李慶壽

將一個非退化的二次曲線的焦點數(shù)統(tǒng)一為4個——除圓的四個焦點收縮為中心一點外，其他情況均不重合，也不消失，它們兩實兩虛，可在有窮遠，也可在無窮遠.理由如下：

1.在添加無窮遠元素的拓廣歐式平面上，實焦點位于實軸（橢圓的長軸，拋物線的對稱軸）上，虛焦點位于虛軸（橢圓的短軸，拋物線無窮遠直線）上.在實軸上取坐標原點為各曲線的共用頂點之一，共用實軸為x軸，頂點切線為y軸，則各曲線可有統(tǒng)一方程：

（1-e2）x2+y2-2px=0

（p：共同的焦參數(shù)，e：離心率，還有半實軸a=p|1-e2|，半虛軸b=p|1-e2|，離心率c=ep|1-e2|均為可變參數(shù).）

因拋物線的實焦點“介于”流動的橢圓、雙曲線焦點之間，當其中各一（坐標：（±（a+c），0，1））趨于無窮遠時，拋物線的實焦點之一的坐標就是（1，0，0）.（a，c均趨于無窮大.）又因無窮遠直線“介于”流動的橢圓短軸、雙曲線的虛軸之間，當它們的虛焦點（坐標：（a，±ic，1））隨虛軸趨于無窮遠時，無窮遠直線上拋物線的虛焦點坐標就是（1，±i，0）.（a，c均趨于無窮）

2.下面三圖分別是橢圓、拋物線、雙曲線的焦點F，F(xiàn)′（實），G，G′（虛）生成圖：（I，J是圓環(huán)點）

比較三圖，可以看出當無窮遠直線（IJ）從與曲線相離（圖1）變?yōu)橄嘟唬▓D3），中間經(jīng)過相切（圖2）時，直線（IJ）與（GG′）交換位置.因此，I和G（在切線IF上）、J和G′（在切線JF上）、C∞與C（在對稱軸FF′上）亦經(jīng)過重合而交換位置.所以，F(xiàn)，F(xiàn)′，G，G′四個焦點中的任一均未消失——在拋物線的無窮遠直線上有三個焦點：C∞（實）、I、J（虛）.

3.設二次曲線的線式方程為

S≡∑i，jbijuiuj=0（i，j=1，2，3，bij=bji，|S|=|bij|≠0），

圓環(huán)點I，J的方程是：S′≡u21+u22=0.

則|S+λS′|=0表示曲線束：S+λS′=0，（1）

退化成由四焦點為兩組對頂?shù)乃木€形.

當b33=0（拋物線），方程：

|S+λS′|=b11+λb12b13b21b22+λb23b31b320=0，（2）

有解：λ1=∞，λ2=|bij|b213+b223.

代入（1），分別得到

u21+u22=0，（3）

（b22u2+b22u2）{[2b22b22+（b22-b22）b22]u2+[2b22b22-（b22-b22）b22]u2+2（b222+b222）u2}=0.（4）

由（3）解得：G，G′=I，J.

由（4）解得：F′=C∞和F（圖2）.

【參考文獻】

[1]梅向明，劉增賢，王匯淳，王智秋.高等幾何：第2版[M].北京：高等教育出版社，2010：155-157.