譚倩

摘 要：數(shù)學(xué)抽象是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)有之義。數(shù)學(xué)抽象簡(jiǎn)言之就是舍棄數(shù)學(xué)知識(shí)的非本質(zhì)屬性、提煉本質(zhì)屬性的過程。由于數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象、過程等差異，使得數(shù)學(xué)抽象的類型很多。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要依托直觀操作、直觀幾何、直觀表象等，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象，將學(xué)生從數(shù)學(xué)的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)教學(xué)；應(yīng)有理性

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，抽象性是數(shù)學(xué)的基本特性。課標(biāo)實(shí)驗(yàn)組組長(zhǎng)、東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的基本思想方法有三個(gè)，即抽象、推理和模型。任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，無論它是概念、法則還是規(guī)律、定理等，都需要經(jīng)歷抽象的過程。任何數(shù)學(xué)問題，無論它是數(shù)與計(jì)算、圖形與幾何還是統(tǒng)計(jì)與概率等，也都離不開數(shù)學(xué)抽象?？梢赃@樣說，沒有抽象就沒有數(shù)學(xué)。因此，荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾這樣說，“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說是學(xué)習(xí)形式，毋寧說是學(xué)習(xí)形式化；與其說是學(xué)習(xí)公理，毋寧說是學(xué)習(xí)公理化”。

一、怎樣理解“數(shù)學(xué)抽象”

“抽象”一詞，源于拉丁文“adstracio”，其基本含義有抽取、排除、提純等意思。所謂“數(shù)學(xué)抽象”，是指抽取事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，舍棄非本質(zhì)屬性，進(jìn)而提煉數(shù)學(xué)本質(zhì)的過程。顯然，這樣的過程是一個(gè)去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的過程。在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，前一階段數(shù)學(xué)抽象所形成的概念、結(jié)構(gòu)等往往是后一階段數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)抽象是具有層次性、遞進(jìn)性的。

數(shù)學(xué)抽象有許多類型，根據(jù)抽象的方式不同，我們可以將數(shù)學(xué)抽象分成“表征性抽象”（如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形等的概念、定義等）、“建構(gòu)性抽象”（如方程的概念、奇偶數(shù)概念、素?cái)?shù)合數(shù)概念等）和“原理性抽象”（如三角形的內(nèi)角和，加法交換律、結(jié)合律等）；按照抽象過程進(jìn)行分類，可以將數(shù)學(xué)抽象分為“理想化抽象”（即人類依靠思維構(gòu)造而形成的理想化存在，如直線、射線燈）、“弱抽象”（即舍棄一些特征而進(jìn)行的抽象，如平行四邊形舍棄角的特征，從邊的角度定義，如“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形就是平行四邊形”的概念的抽象就是弱抽象）、“強(qiáng)抽象”（即通過增加某些特征而形成的概念，如“兩條邊相等的三角形是等腰三角形”等）和“等置抽象”（即依據(jù)等價(jià)關(guān)系進(jìn)行抽象，如自然數(shù)的抽象等）。根據(jù)抽象的對(duì)象不同，可以分為“概念抽象”（如分?jǐn)?shù)概念、小數(shù)概念的抽象等）、規(guī)律抽象（如數(shù)的規(guī)律、形的規(guī)律、式的規(guī)律抽象等）、“關(guān)系抽象”（如長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、菱形等關(guān)系的抽象）和“思想方法的抽象”（如數(shù)的分與合的抽象等）。立足于學(xué)生的認(rèn)知視角，數(shù)學(xué)抽象可以分為三層：一是抓住事物的特征；二是抓住事物的本質(zhì)；三是抓住事物的關(guān)聯(lián)。

數(shù)學(xué)抽象可以幫助學(xué)生更好地體會(huì)知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也可以更好地幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還可以更好地發(fā)展學(xué)生邏輯分析、判斷、推理和概括的能力。一般的，如果一個(gè)人的數(shù)學(xué)抽象水平高，這個(gè)人的某些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、必備品格、思維水平就強(qiáng)。相應(yīng)的，這個(gè)人也應(yīng)該具備良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、如何進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象

