肖進勝，蔡紅濤，許賢澤，張燕革，周 晨

（武漢大學電子信息學院，湖北 武漢 430072）

案例驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學探索

肖進勝，蔡紅濤，許賢澤，張燕革，周 晨

（武漢大學電子信息學院，湖北 武漢 430072）

針對工程隨機數(shù)學課程在電子信息類專業(yè)的教學實際，探討增加課程吸引力，激發(fā)學生的學習熱情、提高學生的學習效率的方法。提出將科研項目案例引入工程隨機數(shù)學課程教學，包括科研項目案例應(yīng)用于教學的一般過程、實施中可能存在的問題以及對應(yīng)的解決方案。探討幫助學生理解、掌握和應(yīng)用相關(guān)知識點的方法，培養(yǎng)學生理解、思考和解決工程科技案例的能力。通過案例驅(qū)動教學來提高學生學習的積極性和主觀能動性，并對電子信息類專業(yè)的后續(xù)的相關(guān)專業(yè)課程學習有初步認識。

案例驅(qū)動；電子信息；工程隨機數(shù)學；課堂教學

0 引言

“工程隨機數(shù)學”一般稱為”概率論與數(shù)理統(tǒng)計”，是面向大專院校工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)必修課程。對于電子信息類本科生來說，更有特殊的意義。其內(nèi)容結(jié)構(gòu)包含概率論基礎(chǔ)知識、數(shù)理統(tǒng)計概念，以及隨機過程三個部分[1]。他是為電子信息類專業(yè)本科生學習隨機數(shù)學的基本理論和基本方法，并應(yīng)用于信息科學技術(shù)的工程實際中。由于該課程是一門數(shù)學類的基礎(chǔ)課程，多數(shù)學校由數(shù)學系老師講授，數(shù)學味偏濃。相對于電子信息類的其他專業(yè)課程，本課程很難調(diào)動學生的積極性，不容易激發(fā)起學生的興趣和對專業(yè)熱愛。與后續(xù)信息領(lǐng)域?qū)I(yè)課程聯(lián)系不緊密，學生的學習效果差，進一步影響著學生后續(xù)信息領(lǐng)域?qū)I(yè)課程的學習。

工程隨機數(shù)學的課程教學目標是：循序漸進的講述工程隨機數(shù)學的基本概念和理論方法；充分激勵學生學習的自覺性、參與性和主觀能動性，掌握必備的隨機數(shù)學知識，為后續(xù)專業(yè)課程的學習打下堅實的數(shù)理基礎(chǔ)。為了實現(xiàn)這一目標，如果能將動手實踐、問題分析與合作交流相結(jié)合，即分析解決本領(lǐng)域相關(guān)科研問題的過程中學習[2]，就能充分引導(dǎo)學生對本課程的認識。采用類似于問題驅(qū)動學習[3]，任務(wù)驅(qū)動教學[4]及案例驅(qū)動教學[5,6]等方法的基本思想，將學生的課程學習活動與實際的工程科研案例相結(jié)合，通過實施一個電子信息類圖像處理算法案例而展開教學活動，通過探究案例問題來提高學生的興趣并傳授知識點?？蒲许椖堪咐?qū)動教學有一定的適用范圍，教師要有一定的專業(yè)科研背景；案例要有一定的代表性，要能激發(fā)學生共鳴；案例內(nèi)容與課程知識點要有比較直接的關(guān)系；同時需要與學生的專業(yè)基礎(chǔ)和知識儲備相匹配。電子信息大類專業(yè)有豐富的信號處理，圖像處理，通信網(wǎng)絡(luò)等科研案例，應(yīng)用廣、直觀可見，能夠較好的滿足科研項目案例驅(qū)動教學的要求。本課程和專業(yè)適合科研項目案例驅(qū)動教學，能夠贏得學生青睞。

1 案例驅(qū)動教學的一般流程

由于本課程的一些理論知識和原理工具將來會用于信號處理與通信網(wǎng)絡(luò)相關(guān)專業(yè)課程。一般采用軟件算法項目來驅(qū)動教學過程。傳統(tǒng)軟件工程項目的實施過程是：明確項目背景和目標，進行理論分析，算法架構(gòu)設(shè)計、代碼開發(fā)、測試優(yōu)化、維護等。結(jié)合工程隨機數(shù)學的課程特點和本專業(yè)大類學生培養(yǎng)的特點，我們設(shè)計了一項課程項目——基于高斯背景模型的目標檢測算法的設(shè)計，讓學生由淺入深地了解工程隨機數(shù)學知識是如何應(yīng)用于圖像處理應(yīng)用。包括香農(nóng)信息理論，高斯背景模型的原理，了解正態(tài)分布、圖像的均值和方差的計算、統(tǒng)計分布、參數(shù)估計等內(nèi)容。整個案例驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學框架如圖1所示。

