周成博 宋一諾 范光華,1)

?(威海市第一中學(xué)，山東威海264207)

?(哈爾濱工業(yè)大學(xué) (威海)光電科學(xué)系，山東威海 264209)

復(fù)合擺和耦合擺運(yùn)動(dòng)的可視化

周成博?宋一諾?范光華?,1)

?(威海市第一中學(xué)，山東威海264207)

?(哈爾濱工業(yè)大學(xué) (威海)光電科學(xué)系，山東威海 264209)

利用視頻跟蹤技術(shù)和Tracker軟件，通過(guò)運(yùn)動(dòng)時(shí)序圖和李薩如圖展示了不同數(shù)量復(fù)合擺構(gòu)成的耦合擺的多種運(yùn)動(dòng)形式，包括兩個(gè)復(fù)合擺的同振幅同方向振動(dòng)、同振幅反方向振動(dòng)、拍振以及3個(gè)和4個(gè)擺之間的能量轉(zhuǎn)移運(yùn)動(dòng).這種實(shí)驗(yàn)演示方法有助于學(xué)生加深對(duì)耦合擺運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí).

復(fù)合擺,耦合擺,視頻跟蹤技術(shù)

在高中和大學(xué)物理課中，單擺的擺動(dòng)經(jīng)常用做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的模型.單擺在平衡位置兩側(cè)的來(lái)回?cái)[動(dòng)很直觀地表現(xiàn)為周期性運(yùn)動(dòng).但是，單擺偏離平衡位置兩側(cè)的角度或幅值隨時(shí)間的變化，也就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，卻不容易構(gòu)思.此外，實(shí)際情況下還存在各種形式的復(fù)雜振動(dòng)，它們都是各種簡(jiǎn)諧振動(dòng)的耦合或疊加[1]，其運(yùn)動(dòng)形式比較復(fù)雜，規(guī)律不夠直觀，初學(xué)者對(duì)這些方面知識(shí)的理解存在一定困難.由于單擺的擺線是柔性的，單擺之間的耦合受到一定的限制.復(fù)合擺的運(yùn)動(dòng)形式跟單擺類似，剛性擺桿一端連接擺錘，另一端可以繞一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺桿之間可以方便地通過(guò)彈簧或橡皮筋實(shí)現(xiàn)耦合[23].因此，多個(gè)復(fù)合擺之間可以實(shí)現(xiàn)多種形式的耦合運(yùn)動(dòng).以往的教學(xué)論文中，已經(jīng)通過(guò)各種手段實(shí)現(xiàn)多種振動(dòng)的可視化[415].這些實(shí)驗(yàn)裝置都有很多優(yōu)點(diǎn)，但是缺點(diǎn)在于要么不適合在學(xué)生很多的場(chǎng)合展示.要么需要采用比較復(fù)雜的電路將運(yùn)動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，并且需要頻率范圍合適的示波器或其他儀器進(jìn)行演示，對(duì)儀器設(shè)備要求較高，因此不易實(shí)現(xiàn).

近年來(lái)，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，目標(biāo)視頻跟蹤已經(jīng)很容易實(shí)現(xiàn).利用手機(jī)可以拍攝各種運(yùn)動(dòng)的視頻，利用軟件技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的視頻捕捉和運(yùn)動(dòng)跟蹤，再利用軟件的后續(xù)處理，可以得到運(yùn)動(dòng)物體的軌跡、振幅(擺角)以及相位隨時(shí)間的變化規(guī)律[1618].這些通過(guò)跟蹤物體運(yùn)動(dòng)視頻，并利用軟件處理得到物體運(yùn)動(dòng)的變化關(guān)系圖的方式，可以使學(xué)生更好地理解和掌握所要研究學(xué)習(xí)的運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，具有重要意義.由多個(gè)復(fù)合擺組成的耦合擺具有多種運(yùn)動(dòng)形式，是關(guān)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)和耦合運(yùn)動(dòng)的典型范例，目前缺乏關(guān)于這些運(yùn)動(dòng)的形象的展示手段.本文利用手機(jī)拍攝復(fù)合擺和耦合擺的視頻，利用開(kāi)源軟件Tracker實(shí)現(xiàn)視頻中被觀察物體的運(yùn)動(dòng)跟蹤，獲取其擺幅隨時(shí)間的變化曲線，通過(guò)不同復(fù)合擺擺幅之間的關(guān)系曲線，全面展示復(fù)合擺和耦合擺的多種運(yùn)動(dòng)形式，為學(xué)生學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)提供有價(jià)值的資料.

