龐夢(mèng)非，朱春艷，張美艷，唐國(guó)安

(1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系,上海 200433； 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109)

具有不確定性連接剛度的太陽(yáng)電池陣基頻分析

龐夢(mèng)非1，朱春艷2，張美艷1，唐國(guó)安1

(1.復(fù)旦大學(xué) 航空航天系,上海 200433； 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109)

以鉸鏈副抗彎剛度具不確定性的太陽(yáng)電池陣為研究對(duì)象，考慮加工和實(shí)驗(yàn)誤差等隨機(jī)因素，用數(shù)值計(jì)算方法仿真電池陣的基頻實(shí)驗(yàn)，對(duì)安裝在同一電池陣上的不同組、抗彎剛度滿足一定分布規(guī)律的鉸鏈副進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)，建立了鉸鏈副抗彎剛度和電池陣基頻的仿真樣本，用高斯過(guò)程回歸方法訓(xùn)練出兩者間的映射關(guān)系，獲得了電池陣基頻期望值及置信區(qū)間關(guān)于鉸鏈副抗彎剛度的變化關(guān)系。給出了電池陣基頻關(guān)于鉸鏈副剛度參數(shù)不確定性的分析流程。分析結(jié)果表明：在鉸鏈副剛度不確定條件下，高斯過(guò)程回歸方法可確定電池陣基頻期望值和協(xié)方差表達(dá)式中的超參數(shù)，與其他回歸或插值方法等相比，不僅能預(yù)示電池陣基頻的期望值，而且可估計(jì)其置信區(qū)間。在加工和實(shí)驗(yàn)誤差不可避免的實(shí)際情況下，有必要生產(chǎn)多組鉸鏈副進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)并對(duì)同一組鉸鏈副適當(dāng)增加重復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)，使其能合理預(yù)示電池陣基頻的不確定性，減小實(shí)驗(yàn)誤差的影響，預(yù)示合理的基頻。

太陽(yáng)電池陣； 鉸鏈副； 仿真實(shí)驗(yàn)； 剛度； 固有頻率； 不確定性； 高斯過(guò)程回歸； 置信區(qū)間

0 引言

不確定性問(wèn)題廣泛存在于工程結(jié)構(gòu)和裝備的裝配、制造中，如受加工工藝限制，結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量和阻尼等力學(xué)參數(shù)總表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性。正確估計(jì)參數(shù)不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)特性和行為的影響有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。模糊方法、區(qū)間方法和概率方法是目前不確定性建模的三種主要方法。用模糊集合理論描述不確定性，由此發(fā)展出模糊有限元方法。文獻(xiàn)[1]用模糊方法對(duì)薄壁組合梁進(jìn)行了不確定性分析。文獻(xiàn)[2]求解了具不確定參數(shù)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的模糊特征值求解問(wèn)題。用基于模糊集理論的方法描述不確定性時(shí)，需獲知不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)的隸屬度函數(shù)。多數(shù)情況下，確定隸屬度函數(shù)非常困難，使用者常不得不主觀性地選取相應(yīng)的隸屬度函數(shù)。這樣的分析結(jié)果可靠性并無(wú)保障。區(qū)間分析方法是在信息不充分條件下，描述工程問(wèn)題不確定性的一種方法，將這些不確定性結(jié)構(gòu)參數(shù)視為未知變量在具已知邊界的區(qū)間內(nèi)取值。文獻(xiàn)[3]較早將區(qū)間分析法引入工程結(jié)構(gòu)中不確定性問(wèn)題的研究。文獻(xiàn)[4-5]用區(qū)間有限元方法計(jì)算了不確定系統(tǒng)的頻響函數(shù)包絡(luò)，提出了不確定結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)包絡(luò)分析的區(qū)間靈敏度理論。文獻(xiàn)[6]綜合了區(qū)間分析法與有限元方法，求解傳遞函數(shù)的包絡(luò)。區(qū)間分析方法無(wú)需事先獲知不確定參數(shù)的很多信息，只需知道不確定參數(shù)的上下限。對(duì)直接采用區(qū)間數(shù)學(xué)運(yùn)算法則求解線性區(qū)間方程組的方法進(jìn)行了研究，但該法難以用于求解大規(guī)模問(wèn)題，更重要的是其預(yù)測(cè)的范圍大于實(shí)際值，結(jié)果過(guò)于保守。文獻(xiàn)[7-9]最先引入貝葉斯概率框架估計(jì)不確定性結(jié)構(gòu)模型參數(shù)，貝葉斯概率框架在解決模型修正過(guò)程中不確定性的效果顯著，但由于計(jì)算量過(guò)大，在工程實(shí)際中的應(yīng)用受限。文獻(xiàn)[10]綜合了攝動(dòng)和有限元法，研究了一般概率攝動(dòng)有限元方法，并用隨機(jī)攝動(dòng)法分析了有不確定參數(shù)和不確定載荷的振動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)響應(yīng)[11]。文獻(xiàn)[12]用攝動(dòng)有限元法對(duì)不確定結(jié)構(gòu)靜動(dòng)態(tài)特性的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。高斯過(guò)程回歸方法建立在貝葉斯概率理論的基礎(chǔ)上，在機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中發(fā)揮了重要作用，但目前用其解決工程中不確定性問(wèn)題的研究較少。本文將采用高斯過(guò)程回歸方法，探討其在解決工程不確定性問(wèn)題中的適用性。

