賴登榕

摘 要：數(shù)學是一門抽象性、邏輯性很強的學科，應用直觀的教學手段增強學生對數(shù)學知識的理解，發(fā)展學生的認知能力具有十分重要的作用.初中階段正是學生思維方式發(fā)展的關鍵期和轉折期，思維上體現(xiàn)了抽象性與形象性的綜合特征.如何適時應用直觀性教學手段，以領悟數(shù)學知識為媒介，促進學生數(shù)學思維的發(fā)展，是數(shù)學教育工作者應當思考的問題.

關鍵詞：實物直觀；模像直觀；模式直觀；語言直觀

義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）指出：“要重視直觀，處理好直觀與抽象的關系”、“學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程” [1 ].捷克教育家夸美紐斯在《大教學論》中指出，“應該盡可能地把事物本身或代替它的圖像放在面前，讓學生去看看、聽聽、觸觸 [2 ].”美國著名的哲學家、教育學家和心理學家杜威提出了“做中學”，“從活動中學”，“從經(jīng)驗中學”.他明確提出：“從做中學要比從聽中學更是一種較好的方法 [3 ].”這些教育思想中無不說明直觀性教學的重要性.

下面就應用直觀性教學手段以深化學生對數(shù)學知識的領悟方面談談筆者的一些做法和感受.

1 通過實物直觀教學，發(fā)展抽象思維能力

以新北師大版數(shù)學教材（下同）為例，列舉一些運用實物直觀教學來深化學生對數(shù)學關系的領悟的例子，比如在“九年級上冊第一章——特殊的平行四邊形”這一章節(jié)中，結合教材資源提問：用折紙和剪紙的辦法（如圖1）如何得到一個菱形或正方形，并說明道理.

通過引導學生進行實際操作和演示，讓他們嘗試解說從折到剪的全過程，力求能夠做到具體、形象地講解圖形的邊、角、對角線的內(nèi)在關系，并辨析圖形變化前后的數(shù)值和位置關系.筆者讓學生思考和驗證：上述方法能否剪出一個（不是正方形的）矩形，為什么？調(diào)動和激發(fā)學生的積極性和好奇心，課堂活動進入了新的高潮.從而深化了學生從邊、角或對角線的角度，對菱形、正方形間的內(nèi)在關系的領悟和掌握.

又如在“七年級上冊第一章——豐富的圖形世界”這一章節(jié)中，通過準備好長方體、正方體、圓柱體、剪刀、美工刀、卡紙等教具，在課堂演示操作，適時引導學生參與教學實驗，讓學生準確地把握圖形的形狀、數(shù)量和位置關系。通過直觀的實物展示，促進了學生對相對復雜的空間關系的認識，準確把握了長方體和圓柱體的截面形狀、組合體的三視圖以及其間正方形的分布位置、組合體中正方體最多或最少個數(shù)問題等的解決方法；為了進一步深化領悟，再設置了如下問題：用一個平面截一個正方體，截面形狀能否是七邊形？請同學們切割用白蘿卜制成的正方體，并說說你在切割中的發(fā)現(xiàn).實物直觀教學發(fā)展了學生抽象思維能力、空間想象能力，提高了他們發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.

再如，事件的“可能性”、“頻率與概率”，讓學生參與摸紅球、轉轉盤、擲骰子、拋硬幣、拋圖釘、擲飛鏢等游戲活動中，通過親身經(jīng)歷和實際操作，感知數(shù)學規(guī)律的真實性與存在性，深化了學生對應用古典概型或幾何概型解決實際問題的方法的領悟，從根本上把握不確定事件的數(shù)學關系.

這樣的例子還有很多.實物直觀本身也存在局限性，如圖形的變換（縮放、平移、旋轉、對折等），想通過實物直觀教學手段來深化學生對知識的領悟的難度是很大的，所以實際教學中借助了其他直觀手段加以實現(xiàn).

2 通過數(shù)學模像直觀教學，發(fā)展抽象思維能力

一般地，觀察與教材相關的模型與圖像（如PPT、圖片、圖表、視頻等），形成表象的方法被稱為模像直觀。它是實物直觀的有效補充.

數(shù)學模像直觀主要是通過前景或背景顏色的強調(diào)、形狀的縮放、動作路徑的設定、對象的參照等手段形成實物中非本質(zhì)特征的強度改變，從而突出數(shù)學教學中需要概括的數(shù)學對象的本質(zhì)因素.用動畫形式表現(xiàn)圖形的變換（縮放、平移、旋轉、對折）、呈現(xiàn)點、線、面、體的動態(tài)過程、展示相關數(shù)學關系之間的互相轉換等，實際教學中可利用的資源有很多，教師亦可自己制作課件，實現(xiàn)圖像動態(tài)效果的易用軟件包括PPT、Flash、幾何畫板等.

例如，七年級下冊“第五章生活中的軸對稱——探索軸對稱的性質(zhì)”，如果教學過程中只停留在性質(zhì)的驗證和應用上，課堂學習將會變得枯燥無味，學生的主體性和主動性也將無法得到充分的體現(xiàn).通過實物展示也可能受阻，因為這節(jié)課的相關圖形已經(jīng)從生活中抽象成了數(shù)學圖形，現(xiàn)在又要倒退回去，這不是折騰嗎？如果我們通過動畫，利用顏色對比和動作路徑設定，讓圖形自己會說話，學生能直接地感知到圖形中每個對應量之間的位置及數(shù)量關系，特別是對稱點的連線與對稱軸之間的關系.學生容易得到以下結論（如圖2）：AD=A/D/，∠1=∠2，∠3=∠4，以及AA/被對稱軸l垂直平分等類似的關系，同時對稱軸的位置也顯得十分直觀，不容懷疑.模像直觀彌補了實物直觀的不足，便于學生對數(shù)學對象本質(zhì)屬性的理解和把握，并且在一定程度上培養(yǎng)了學生的抽象思維能力.