1 實(shí)驗(yàn)裝置和實(shí)驗(yàn)細(xì)節(jié)

復(fù)合擺和耦合擺的實(shí)驗(yàn)裝置如圖1(a)所示，擺錘通過(guò)剛性擺桿連接在轉(zhuǎn)軸上，利用彈簧連接復(fù)合擺的擺桿，可以在復(fù)合擺之間形成耦合作用從而構(gòu)成耦合擺.耦合擺中的復(fù)合擺數(shù)量可以不受限制，圖1分別為兩個(gè)、三個(gè)和四個(gè)復(fù)合擺通過(guò)彈簧構(gòu)成的耦合擺.本實(shí)驗(yàn)的每個(gè)復(fù)合擺完全一樣，擺錘重686.5g，擺桿重132.2g，耦合長(zhǎng)度為50cm，通過(guò)調(diào)整擺錘上方的扁平螺母，可以小幅改變復(fù)合擺的擺動(dòng)周期，以實(shí)現(xiàn)現(xiàn)象比較顯著的拍振.實(shí)驗(yàn)過(guò)程中用手機(jī)錄取所有擺的運(yùn)動(dòng)視頻，在電腦中用Tracker軟件對(duì)視頻進(jìn)行處理，獲得有關(guān)運(yùn)動(dòng)曲線.在擺錘上貼不同的標(biāo)簽，以利于視頻跟蹤和Tracker軟件后續(xù)數(shù)據(jù)處理.

圖1 復(fù)合擺構(gòu)成的耦合擺

圖2 兩個(gè)復(fù)合擺耦合的時(shí)序圖和振幅關(guān)系

2 耦合擺的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)與研究

2.1 兩個(gè)復(fù)合擺的耦合運(yùn)動(dòng)

把兩個(gè)復(fù)合擺的擺錘從平衡位置向同一個(gè)方向偏轉(zhuǎn)相同角度，隨后同時(shí)釋放，耦合擺開(kāi)始自由擺動(dòng).此情況下兩個(gè)復(fù)合擺產(chǎn)生同方向振動(dòng).實(shí)驗(yàn)時(shí)，利用攝像頭拍攝兩個(gè)擺的運(yùn)動(dòng)視頻，經(jīng)過(guò)Tracker軟件分析可獲得不同時(shí)刻擺的角位移值.兩個(gè)復(fù)合擺擺錘的角位移隨時(shí)間變化的時(shí)序圖如圖2(a)所示，可以看出兩擺頻率基本相同，振幅幾乎同時(shí)達(dá)到最大值 (或最小值).將左邊擺的角位移值設(shè)置為橫坐標(biāo)，右邊擺的角位移值設(shè)置為縱坐標(biāo)，即可畫(huà)出如圖2(b)所示的李薩如圖.嚴(yán)格意義上的李薩如圖是某個(gè)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在相互垂直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)軌跡，圖的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)于各個(gè)時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)在相互垂直方向上的位移.在本論文中，為對(duì)耦合擺運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行分析，構(gòu)建的是耦合擺系統(tǒng)中某兩個(gè)擺錘在各個(gè)時(shí)刻位移的非嚴(yán)格李薩如關(guān)系圖.從圖2(b)中可以看出所有的點(diǎn)基本上構(gòu)成一條正斜率的準(zhǔn)直線.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)這些準(zhǔn)直線略有彎曲，不是嚴(yán)格意義上的直線.其原因在于，在本實(shí)驗(yàn)的耦合擺裝置中，為了觀察比較明顯的拍振動(dòng)，已調(diào)整不同擺的周期值使其略有差別.在兩個(gè)擺同振幅同方向振動(dòng)時(shí)，盡管初始階段兩個(gè)擺之間的彈簧沒(méi)有形變，但是隨著振動(dòng)的持續(xù)，兩個(gè)周期略微不同的耦合擺之間還是會(huì)逐漸偏離同振幅狀態(tài)，這使得兩個(gè)擺之間的彈簧存在形變，從而使兩個(gè)擺之間出現(xiàn)略微的耦合作用，在李薩如圖中顯示出來(lái)，因此出現(xiàn)圖2(b)中略有彎曲的準(zhǔn)直線.改變初始條件，把兩個(gè)擺錘從平衡位置反方向偏轉(zhuǎn)相同角度再同時(shí)釋放，此情況下耦合擺產(chǎn)生同振幅反方向振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)序圖如圖2(c)所示，兩個(gè)擺的頻率相近而振動(dòng)方向相反.兩擺擺幅的李薩如圖形如圖2(d)所示，這些點(diǎn)最終會(huì)趨近于一條負(fù)斜率的直線.再改變初始條件，固定一個(gè)復(fù)合擺，把另一個(gè)復(fù)合擺拉離平衡位置，然后同時(shí)釋放，此情況下耦合擺出現(xiàn)拍振，其運(yùn)動(dòng)形式是一個(gè)擺振幅達(dá)到最大的同時(shí)另一個(gè)擺的振幅最小，如此交替進(jìn)行.從時(shí)序圖上可以明顯看出拍振的曲線，如圖2(e)所示，圖2(f)是拍振動(dòng)的李薩如圖形.