小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以直觀動(dòng)作思維和具體形象思維為主。如何引導(dǎo)學(xué)生的直觀動(dòng)作、具體形象思維向抽象思維發(fā)展并不是一蹴而就的。教學(xué)中，教師要遵循學(xué)生的心理發(fā)展規(guī)律，認(rèn)識(shí)規(guī)律，逐步引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)出發(fā)，讓學(xué)生充分經(jīng)歷具象操作、直觀感知、表象積累，逐步發(fā)展抽象思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1. 依托直觀操作，建構(gòu)抽象算法

小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的思維在某種意義上是直觀動(dòng)作思維。直觀動(dòng)作、直觀操作是學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念形成過程的重要方式。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)物、學(xué)具、圖形等進(jìn)行操作實(shí)踐，豐富學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)。瑞士著名結(jié)構(gòu)主義哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為，“動(dòng)作是智慧的根源，切斷動(dòng)作，兒童的思維就無從談起”。當(dāng)然，數(shù)學(xué)的操作不是一種機(jī)械的操作，而應(yīng)該是融通兒童思維的操作，亦即兒童的“具身認(rèn)知”。所謂“具身認(rèn)知”，即借助兒童多樣化感官的認(rèn)知。

【案例1】 《十幾減9》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)）教學(xué)片段

在引導(dǎo)學(xué)生讀懂題意，提出了有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，學(xué)生自主列出算式后，教師引導(dǎo)學(xué)生借助小棒等材料探索“13-9”的算法。

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出13根小棒。

（于是，學(xué)生拿出了一捆小棒和3根小棒）

師：怎樣從這么多小棒中拿出9根小棒呢？

（學(xué)生小組合作拿小棒）

生1：我們組認(rèn)為，用3根小棒減去9根小棒不好減，于是我們組將一捆小棒拆開，從10根小棒中拿出9根小棒，還剩1根小棒，再將這1根小棒和原來的3根小棒合起來，一共還有4根小棒。

師：你能將你們組分小棒的過程用算式表示出來嗎？

生1：10-9=1，1+3=4。

生2：我們組是這樣操作的，由于用3根小棒減去9根小棒不夠，所以我們組先減去9根小棒中的3根，再從一捆小棒中減去6根，還有4根小棒。用算式表示是：13-3=10根，10-6=4根。

生3：我們組是這樣操作的，從13根小棒中拿走9根小棒，相當(dāng)于從14根小棒中拿走1捆小棒，還有4根小棒。用算式表示是：14-10=4根。

……

教學(xué)中，教師將學(xué)生的操作與學(xué)生的算理理解、算式表達(dá)緊密聯(lián)系在一起。學(xué)生借助直觀操作，獲得了“破十法”“平十法”“湊十法”等算法的深刻動(dòng)作感受、體驗(yàn)。學(xué)生的抽象思維逐漸萌芽，實(shí)現(xiàn)了對(duì)抽象算法的意義建構(gòu)。

2. 借助幾何直觀，建構(gòu)抽象概念

數(shù)學(xué)的抽象性與學(xué)生的形象思維本身就是一對(duì)客觀存在的現(xiàn)實(shí)矛盾。如何有效地化解這一對(duì)矛盾？筆者認(rèn)為，最為有效的方法就是教學(xué)中教師要依托直觀形象，加強(qiáng)學(xué)生的直觀理解。通過直觀理解，引導(dǎo)學(xué)生理解概念的本質(zhì)內(nèi)涵。要根據(jù)學(xué)生的思維發(fā)展水平，分析概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在概念的本質(zhì)處借助幾何直觀，建構(gòu)抽象概念。endprint

【案例2】 《倒數(shù)的認(rèn)識(shí)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)）教學(xué)片段

認(rèn)識(shí)倒數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法的基礎(chǔ)。倒數(shù)的本質(zhì)是什么？筆者在聽課中發(fā)現(xiàn)有教師用漢字的顛倒如“吞”與“吳”，有教師用句子的顛倒如“上海自來水來自海上”等導(dǎo)入新課。顯而易見，這些看似新穎的導(dǎo)入方式其實(shí)都是對(duì)“倒數(shù)”本質(zhì)意義的錯(cuò)誤理解。倒數(shù)并不是“倒過來的數(shù)”，倒數(shù)的本質(zhì)是“乘積為1”。筆者在教學(xué)中借助幾何直觀，讓學(xué)生較好地建構(gòu)了“倒數(shù)”概念。