本文以鉸鏈副抗彎剛度具不確定性的太陽(yáng)電池陣為研究對(duì)象，用數(shù)值計(jì)算方法仿真電池陣的基頻實(shí)驗(yàn)，考慮加工和實(shí)驗(yàn)誤差等隨機(jī)因素，對(duì)安裝在同一電池陣上的不同組、抗彎剛度滿足一定分布規(guī)律的鉸鏈副進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)，建立鉸鏈副抗彎剛度和電池陣基頻的仿真樣本，通過(guò)高斯過(guò)程回歸方法訓(xùn)練兩者間的映射關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，希望得到電池陣基頻期望值及置信區(qū)間關(guān)于鉸鏈副抗彎剛度的變化關(guān)系，使給定一個(gè)抗彎剛度實(shí)驗(yàn)值就能預(yù)測(cè)出電池陣基頻的期望值，并對(duì)方差作出估計(jì)。

1 單輸出高斯過(guò)程回歸基本原理

高斯過(guò)程回歸問(wèn)題可描述為：記x1,…,xn∈Rd為n個(gè)輸入向量；X=[x1…xn]∈Rd×n為輸入矩陣；y1,…,yn∈R1為n個(gè)輸出標(biāo)量；y=[y1…yn]T∈Rn為輸出向量。此處：Rd，Rd×n分別為d維和d×n維線性空間。再令D={X,y}為已存在的訓(xùn)練樣本集，高斯過(guò)程回歸的基本任務(wù)是：根據(jù)樣本集D，學(xué)習(xí)輸入X與輸出y間的映射關(guān)系f(x):Rd→R1，使對(duì)新的輸入向量x*∈Rd能預(yù)測(cè)出對(duì)應(yīng)的映射值f(x*)∈R1。

對(duì)單輸出高斯回歸問(wèn)題，考慮以下模型

yi=f(xi)+εi

式中：f(xi)為當(dāng)輸入為xi時(shí)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量；εi為滿足N(0,(σn)2)的獨(dú)立同分布的噪聲；yi為f(xi)受到噪聲污染后的觀察值；i=1，2，…，n[13]。此處:N(0,(σn)2)表示均值為0、方差為(σn)2的高斯分布。

因高斯過(guò)程的任意有限維分布均滿足高斯分布，故可得觀察值y的先驗(yàn)分布為

y～N(0,C)

(1)

即y滿足均值為0、方差為C的高斯分布[14]。此處：C=K(X,X)+(σn)2In；K(X,X)∈Rn×n為對(duì)稱正定協(xié)方差矩陣。

觀察值y與預(yù)測(cè)值f*=f(x*)的聯(lián)合先驗(yàn)分布為

(2)

式中：K(X,x*)∈Rn×1為預(yù)測(cè)點(diǎn)x*與訓(xùn)練樣本集的輸入X間的n×1階協(xié)方差矩陣；K(x*,X)=(K(X,x*))T；k(x*,x*)為預(yù)測(cè)點(diǎn)x*自身的協(xié)方差。

由式(2)可得預(yù)測(cè)值f*的后驗(yàn)分布為

(3)

式中：

(4)

cov(f*)=k(x*,x*)-K(x*,X)·

C-1K(X,x*)

