杜茂林 陳 平 王德榮

(解放軍理工大學(xué)國防工程學(xué)院，南京210007)

太空拔河勝負(fù)再分析1)

杜茂林2)陳 平 王德榮

(解放軍理工大學(xué)國防工程學(xué)院，南京210007)

太空拔河宇航員的力氣定義為其對繩子的拉力.如果不計繩子質(zhì)量，力氣小者實際不能產(chǎn)生相對于繩子的前進加速度.在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用宇航員和繩子的動力學(xué)方程，對考慮和不考慮繩子質(zhì)量兩種情況進行分析，得出力氣大者勝的結(jié)論.

太空拔河,質(zhì)心,力氣

在1982年出版的經(jīng)典教材《理論力學(xué)》[1]中，有一個有趣的動力學(xué)例子 — 太空拔河.問題為：兩宇航員在太空中拔河，他們的質(zhì)量和力氣不同，則勝負(fù)如何？兩宇航員和繩子組成的質(zhì)點系不受外力，是說明系統(tǒng)動量守恒的一個很好的例子.該例為一些常用著名教材[23]所采用.因初始時刻系統(tǒng)靜止，質(zhì)心保持不動，兩拔河者同時到達質(zhì)心處[3].這些教材中關(guān)于動量守恒和質(zhì)心不動的論述，無疑是正確的.然而，在課堂上學(xué)生們常常會對勝負(fù)問題產(chǎn)生辯論.其關(guān)鍵是繩子的運動.通過觀察繩子上的標(biāo)志點相對于太空中的固定點的位置變化，來得出勝負(fù).一種觀點為不分勝負(fù)，理由是質(zhì)點系質(zhì)心是不動的，所以不分勝負(fù).但質(zhì)心不是繩子上的某個特定點，繩子是運動的.文獻[4]認(rèn)為質(zhì)量和力氣都是取勝的因素，通過動力學(xué)和運動學(xué)分析，給出了繩子的加速度公式.在該公式中，認(rèn)為力氣與拔河者相對于繩子的相對加速度有關(guān)，但沒有分析相對加速度產(chǎn)生的機理.本文把宇航員能夠給出的拉力定義為力氣，對繩子加速度進行了分析，從而確定勝負(fù).

1 對不合理結(jié)論的討論

“不分勝負(fù)”、“拔河者的質(zhì)量是獲勝因素”和“力氣大者不能使出全部力氣”，是三種不合理的觀點，說明如下.

1.1 不分勝負(fù)

宇航員A和B的質(zhì)量分別為mA和mB，且mA＜mB，如圖1所示.如果宇航員A的力氣比B大，那么勝負(fù)如何？文獻[4]指出了不分勝負(fù)結(jié)論是錯的，本文對質(zhì)點系質(zhì)心位置作一點補充說明.

圖1 太空拔河示意圖

雖然兩宇航員和繩子組成的質(zhì)點系質(zhì)心位置不動，但質(zhì)心一般不與繩子上的特定點重合，繩子是運動的.系統(tǒng)初始時刻靜止，繩子上的星號標(biāo)記與太空中三角形固定點對準(zhǔn).設(shè)初始時刻，繩子上的星號標(biāo)記與系統(tǒng)質(zhì)心 O重合.如果宇航員 B只是把繩子綁住身體，而不用手拉動繩子，由宇航員A拉動繩子，繩子必然和宇航員B一起向宇航員A的方向移動，但系統(tǒng)質(zhì)心不動.為了說明質(zhì)心位置不一定與質(zhì)點系中的某一特定質(zhì)點重合，再看一個更明顯的例子.如圖2所示，用銷釘連接的質(zhì)量尺寸相同的兩均質(zhì)桿，在左圖位形時，質(zhì)心O與連接兩桿的銷釘重合；而在右圖位形時，質(zhì)心O1與銷釘以及系統(tǒng)中的任何實體質(zhì)點都不再重合.

圖2 質(zhì)點系質(zhì)心位置的變化

1.2 力氣大者不能使出全部力氣

在對“不分勝負(fù)”解釋中，同時指出“A要受到B的限制，A無法使出全部力氣”[2].如上所述，如果宇航員B只是把繩子綁住身體，而不用手拉動繩子，由宇航員A全力拉動繩子.宇航員B使出的力氣為零，不計繩子質(zhì)量，兩宇航員受力大小相等.如果按照“A要受到B的限制”的說法，A使出的力氣也為零.因此，這種觀點不正確.

