(wèn)題上的效率優(yōu)勢(shì)[7]使得可以在不影響計(jì)算精度的前提下對(duì)稀疏成像過(guò)程并行加速,大大提升了計(jì)算性能。

考慮一般形式下具有等式約束的凸優(yōu)化問(wèn)題:

式中,x∈R n,A∈R m×n,f∶R n→R是凸函數(shù),當(dāng)目標(biāo)函數(shù)f(·)可分離時(shí)即得到ADMM算法的一般形式,式(10)變?yōu)?/p>

則一般形式下的ADM M算法迭代步驟如下所示:

回歸至稀疏成像領(lǐng)域的l1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題,式(10)中的函數(shù)f(·)對(duì)應(yīng)為向量s的l1范數(shù)‖s‖1,優(yōu)化模型變?yōu)?/p>

設(shè)h(·)是集合{s∈R n|As=y}的示性函數(shù),則ADM M算法框架下的l1范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

算法迭代步驟如下:

式中S1/ρ(·)為軟閾值函數(shù):

2.2 雷達(dá)成像模型

本文采用聚束雷達(dá)的工作模式,發(fā)射Bernoulli映射產(chǎn)生的混沌序列調(diào)頻信號(hào),假設(shè)目標(biāo)的后向散射系數(shù)為各向同性,那么可以將雷達(dá)的回波模型寫成:

式中,ξ(t)為高斯白噪聲,λ為信號(hào)波長(zhǎng),Nt為場(chǎng)景中的目標(biāo)個(gè)數(shù),x(t)為發(fā)射信號(hào),Ri(t)為第i個(gè)目標(biāo)的瞬時(shí)斜矩:,v為載機(jī)速度,σi為第i個(gè)目標(biāo)的回波幅度,c為光速。

要完成地鐵噪聲的主動(dòng)消聲控制，首先須對(duì)地鐵噪聲來(lái)源及其頻譜特性進(jìn)行深入分析.鐵路噪聲源主要包括線路噪聲、站場(chǎng)噪聲和工廠噪聲三大部分，而我們所要分析和研究的為線路噪聲.線路噪聲屬于流動(dòng)污染源、具有線長(zhǎng)、面廣、間歇性等特點(diǎn)，由于其污染程度隨列車速度的提高而日益加重，因此本文主要討論鐵路線路噪聲的特點(diǎn)及其控制措施.普通鐵路線路噪聲的聲源主要包含機(jī)車?guó)Q笛噪聲和輪軌噪聲，以輪軌噪聲為主，而對(duì)于提速后的城市軌道交通，其線路噪聲還包括鐵路橋梁結(jié)構(gòu)的噪聲、空氣動(dòng)力噪聲以及集電系統(tǒng)噪聲[9].

基于壓縮感知理論的成像方式使得我們可以突破奈奎斯特采樣定理的要求。假設(shè)目標(biāo)場(chǎng)景的大小為M×N,在距離向和方位向?qū)夭ㄟM(jìn)行隨機(jī)降采樣得較小的K×L矩陣,這樣得到的采樣數(shù)據(jù)將遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)方法所需的數(shù)據(jù)量,然后利用壓縮感知的方法重建大小為M×N的原始場(chǎng)景。

可以將目標(biāo)場(chǎng)景的各列σi連接起來(lái)形成一個(gè)長(zhǎng)度為M×N的列向量X:

同樣將回波數(shù)據(jù)各列連起來(lái)組成一個(gè)長(zhǎng)度為K×L的列向量Y:

則處理后的回波數(shù)據(jù)向量Y與場(chǎng)景列向量X的關(guān)系為

式中,N為加性高斯白噪聲,Φ為KL×MN大小的矩陣,它的第i行第j列的元素為

根據(jù)所構(gòu)建的觀測(cè)矩陣Φ和降采樣后的回波數(shù)據(jù)Y,可以借助上一小節(jié)所推導(dǎo)出的ADM M算法框架對(duì)原始場(chǎng)景進(jìn)行重構(gòu)。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

本節(jié)主要通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證混沌序列調(diào)頻信號(hào)應(yīng)用于稀疏雷達(dá)的可行性。首先給出Bernoulli映射下的混沌序列調(diào)頻信號(hào)波形,選定以概率密度函數(shù)ρ(x0)分布在區(qū)間[0,1]上的初值x0,通過(guò)式(3)迭代產(chǎn)生Bernoulli序列{xn},Bernoulli混沌序列長(zhǎng)度為500,k取值3.7,信號(hào)帶寬BW=150 M Hz,采樣率為500 MHz,脈沖持續(xù)時(shí)間為20μs,最終得到的信號(hào)波形如圖1所示。