(5)

則可得以概率形式表示的預(yù)測(cè)結(jié)果。

高斯過(guò)程的性質(zhì)取決于其均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。常用的協(xié)方差函數(shù)有平方指數(shù)協(xié)方差函數(shù)、Matern類協(xié)方差函數(shù)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)協(xié)方差函數(shù)。平方指數(shù)協(xié)方差的形式為

k(xp,xq)=

(6)

式中：xp，xq為任意兩個(gè)d維向量；(σf)2=covf為隨機(jī)變量f的方差，表示隨機(jī)變量偏離期望值的程度。若令M=λ-2I，則式(6)可簡(jiǎn)化為

(7)

式中：λ為輸入量的特征距離。協(xié)方差中的未知數(shù)σf，λ被稱為超參數(shù)。單輸出高斯過(guò)程回歸方法中的超參數(shù)還包括噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差σn。令θ為預(yù)測(cè)模型中所有超參數(shù)組成的向量，對(duì)式(7)表示的協(xié)方差函數(shù)，θ=[λ(σf)2(σn)2]，一般可用極大似然法估計(jì)超參數(shù)的初始值[14]。同時(shí)，根據(jù)概率論中的貝葉斯原理，可得超參數(shù)的概率表達(dá)形式并將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)其極大值的求解，有

(8)

設(shè)θ接近于均勻分布，即概率密度p(θ)可近似為常量，則尋找函數(shù)p(θ|y,X)的最大值等價(jià)于尋找p(y|X,θ)的最大值問(wèn)題

(9)

優(yōu)化設(shè)計(jì)理論證明了梯度下降法速度較快的優(yōu)點(diǎn)，但其缺點(diǎn)是易陷入局部極值點(diǎn)。為此，文獻(xiàn)[15]提出了一種超參數(shù)初始值的優(yōu)化方法。本文采取了該優(yōu)化方法，可得到較好的結(jié)果。

2 電池陣基頻關(guān)于鉸鏈副剛度參數(shù)不確定性分析

航天器上使用的電池陣很多是由若干太陽(yáng)電池板通過(guò)壓緊-鎖定的鉸鏈副連接的，航天器姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)等需要電池陣的基頻數(shù)據(jù)。鉸鏈副是一種機(jī)構(gòu)，因加工、裝配等各種因素的差異，對(duì)電池陣整體結(jié)構(gòu)提供的連接剛度存在相當(dāng)大的不確定性?；l的實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果也必定存在隨機(jī)性，最終得到的基頻數(shù)據(jù)必具有不確定性?；谝延械你q鏈副剛度參數(shù)和電池陣基頻實(shí)測(cè)結(jié)果，預(yù)示一個(gè)給定鉸鏈副剛度實(shí)驗(yàn)值下的電池陣基頻并估計(jì)其不確定性有重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

2.1 太陽(yáng)電池陣模型及其不確定性分析過(guò)程

為說(shuō)明基頻及其不確定性預(yù)示的過(guò)程和結(jié)果，本文用數(shù)值計(jì)算方法仿真電池陣的基頻實(shí)驗(yàn)。電池陣的基頻實(shí)驗(yàn)如圖1(a)所示。實(shí)驗(yàn)時(shí)用有機(jī)玻璃板替代實(shí)際的電池板，局部放大的是連接兩塊電池板的鉸鏈副[16]。仿真所用電池板的有限元模型如圖1(b)所示，模型中鉸鏈副等效為梁?jiǎn)卧Ｔ诖藸顟B(tài)下，基頻對(duì)應(yīng)的模態(tài)是垂直于XY平面的彎曲。有機(jī)玻璃板及等效梁模型的屬性參考了文獻(xiàn)[17]。