教師出示長(zhǎng)為1、寬為1，長(zhǎng)為2、寬為，長(zhǎng)為3、寬為等的長(zhǎng)方形。

師：這兒有一些長(zhǎng)方形，請(qǐng)你觀察這些長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，說出它們之間的關(guān)系。

生1：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)越長(zhǎng)，寬越短。

生2：我發(fā)現(xiàn)所有的長(zhǎng)方形面積都相等，而且都等于1。

生3：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)都是整數(shù)，寬都是分?jǐn)?shù)單位。

……

師：像上圖這樣，乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。你能夠求出任何一個(gè)數(shù)的倒數(shù)嗎？

生4：根據(jù)“乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)”，我想，求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)我們可以用1除以這個(gè)數(shù)。

……

上述教學(xué)，筆者從倒數(shù)本質(zhì)出發(fā)，借助圖形讓學(xué)生理解“乘積為1”的含義。學(xué)生直觀地看到，一個(gè)數(shù)越大，它的倒數(shù)就越??；一個(gè)數(shù)越小，它的倒數(shù)就越大。他們深刻感受并體會(huì)到互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)之間的相互依存關(guān)系。此外，從長(zhǎng)與寬的動(dòng)態(tài)變化中，學(xué)生還能夠在心中種下反比例關(guān)系的量的種子。

3. 豐富表象積累，建構(gòu)抽象規(guī)律

所謂表象，是指學(xué)生頭腦中的形象。表象是從直觀形象到抽象的過渡，是從具體感知到邏輯思維的橋梁。事實(shí)上，表象應(yīng)該是一個(gè)“半抽象”的東西，是學(xué)生多次、反復(fù)地對(duì)形象進(jìn)行加工、概括和提升的產(chǎn)物。教學(xué)中，教師要豐富學(xué)生的表象積累，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)抽象規(guī)律。

【案例3】《有余數(shù)的除法》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)下冊(cè)）教學(xué)片段

師（點(diǎn)擊課件）：把7個(gè)桃子平均分給3個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得多少個(gè)，還剩多少個(gè)？

生1：7÷3=2（個(gè)）……2（個(gè)）。

師（點(diǎn)擊課件）：把17朵花平均放在5個(gè)花瓶中，每個(gè)花瓶插幾朵，還剩幾朵？

生2：17÷5=3（朵）……2（朵）。

師（點(diǎn)擊課件）：從圖書室借來20本書，平均分給一個(gè)小組中的6個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生分得多少本書，還剩多少本書？

生3：20÷6=3（本）……2（本）。

……

經(jīng)過多次的平均分，學(xué)生逐步感悟出這樣的規(guī)律，即每次平均分后，余下的數(shù)都比除數(shù)要小。如果余下的數(shù)比除數(shù)大，就要繼續(xù)平均分。學(xué)生經(jīng)歷了算理和算法抽象的過程，從實(shí)物分配到列除法算式，再從具體的算式到概括抽象出余數(shù)與除數(shù)間的關(guān)系，學(xué)生從個(gè)別到一般、從感性到理性，將余數(shù)知識(shí)抽象到普適化規(guī)律層面，即除數(shù)一般要大于余數(shù)，被除數(shù)等于商乘除數(shù)加余數(shù)。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象，教師要把握好尺度，不能操之過急，而應(yīng)螺旋上升，讓學(xué)生獲得充分的感性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，完整經(jīng)歷從直觀操作、直觀形象、直觀表象到抽象概括的過程。在這個(gè)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生邁過抽象概括過程中的一道道“坎”，讓學(xué)生慢慢感悟數(shù)學(xué)的思想方法，逐步將學(xué)生從初級(jí)的經(jīng)驗(yàn)水平提升為高級(jí)的抽象水平，這是數(shù)學(xué)教育的應(yīng)有之義和責(zé)任擔(dān)當(dāng)。endprint