1.3 拔河者的質(zhì)量是獲勝因素[4]

文獻[4]給出了繩子的加速度公式

其中arA和arB分別為A和B相對于繩子的加速度，如圖 3所示.只要 arB/=0，mBarB＞mAarA時，B獲勝.實際上，需要對式(1)中相對加速度作進一步分析.我們知道，一個在單杠上做引體向上的人，當(dāng)其力氣不足以克服自身重力(力氣小于重力)時，他只能是掛在單杠上，身體不能產(chǎn)生向上的加速度.單杠對手的作用力，等于身體的重力.同樣，不計繩子質(zhì)量，兩拔河者受力相等，力氣小者不足以克服由于繩子拉動而產(chǎn)生的自身向后的慣性力.或者說，不打滑時，力氣小者就相當(dāng)于掛在繩子上，不能產(chǎn)生相對加速度.

圖3 系統(tǒng)加速度[4]

2 考慮繩子質(zhì)量

2.1 動力學(xué)方程

設(shè)宇航員A和B能使出的力氣分別為PA和PB，且 PA＞PB，繩子的質(zhì)量為m繩.宇航員A手與繩子之間不打滑.繩子、A和B的受力如圖4所示.但可以等于或大于PB.

圖4 拔河者受力分析

2.2 力氣大者勝

由式(4)可見，只要A的力氣比B的力氣大，繩子的加速度必大于零，A勝；當(dāng)A的力氣與B的力氣相等時，繩子的加速度為零，平局.

2.2.1 力氣小者手與繩子打滑情況

若 (PA?FB)/m繩＞ FB/mB，即 a繩＞ aB，其中FB為動滑動摩擦力.以B為動點，動坐標(biāo)系建立在繩子上.由加速度合成定理aB=a繩+arB，參照圖3，向aB方向投影，得

B的相對加速度方向與圖3所示相反.2.2.2力氣小者手與繩子不打滑情況

首先，B的力氣小得不多，仍能產(chǎn)生相對于繩子正的相對加速度(與圖3所示方向相同的相對加速度)

其中，aB=FB/mB=PB/mB,a繩=(PA?PB)/m繩.設(shè)B質(zhì)量是繩子質(zhì)量的k倍，即mB=km繩

又PB＜PA，所以

設(shè)k=20

其次，B力氣小到不能產(chǎn)生相對于繩子正的相對加速度，即B的力氣不能保證式(8)條件，但手與繩子不打滑，相當(dāng)于把繩子綁到B上(FB＞PB)，則

3 繩質(zhì)量不計

(1)如果B與繩子之間打滑，由式(4)可知

(2)如果B與繩子之間不打滑

由式(11)可知

以A為動點，動坐標(biāo)系建立在繩子上.由加速度合成定理aA=a繩+arA，參照圖3，向aA方向投影，得

4 結(jié)論

太空拔河勝負(fù)從觀察繩子上的標(biāo)志相對于固定點的位置變化得到結(jié)果，力氣大者勝.不計繩子質(zhì)量，力氣小的拔河者，相對于繩子不能產(chǎn)生相對加速度，相當(dāng)于被綁在繩子上.

1朱照宣,周起釗,尹金生.理論力學(xué) (下冊).北京:北京大學(xué)出版社,1982

2范欽珊主編.工程力學(xué)教程(III).北京:高等教育出版社,1998

3李俊峰,張雄主編.理論力學(xué) (第 2版).北京:清華大學(xué)出版社,2010

4杜茂林.太空撥河勝負(fù)分析.力學(xué)與實踐,2006,28(3):77-78

O313.2

A

10.6052/1000-0879-16-417

2016–12–21收到第1稿，2016–12–29 收到修改稿.

1)國家自然科學(xué)基金資助項目(51321064).

2)E-mail:dumaolindml@163.com

杜茂林,陳平,王德榮.太空拔河勝負(fù)再分析.力學(xué)與實踐,2017,39(6):638-640

Du Maolin,Chen Ping,Wang Derong.Reconsidering the outcome of a tug-of-war in space.Mechanics in Engineering,2017,39(6):638-640

(責(zé)任編輯:胡 漫)