電池陣基頻關(guān)于鉸鏈副剛度參數(shù)的不確定性分析流程為：

a)設(shè)置多組鉸鏈副剛度系數(shù)，構(gòu)造輸入矩陣X；

b)電池陣基頻測(cè)試實(shí)驗(yàn)仿真，獲得輸出向量y；

e)預(yù)示給定鉸鏈副剛度實(shí)驗(yàn)值下的電池陣基頻并估計(jì)其不確定性。

2.2 高斯過(guò)程回歸方法分析結(jié)果

僅討論單輸入情形，連接有機(jī)玻璃板的一對(duì)鉸鏈副具有相同的剛度?；l對(duì)應(yīng)的模態(tài)主要受到繞y軸的抗彎剛度的影響，將鉸鏈副等效為梁?jiǎn)卧蠹礊槔@y軸的抗彎剛度EI，文獻(xiàn)[17]用實(shí)驗(yàn)方法辨識(shí)得到EI=316 N·m2。由于加工和裝配工差等因素，即使是同一生產(chǎn)批次的不同鉸鏈副，其抗彎剛度也存在差異。這種差異具隨機(jī)性，根據(jù)加工誤差統(tǒng)計(jì)特性可認(rèn)為其服從正態(tài)分布。為模擬此情形，將文獻(xiàn)[17]的實(shí)測(cè)結(jié)果EI≈316 N·m2作為期望值，取標(biāo)準(zhǔn)差為60 N·m2，正態(tài)分布的三個(gè)抗彎剛度作為對(duì)三個(gè)鉸鏈副進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，由得到的抗彎剛度值可構(gòu)造出輸入矩陣

對(duì)上述三個(gè)鉸鏈副的抗彎剛度樣本分別進(jìn)行基頻實(shí)驗(yàn)。仿真時(shí)用有限元計(jì)算程序依次計(jì)算出鉸鏈副剛度分別為X中各分量時(shí)對(duì)應(yīng)的電池陣基頻，即基頻分別為

f= [f1f2f3]=

[9.139 5 9.677 5 9.878 9] Hz

為模擬實(shí)驗(yàn)過(guò)程存在的各種誤差，將f中的每個(gè)元素疊加服從高斯分布的隨機(jī)向量ε～N(0,0.12)，作為由仿真實(shí)驗(yàn)得到的輸出樣本

y= [y1y2y3]=

[9.249 5 9.832 0 9.887 4] Hz

圖2中：藍(lán)線即為高斯過(guò)程回歸模型的訓(xùn)練結(jié)果；綠線為理論曲線；紅線包圍的部分為99%置信區(qū)間，說(shuō)明將一個(gè)已測(cè)得剛度參數(shù)的鉸鏈副安裝在電池陣上進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，電池陣的基頻有99%的可能性處于紅色線范圍內(nèi)。由圖2可知：所得結(jié)果曲線受采樣點(diǎn)影響很大，與理論曲線趨勢(shì)相差較大，卻給出了很小的置信區(qū)間，這與實(shí)際情況不符。

為避免實(shí)驗(yàn)誤差導(dǎo)致的不合理預(yù)測(cè)結(jié)果，用相同方法構(gòu)造出輸入矩陣

X=[EI1EI2EI3]=

[346.648 5 276.623 6 308.499 0] N·m2

獲得鉸鏈副抗彎剛度值后進(jìn)行基頻仿真實(shí)驗(yàn)，每個(gè)抗彎剛度樣本分別進(jìn)行基頻實(shí)驗(yàn)5次。仿真時(shí)，用有限元計(jì)算程序依次計(jì)算鉸鏈副剛度分別為X中各分量時(shí)對(duì)應(yīng)的電池陣基頻，所得基頻分別為

f= [f1f2f3]=

[9.863 4 9.366 6 9.611 3] Hz

同樣，為模擬實(shí)驗(yàn)過(guò)程存在的各種誤差，對(duì)f中的每個(gè)元素疊加服從高斯分布的隨機(jī)向量ε～N(0,0.12)，每個(gè)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)5次即疊加5次。記由仿真實(shí)驗(yàn)得到的輸出樣本為y=[y1…y15]。此處：y1=9.810 4 Hz；y2=9.874 0 Hz；y3=9.976 3 Hz；y4=9.937 7 Hz；y5=9.977 8 Hz;y6=9.275 1 Hz；y7=9.384 6 Hz；y8=9.268 3 Hz；y9=9.405 1 Hz；y10=9.399 2 Hz；y11=9.740 9 Hz；y12=9.721 2 Hz；y13=9.676 6 Hz；y14=9.560 8 Hz；y15=9.563 7 Hz。其中y1～y5，y6～y10，y11～y15分別對(duì)應(yīng)同一個(gè)抗彎剛度值。