圖2 兩個(gè)復(fù)合擺耦合的時(shí)序圖和振幅關(guān)系(續(xù))

圖3 三個(gè)復(fù)合擺耦合實(shí)驗(yàn)時(shí)序圖及振幅關(guān)系圖

2.2 三個(gè)復(fù)合擺的耦合運(yùn)動(dòng)

在三個(gè)復(fù)合擺耦合的情況下，把從左至右排列的 3個(gè)擺分別稱為左、中、右擺.先固定中、右兩擺，偏移左擺，然后同時(shí)釋放三個(gè)擺，起初左擺振幅最大，隨后其振幅衰減至最小，同時(shí)中擺振幅增至最大，而后中擺振幅逐漸衰減至最小而右擺振幅增至最大，之后這一現(xiàn)象又會(huì)從右到左依次進(jìn)行.從圖3(a)可以看出當(dāng)一個(gè)擺振幅達(dá)到頂峰時(shí)另外兩擺的振幅均為最小.其原因是機(jī)械能按照左→中→右→中→左的順序不斷傳遞，從而引起振幅的不斷變化.圖3(b)是左、右兩擺的擺幅關(guān)系圖，圖中的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)閉合的橢圓. 可以看到隨著時(shí)間的增加，橢圓的旋轉(zhuǎn)方向首先是順時(shí)針，然后變?yōu)槟鏁r(shí)針，再變?yōu)轫槙r(shí)針，再變?yōu)槟鏁r(shí)針，如此交替變化.當(dāng)橢圓的軸線平行于某個(gè)坐標(biāo)軸時(shí)，反映在此橢圓對(duì)應(yīng)的循環(huán)過(guò)程中某個(gè)擺的位移及其絕對(duì)值連續(xù)發(fā)生顯著變化，而另一個(gè)擺的位移及其絕對(duì)值則只是發(fā)生小幅變化，這對(duì)應(yīng)著拍振的運(yùn)動(dòng)形式.當(dāng)橢圓的軸線與坐標(biāo)軸傾斜時(shí)，反映在此循環(huán)過(guò)程中兩個(gè)擺的位移及其絕對(duì)值連續(xù)發(fā)生顯著變化，這對(duì)應(yīng)著能量從一個(gè)擺向另一個(gè)擺轉(zhuǎn)移的運(yùn)動(dòng)形式.當(dāng)固定左、右兩擺偏移中間擺時(shí)，又會(huì)產(chǎn)生另外一種運(yùn)動(dòng)：左右兩擺發(fā)生同相同步，振幅同步增減且擺動(dòng)方向一致，當(dāng)中擺振幅最大時(shí)，左右兩擺振幅最小，中擺振幅最小時(shí)，左右兩擺振幅最大.從圖 3(c)的振幅變化可以觀察到此現(xiàn)象.圖3(d)是左、中兩擺的振幅關(guān)系，其變化規(guī)律類似圖3(b).當(dāng)固定左、中兩擺偏移右擺時(shí)，由于對(duì)稱性其現(xiàn)象與固定中、右兩擺偏移左擺類似，不做重復(fù)描述.

圖3 三個(gè)復(fù)合擺耦合實(shí)驗(yàn)時(shí)序圖及振幅關(guān)系圖(續(xù))

2.3 四個(gè)復(fù)合擺的耦合運(yùn)動(dòng)

在四個(gè)復(fù)合擺耦合的情況下，把從左至右的四個(gè)擺依次編號(hào)為 1,2,3和 4，給予不同的初始條件，它會(huì)相應(yīng)地產(chǎn)生多種運(yùn)動(dòng).首先仿照上節(jié)所述的初始條件，固定擺2,3,4的同時(shí)將擺1偏離平衡位置，然后一起釋放令其自由運(yùn)動(dòng).四個(gè)擺產(chǎn)生與三個(gè)擺類似的運(yùn)動(dòng)情況：起初擺1振幅最大，在其逐漸減小的同時(shí)擺2的振幅增至最大，伴隨擺2振幅減小擺3振幅又增至最大，一直傳遞到擺4之后又開(kāi)始反方向進(jìn)行該過(guò)程.即機(jī)械能按照 1→2→3→4→3→2→1的順序在復(fù)合擺之間來(lái)回傳遞.從4(a)中的時(shí)序圖可見(jiàn)，四個(gè)擺的運(yùn)動(dòng)方式都是一種拍振，當(dāng)一個(gè)擺的振幅達(dá)到最大時(shí)，另外三個(gè)擺的振幅均在最小值附近.圖 4(b)是任意兩個(gè)相鄰擺的擺幅關(guān)系圖，其變化規(guī)律與圖3(b)類似.