圖1 案例驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學框架Fig.1 Teaching framework of case-driven engineering stochastic mathematics

在此項目驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學過程中，教師會循序漸進地向?qū)W生介紹相關(guān)知識點和研究成果。學生也有強烈的欲望來掌握這些知識，并應(yīng)用到實際的圖像處理算法的開發(fā)中。具體的描述以及結(jié)合工程隨機數(shù)學課程特點的實例如下。

（1）項目的背景描述。

這里向?qū)W生介紹必要的圖像處理基礎(chǔ)知識，視頻運動目標檢測的應(yīng)用背景和意義等內(nèi)容。主要是提出問題，描述問題的背景和應(yīng)用場景，介紹數(shù)字圖像的定義等基礎(chǔ)知識，通過吸引學生的關(guān)注度，來引起學生思考。

運動目標檢測是為了尋找存在運動的區(qū)域(如車輛、行人等)，檢測的結(jié)果可以為后續(xù)的目標識別與跟蹤、行為理解與分析等智能監(jiān)控任務(wù)提供感興趣區(qū)域；為下一步的視頻理解和分析提供可靠的數(shù)據(jù)。

（2）項目的理論可行性分析。

這個階段描述視頻圖像的運動對象檢測的基本背景知識內(nèi)容。明確如何將一個圖像處理問題進行分解、用已有的知識或查一些資料進行解決，分析其所用的理論工具和理論上的可行性。

就算待拍攝的場景是一成不變的，采集到的視頻中每個位置的像素亮度值，由于受噪聲干擾會有變化。我們可以利用高斯分布（正態(tài)分布）函數(shù)來描述圖像中每個位置的像素值的變化情況，每個位置像素點的高斯分布（正態(tài)分布）即為該點的背景模型。若圖像中被檢測幀的像素值以較大概率出現(xiàn)在其高斯背景模型中，即認為該位置屬于背景，否則屬于運動對象。

（3）項目的算法架構(gòu)和合理性分析。

介紹運動目標檢測的基本假設(shè)、基本模型、一些圖像元素（像素坐標，圖像亮度）和具體數(shù)學模型參數(shù)的對應(yīng)。這里需要較好的將項目的物理背景和數(shù)學模型解釋清楚，將科研問題抽象轉(zhuǎn)化為工程隨機數(shù)學課程中的一些基本概念和方法，促進學生理解項目原理和課程知識點的關(guān)系。

單高斯背景模型的基本思想[7]是：利用正態(tài)分布函數(shù)為圖像中i處的像素點 xi建模。模型中每個像素點是相互獨立的，并分別服從均值為μi、方差為的高斯分布。這個案例充分結(jié)合了工程隨機數(shù)學中的有關(guān)知識點，用到了均值、方差、正態(tài)分布的概念，還用到了參數(shù)估計的思想。

（4）確定算法的步驟和基本流程。

單高斯背景建模的基本流程[8]如下：

1. 初始背景模型。為圖像每個位置賦予一個初始的高斯分布?？梢岳靡欢螘r間內(nèi)同一像素點處的平均像素值作為其均值，其方差一般可設(shè)為一個相對較大的值。

2. 更新背景模型。更新圖像中各個位置的高斯模型參數(shù)。設(shè)xi,t，μi,t和分別為t時刻圖像中位置i處的像素值、模型的均值和方差，ρ為模型的系數(shù)。模型的均值更新如下：

模型的方差更新如下：模型的系數(shù)ρ更新如下：

3. 對每一幀圖像依據(jù)進行背景模型的更新，通過不斷的更新操作得到較準確的背景圖像。

（5）算法的實驗及效果分析。

用VS2010+Opencv 2.4中關(guān)于高斯背景建模的例子。通過簡單的講解，用一個簡單的例子能夠運行得到下面結(jié)果。

圖2 高斯背景建模實驗效果Fig.2 Experiment results of gaussian background modeling

由結(jié)果視頻，可以明顯看出二值化圖片中人的形成和背景的生成過程。當然可以讓學生自己發(fā)現(xiàn)和完善模型中的問題，通過自己對均值和方差等概念的理解，探索完善模型的方法。單高斯背景模型假定背景中每個像素值的變化情況可用單個高斯函數(shù)進行描述，并采用在線更新機制來適應(yīng)背景的緩慢變化。但大多應(yīng)用系統(tǒng)所面臨的實際場景復(fù)雜且多變，背景中?？赡馨▌拥乃?、音樂噴泉、隨風擺動的樹木和旗幟等時刻動態(tài)變化的物體，此類存在擾動的背景也被稱為動態(tài)背景或者多模態(tài)背景。由于單高斯模型只能描述背景的某一個確定狀態(tài)，在這種情況下，上述背景中的水面、噴泉、樹木和旗幟等都將被檢測為前景目標，從而造成大量的誤檢和虛警。