不同抗彎剛度下兩塊有機(jī)玻璃板和一對(duì)鉸鏈副組成的電池陣的基頻如圖3所示。

由圖3可知：計(jì)算曲線與理論曲線非常接近，預(yù)測(cè)效果較好；模型還能給出樣本點(diǎn)輸出的置信區(qū)間。圖3中疊加了計(jì)算曲線的99%置信區(qū)間(紅色線包圍部分)。本文研究結(jié)果表明：對(duì)此單輸出高斯過(guò)程回歸問(wèn)題，若每個(gè)抗彎剛度值對(duì)應(yīng)只進(jìn)行1次基頻實(shí)驗(yàn)，則實(shí)驗(yàn)誤差可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果曲線與理論曲線偏差較大。經(jīng)過(guò)多次的仿真和計(jì)算，發(fā)現(xiàn)在同一個(gè)抗彎剛度值下進(jìn)行5次實(shí)驗(yàn)就可獲得較好的預(yù)測(cè)效果。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)具不確定性連接剛度的太陽(yáng)電池陣基頻仿真分析方法進(jìn)行了研究。高斯過(guò)程回歸方法能通過(guò)少量的樣本點(diǎn)訓(xùn)練出大量的預(yù)測(cè)值，將其用于工程實(shí)際問(wèn)題的不確定性分析，可減少試驗(yàn)工況?；谔?yáng)電池陣模態(tài)實(shí)驗(yàn)的仿真結(jié)果表明：在鉸鏈副剛度不確定條件下，高斯過(guò)程回歸方法可確定電池陣基頻期望值和協(xié)方差表達(dá)式中的超參數(shù)，與其他回歸或插值方法等相比，不僅能預(yù)示電池陣基頻的期望值，并且能估計(jì)其置信區(qū)間。分析結(jié)果表明：太陽(yáng)電池陣的同一鉸鏈副必須進(jìn)行多次模態(tài)實(shí)驗(yàn)，才能減少實(shí)驗(yàn)誤差造成的影響、預(yù)示出合理的基頻結(jié)果。對(duì)真實(shí)的模態(tài)實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用高斯過(guò)程回歸方法預(yù)示太陽(yáng)電池陣基頻有待進(jìn)一步研究。如實(shí)際情況中，同一電池陣中不同鉸鏈副的剛度存在差異，要求預(yù)示的頻率不僅限于基頻，這些多輸入多輸出問(wèn)題也需拓展。

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FundamentalFrequencyAnalysisofSolarCellArraywithUncertainConnectionStiffness

PANG Meng-fei1， ZHU Chun-yan2， ZHANG Mei-yan1， TANG Guo-an1

(1. Department of Aeronautics and Astronautics, Fudan University, Shanghai 200433, China;2. Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China)

With the consideration of the random factors such as machining and experimental error, solar cell array with a hinge pair which had uncertain bending stiffness was taken as an example and the fundamental frequency test was simulated by numerical method in this paper. The different hinge pairs and their bending stiffness satisfying certain distribution law which were amounted on the same solar cell were simulated many times. The simulation model of the hinge pair bending stiffness and the cell array fundamental frequency were established. The mapping between them was trained by the Gaussian process regression method. On this basis, the relationship between the expected value and confidence interval of the cell array fundamental frequency and the hinge pair bending stiffness was obtained. The uncertainty analysis process of cell array fundamental frequency with the respect to the stiffness parameters of hinge pair was given. The results show that the fundamental frequency expected value of the cell and super parameters in the covariance expression can be determined by the Gaussian process regression methods under the condition of uncertainty of hinge pair stiffness. It can not only indicate the expected value of the fundamental frequency but also estimate its confidence interval, which is different from other regression method or interpolating method. In order to reasonably predict the uncertainty of the cell array fundamental frequency, it is necessary to produce multiple sets of hinge pairs to do modal experiments and to increase the number of repetitive experiments on the same hinge pair in the actual case where the processing and experimental errors are inevitable.

solar cell array; hinge pair; simulation; stiffness; natural frequency; uncertainty; Gaussian process regression; confidence interval

1006-1630(2017)06-0103-06

V414.33

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.06.016

2017-05-20；

2017-07-12

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11572089)；上海市科學(xué)技術(shù)委員會(huì)揚(yáng)帆計(jì)劃項(xiàng)目資助(15YF1411900)

龐夢(mèng)非(1993—)，女，碩士生，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。

唐國(guó)安(1962—)，男，教授，主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)。