圖4 四個(gè)復(fù)合擺耦合實(shí)驗(yàn)

接下來(lái)進(jìn)行固定某兩擺不動(dòng)，拉開(kāi)另外兩擺，再同時(shí)釋放的實(shí)驗(yàn)，這種實(shí)驗(yàn)有多種組合.其一，固定擺2和4使之保持不動(dòng)，將擺1和3反方向拉開(kāi)相同的偏角，然后同時(shí)釋放，可以發(fā)現(xiàn)擺1和3為一組，擺2和4為一組，兩組擺進(jìn)行反相振動(dòng).當(dāng)擺1和3的振幅達(dá)到最大時(shí)，擺2和4的振幅最小，之后擺1和3的振幅逐漸衰減至最小，而擺2和4的振幅逐漸增至最大.該運(yùn)動(dòng)的時(shí)序圖以及擺1和2的李薩如圖形如圖5(a)和圖5(b)所示.其二，固定擺 1和 4不動(dòng)，將擺 2和 3反方向偏移相同角度后同時(shí)釋放，所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象與上一個(gè)實(shí)驗(yàn)類似，即擺1和4為一組，擺2和3為一組，兩組擺進(jìn)行反相振動(dòng)，前一組擺的振幅最大時(shí)后一組擺的振幅最小.該運(yùn)動(dòng)的時(shí)序圖以及擺1和2的李薩如圖形如圖 5(c)和圖 5(d)所示.其三，固定擺 1和2，反方向偏轉(zhuǎn)擺3和4再同時(shí)釋放，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象也與上述現(xiàn)象相似，該運(yùn)動(dòng)的時(shí)序圖以及擺1和3的李薩如圖形如圖5(e)和圖5(f)所示.其四，固定擺1和4，將擺2和3同方向偏轉(zhuǎn)相同的角度然后同時(shí)釋放，可見(jiàn)擺1和4為一組，擺2和3為一組，兩組擺進(jìn)行同相振動(dòng)，當(dāng)擺1和4擺振幅達(dá)到極大值時(shí)擺2和3的振幅最小，該運(yùn)動(dòng)的時(shí)序圖以及擺1和2的李薩如圖形如圖5(g)和圖 5(h)所示.其余組合的同相振動(dòng)類似，不做重復(fù)描述.

圖5 四個(gè)復(fù)合擺耦合實(shí)驗(yàn)時(shí)序圖及振幅關(guān)系圖

圖5 四個(gè)復(fù)合擺耦合實(shí)驗(yàn)時(shí)序圖及振幅關(guān)系圖(續(xù))

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論

利用視頻跟蹤技術(shù)和 Tracker軟件，通過(guò)運(yùn)動(dòng)時(shí)序圖和李薩如圖形展示了不同擺動(dòng)的形式.發(fā)現(xiàn)4個(gè)擺耦合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律：初始偏移平衡位置的兩個(gè)擺形成一組，按照與它們的初始條件相同的形式進(jìn)行運(yùn)動(dòng)(初始反向偏移則反相振動(dòng)，初始同向偏移則同相振動(dòng))，而初始固定的兩個(gè)擺形成一組，以同樣的狀態(tài)運(yùn)動(dòng).這兩組擺中的一組振幅最大時(shí)另一組的振幅最小，從李薩如圖中可以看出它們產(chǎn)生拍振和能量的轉(zhuǎn)移.這些實(shí)驗(yàn)有助于學(xué)生更好地理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)和耦合振動(dòng).

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V216.2+2

A

10.6052/1000-0879-17-256

2017–07–19收到第1稿，2017–10–19 收到修改稿.

1)E-mail:fangh@hitwh.edu.cn

周成博,宋一諾,范光華.復(fù)合擺和耦合擺運(yùn)動(dòng)的可視化.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(6):641-647

Zhou Chengbo,Song Yinuo,Fan Guanghua.Visualization of the vibration of compound pendulum and coupled pendulum.Mechanics in Engineering,2017,39(6):641-647

(責(zé)任編輯:周冬冬)