2 基于案例驅(qū)動教學的相關(guān)問題分析

按照前面的介紹，項目驅(qū)動教學貫穿整個工程隨機數(shù)學課程的始終，實施周期很長，涉及內(nèi)容很多。由于課堂上學生較多，并且學生能力參差不齊，項目驅(qū)動教學活動不免會出現(xiàn)一些問題。這里我們將仔細討論這些問題，并給出解決方案。

2.1 存在的問題

我們把選課學生劃分成若干個小組，每組 3～5人，任務(wù)是實現(xiàn)一個基于背景建模的視頻目標檢測算法。考慮到一般高校本課程是在大二開設(shè)，而在大一都已經(jīng)學習了 c，matlab等編程工具，因此讓學生分組進行小算法實現(xiàn)是可行的[9]。根據(jù)工程隨機數(shù)學課程教學中的實施經(jīng)驗，案例驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學活動會出現(xiàn)如下問題：

（1）小組缺乏明確的實施計劃和職責分工。因為缺乏相關(guān)基礎(chǔ)知識和算法開發(fā)經(jīng)驗，各小組的成員并不清楚如何進行準確的問題建模，導(dǎo)致進展緩慢。沒有明確的實施計劃和職責分工，缺乏統(tǒng)籌安排，不知所措。大家都想做容易實現(xiàn)的部分，而有難度的部分，沒有人愿意涉及。另外，在組織課堂討論時，小組成員發(fā)言很熱烈，但他們所討論的問題比較發(fā)散，不能直擊問題本質(zhì)和要害。小組成員在實施時，推進的力度不足，研究的深度不夠。

（2）項目組成員間缺乏組織和團隊合作意識。項目組成員成績和學習能力有差別，對課堂知識的理解和吸收能力有差異。大部分同學無法準確理解老師介紹的內(nèi)容，不能將所學知識和算法問題結(jié)合起來。許多的小組實際上只有少數(shù)學生在思考解決問題，而其他組員很少參與問題的討論。其他的同學也很難從項目中得到鍛煉和提高。

（3）項目成果缺乏規(guī)范的考評制度。由于是組團作戰(zhàn)，不同于一般的考評，需要設(shè)計合理的考評制度。比如，如何評價項目實施的效果？項目組得分如何對應(yīng)到每一個小組成員？這些問題通常缺乏規(guī)范的量化指標，實際操作的時候靈活性很大。有時幾個小組得到的結(jié)果相同，但是實現(xiàn)的方式卻有很大差異。有的小組是分工合理，大家都發(fā)揮作用；有的小組卻只是其中個別能力較強的同學完成了所有任務(wù)；有的小組可能只是照抄網(wǎng)上下載的算法，而沒有自己的思考。因而，需要對項目驅(qū)動教學產(chǎn)生的影響進行系統(tǒng)的分析和實際的驗證，使這一教學方式更加規(guī)范。能夠在使更多的同學得到鍛煉的同時，更加鞏固自己學習的課堂知識，并且對本專業(yè)的學習更加感興趣。

2.2 對應(yīng)的解決方案

為了解決上面可能會普遍碰到的問題，通過思考和實踐教學試用驗證，我們嘗試了如下解決方案，并有一定的效果。

首先，教師要認真精心的設(shè)計教學案例，這是案例驅(qū)動教學的前提。案例內(nèi)容應(yīng)緊密圍繞教學內(nèi)容和知識點，使小組討論有針對性、有價值。另外，老師須有一定的專業(yè)背景。作者單位這門課是選擇本專業(yè)有豐富項目科研經(jīng)驗的老師講授，而不少高校這門課是由數(shù)學公共課老師講授，這樣兩者實施的效果是不一樣的。老師需要將項目算法的應(yīng)用背景，項目的算法基本原理有針對性的介紹和提示[10]。讓學生能理會需要用什么樣的知識點來解決該類問題。案例的實施要由淺入深、逐步過渡，這樣學生有一個適應(yīng)的過程。

例如，工程隨機數(shù)學課程更強調(diào)學生對相關(guān)理論和知識點的理解和掌握，比較枯燥，因此項目內(nèi)容通常會安排學生比較感興趣的圖像處理技術(shù)。可以結(jié)合專業(yè)應(yīng)用實際考慮實現(xiàn)背景建模、目標檢測、圖像增強等算法。這些算法相對成熟，相關(guān)資料比較齊全，學習入門門檻低，開發(fā)環(huán)境和工具也比較容易上手。關(guān)鍵是這些圖像處理類算法，結(jié)果直觀、視覺效果好。學生很容易提起興趣，并有成就感。學生根據(jù)自己已有的專業(yè)知識，選擇自己相對熟悉或者有興趣的內(nèi)容進行研究和探討，可以使各項目組的工作順利開展下去。