圖1 混沌序列調(diào)頻信號(hào)波形

由圖1可見(jiàn),混沌序列調(diào)頻信號(hào)具有類隨機(jī)性,該特點(diǎn)使得其雷達(dá)波形難以辨識(shí)。為了驗(yàn)證信號(hào)的相關(guān)特性,選取信號(hào)的長(zhǎng)度為相關(guān)長(zhǎng)度,求得其自相關(guān)、互相關(guān)函數(shù)波形,如圖2所示。

圖2 混沌序列調(diào)頻信號(hào)相關(guān)特性

然后給出一維稀疏場(chǎng)景下的仿真結(jié)果。信號(hào)為Bernoulli映射調(diào)制的混沌序列調(diào)頻信號(hào),帶寬為150 MHz,脈沖持續(xù)時(shí)間為20μs,載頻為1 GHz。所選場(chǎng)景中分布9個(gè)不同散射系數(shù)的目標(biāo)點(diǎn),如圖3所示。

圖3 原始觀測(cè)場(chǎng)景

在回波信號(hào)中加入不同強(qiáng)度的加性高斯白噪聲,觀察不同信噪比和采樣率下的一維成像結(jié)果。

從圖4可以看出,在信噪比和采樣率較高的條件下,利用壓縮感知方法對(duì)回波數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可以較為完整地恢復(fù)原始場(chǎng)景信息,而相同條件下的時(shí)域相關(guān)法則由于自身的局限性在旁瓣水平和誤差方面均劣于壓縮感知處理方法。

在采樣率保持一致的前提下,信噪比的降低將惡化各個(gè)目標(biāo)重建的畸變程度;而相同信噪比條件下更低的采樣率則可能導(dǎo)致目標(biāo)重建位置的錯(cuò)誤(如圖中圓圈所示)。至于同樣條件下的時(shí)域相關(guān)法(信噪比5 dB,采樣率30%),其重建場(chǎng)景的旁瓣已淹沒(méi)了主要目標(biāo)的信息,無(wú)法重建原始場(chǎng)景。

為了更加直觀地給出信噪比和采樣率對(duì)稀疏重構(gòu)算法的影響,圖5給出了采樣率分別為64%,50%和30%時(shí),在不同信噪比條件下用蒙特卡洛方法畫出的ADMM算法重構(gòu)誤差曲線。

接下來(lái)選取大小為30×30的二維場(chǎng)景進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),場(chǎng)景中包含8個(gè)幅度隨機(jī)的目標(biāo),如圖6所示。

圖4 不同采樣率/信噪比條件下的一維仿真結(jié)果對(duì)比

圖5 不同SNR下的重建誤差曲線

圖6 二維目標(biāo)場(chǎng)景

發(fā)射信號(hào)為基于Bernoulli映射的混沌序列調(diào)頻信號(hào),帶寬為150 MHz,脈沖持續(xù)時(shí)間為20μs,載頻為1 GHz。仿真參數(shù)中斜距設(shè)為15 000 m,方位/距離向分辨率均為2 m,載機(jī)速度為150 m/s。在信噪比為20 dB和5 d B的條件下對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行64%(方位向80%、距離向80%)和30%(方位向50%、距離向60%)隨機(jī)降采樣后,基于ADMM方法的混沌調(diào)頻信號(hào)稀疏雷達(dá)二維成像仿真如圖7所示。

圖7 不同采樣率/信噪比條件下的二維仿真結(jié)果對(duì)比

可以看到在信噪比較高的時(shí)候,當(dāng)采樣率滿足一定值時(shí)壓縮感知方法能夠準(zhǔn)確重建目標(biāo)場(chǎng)景,隨著采樣率的降低某些弱目標(biāo)的重建會(huì)產(chǎn)生一定程度的畸變,但整體成像結(jié)果較為準(zhǔn)確。信噪比的繼續(xù)降低將惡化畸變現(xiàn)象,導(dǎo)致部分反射系數(shù)較弱的目標(biāo)重建錯(cuò)誤。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于混沌調(diào)頻信號(hào)的稀疏雷達(dá),建立了其成像模型。仿真實(shí)驗(yàn)證明混沌調(diào)頻信號(hào)具有圖釘形的模糊函數(shù)和類噪聲特性,將其運(yùn)用至稀疏成像雷達(dá)可以在降低信號(hào)采樣率的前提下對(duì)原始場(chǎng)景進(jìn)行準(zhǔn)確重建,并且相比于時(shí)域相關(guān)成像法可以抑制圖像的旁瓣。為了克服大目標(biāo)場(chǎng)景下稀疏成像所帶來(lái)的巨大計(jì)算量,ADMM算法能在不影響計(jì)算精度的前提下對(duì)稀疏成像過(guò)程并行加速,很好地為分布式稀疏重構(gòu)提供新的思路。后續(xù)工作準(zhǔn)備定量評(píng)價(jià)分布式ADMM算法相比于集中式稀疏算法所帶來(lái)的時(shí)效性提升。

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