3 運用模式直觀，促進思維的遷移，發(fā)展抽象思維能力

所謂模式直觀，是通過相對比較具體的、先前已經(jīng)熟悉的、具有普遍協(xié)調(diào)感的、容易接近的模式作為背景，使得人們能夠進一步把握和理解更加抽象、更為深刻的思維對象[4 ].模式直觀是抽象的數(shù)學知識學習中經(jīng)常運用的教學手段.

比如有理數(shù)、實數(shù)、無理數(shù)乃至代數(shù)式的運算教學，通過類比小學已學的運算律、運算順序等已有的算法模式和計算經(jīng)驗，化未知為已知，成功拓展了數(shù)的范圍，深化了對數(shù)的運算關系的領悟.

再如利用“糖水的直觀模式”證明■<■這一特定不等式提供了直觀的可操作的“思想實驗” [5 ]，為學生領悟形如■<■<…<■，以及把握等式基本性質(zhì)■=■（m≠0），避免出現(xiàn)■=■形式提供了直觀的模式.

類似的例子還有許多，比如用溫度計類比數(shù)軸來比較實數(shù)的大小問題、用方格紙體現(xiàn)勾股定理及其逆定理、用抽屜原理說明400人中定有2人生日相同問題、用方程與函數(shù)思想解應用題、用摸球游戲做模擬實驗估算概率問題等，通過建模形成不同的模式，用以解決許多同類的實際問題是我們經(jīng)常運用的思想方法.模式直觀的應用，促進了數(shù)學思維的遷移，化被動為主動，化未知為已知，深化了學生對數(shù)學關系的領悟，對培養(yǎng)學生思維模式和分析問題、解決問題起到了不可替代的作用.

4 采用語言直觀教學，發(fā)展抽象思維能力

《醫(yī)學百科》對“語言直觀”解釋是：教師用生動形象、富有感染力的語言喚起學生對有關事物表象的重現(xiàn)，并按照描述進行重組，以形成新事物的表象.歸結一些口訣或順口溜，不僅直觀形象、富有趣味性，而且對數(shù)學知識的領悟和掌握也很有幫助.

比如，正方體的展開圖有11種情況，如何準確、快速、牢固地掌握它們呢？在實踐中借助口訣輔助教學，稱以下6種基本圖形為1-4-1型，并輔以口訣“四個側面放中間，上下兩面各一邊”，如圖3（甲）.

當然，為了更加準確、快速地判斷一個圖形是否為正方體的展開圖，還應當對圖形進行變式訓練，即對圖形進行位置的改變，如圖3（乙）其實是圖3（甲）水平翻轉后對應的圖形.為了便于學生掌握，可對1-4-1型的圖形進行了有序的排列，在教學中也便于語言直觀的表達.同時，還將其他展開圖分別直觀地概括為2-3-1型（共3種）也輔以口訣“二三相連不成田，三一相連位不限”、2-2-2型和3-3型（各1種）用一句口訣“二二三三連成梯，十一種類歸四型”.

再如，不等式組的解集問題，可用“大大取大；小小取??；大小、小大取中間；大大小小分兩邊（無解）.”類似于這樣的口訣結合線段圖加以輔助教學，讓復雜的情況變得簡單易懂、生動有趣.通過語言直觀和模像直觀（或實物直觀）相結合進行教學，為深化學生對數(shù)學知識的領悟起到了事半功倍的效果.

除了用口訣方式使學習內(nèi)容變得形象生動外，還可借助比喻、對照、轉化、類比等一系列形象生動的教學語言，使一些原本抽象復雜、邏輯性很強的數(shù)學關系變得更加簡單、有趣、易懂.比如在“九年級下冊第三章 ——圓”這一章節(jié)中，關于“垂徑定理”的逆定理是這樣描述的：“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的弧”，學生覺得不是太好理解.若讓學生把這句話轉化為“如果……，那么……”的形式，同時畫成圖形，即“如果圓O的直徑d平分一條不是直徑（停頓強調(diào)）的弦a（學生畫圖），那么這條直徑d就會垂直于弦a，并且平分弦a所對的兩條?。ńY合圖形說明）”，學生很快就改寫好了，并且也順利地畫出正確的圖形進行描述.為了加深對定理的理解，又引導學生思考：如果把括號中“不是直徑”四個字省略了，這個命題還會成立嗎？學生依照之前的方式將命題轉化成“如果圓O的直徑d平分一條弦a，那么這條直徑d就會垂直于弦a，并且平分弦a所對的兩條弧”，接著用畫圖形的方式加以說明，得到了反例（如圖4），通過舉反例的方式成功地解決了爭議.

語言直觀是最基本的直觀手段，它不會受時空限制，生動形象、富有趣味、感染力強，能夠喚起學生對各種表象的再現(xiàn).語言直觀要恰當?shù)赝瑢嵨镏庇^、模像直觀以及模式直觀相結合，充分發(fā)揮直觀性教學手段在深化學生對數(shù)學知識領悟方面的作用.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011）[M].北京：北京師范大學出版社，2012：3-4.

[2]張煥庭.西方資產(chǎn)階級教育論著選讀[M].北京：人民教育出版，1979：49.

[3]鄭治國.從杜威的“做中學”看現(xiàn)代教育[J].江西教育，2004（3）：2.

[4]羅增儒.數(shù)學解題學引論[M].西安：陜西師范大學出版社，2008：61.

[5]張廣祥，張奠宙.代數(shù)教學中的模式直觀[J].數(shù)學教育學報，2006（1）：2.