其次，學生在組合成項目小組時需要優(yōu)化組合、合理分工，這是項目驅(qū)動教學成功的關(guān)鍵。在組建小組時，應(yīng)考慮到學生的能力和性格等進行合理搭配，使各組間實力均衡。由于一般男生偏愛動手編程，女生大多偏愛查閱學習資料，因此項目組通常還需要考慮男女搭配。通常以 3～5人為一組，由 1人任組長，大家各有分工，并有一定的任務(wù)重疊。這樣可以做到使每個學生都能參與思考，發(fā)揮作用。同時個別同學出現(xiàn)拖后腿情況時，有其他同學幫忙思考，解決問題。另外，學生要增強合作意識，應(yīng)讓每個小組成員描述自己在小組討論中的作用和感受。

在項目驅(qū)動教學實踐中，我們一般是先讓學生自己自由組合，然后老師再根據(jù)人數(shù)和人員情況進行適當?shù)奈⒄{(diào)，使各組人員盡量分配合理，各組整體實力相仿。組內(nèi)成員的任務(wù)劃分也讓學生自行確定，老師再根據(jù)實際情況加以指導(dǎo)。在匯報研究內(nèi)容時，老師可以考慮成員承擔任務(wù)分工的不同而詢問不同的問題，使組內(nèi)的每一位成員都有機會回答問題。組內(nèi)各成員的分工、實際發(fā)揮的作用、各人的收獲立刻能反映出來。為了完成任務(wù)，項目組成員的合作是必需的，從討論內(nèi)容的確定到資料的搜集，從相關(guān)技術(shù)的實現(xiàn)到最終的演講和展示，都需要組內(nèi)成員的共同參與。

最后，案例驅(qū)動教學的考評方法要合理規(guī)范，這是教學模式成功的保障。必須考慮到項目驅(qū)動教學考評和課程期末考試之間的關(guān)系。案例驅(qū)動教學的目的是為了激發(fā)學生的主觀能動性，讓學生熱愛學習本課程的相關(guān)知識，更深刻地記憶和理解相應(yīng)的知識點。這種學習方式能達到的效果需要規(guī)范地加以考評，以真實反映各個學生的學習能力和學習效果。只有合理規(guī)范并且相對公平公正的考評才能激發(fā)大家參與和學習的積極性。

3 結(jié)語

通常情況下工程隨機數(shù)學課程教學是一對多的講述，這里變成借鑒項目工程實踐和合作學習的教學組織形式。通過案例驅(qū)動工程隨機數(shù)學教學的精心組織和安排，能使不同學習程度的學生在項目組中既有分工又有合作，互幫互助，實現(xiàn)共同學習進步。該方法同時也鍛煉了學生理論結(jié)合實際，分析問題、解決問題的動手能力。該方法能夠讓學生提前感受到自己所學知識的巨大威力和美學效果，激發(fā)學生的學習熱情和對專業(yè)的熱愛。案例驅(qū)動工程隨機數(shù)學課程教學方式的應(yīng)用是非常有效的。并且根據(jù)專業(yè)的不同，也可以在其他專業(yè)設(shè)計類似的項目驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學探索。

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The Exploration of Case-driven Teaching in Engineering Stochastic Mathematics Course

XIAO Jins-heng, CAI Hong-tao, XU Xian-ze, ZHANG Yan-ge, ZHOU Chen
(School of Electronic Information, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Aiming at the teaching practice of engineering stochastic mathematics course in electronic information specialty, this paper discusses how to increase the attractiveness of curriculum, stimulate learning enthusiasm and improve learning efficiency. This paper proposes to introduce the case of scientific research project into the teaching of engineering stochastic mathematics. It includes the general process of scientific research project application, the possible problems in the implementation and the corresponding solutions. This article explores ways that help students understand, master and apply relevant knowledge. It develops the ability of students to understand, think and solve engineering and technical cases. It explores the enthusiasm and subjective initiative of students through case-driven teaching. It has a preliminary understanding of the follow-up courses of electronic information specialty.

Case-driven; Electronic information; Engineering stochastic mathematics; Classroom teaching

TP391. 41

A

10.3969/j.issn.1003-6970.2017.12.001

本文著錄格式：肖進勝，蔡紅濤，許賢澤，等. 案例驅(qū)動的工程隨機數(shù)學課程教學探索[J]. 軟件，2017，38（12）：01-04

國家自然科學基金(61471272)；湖北省自然科學基金項目(2016CFB499)；武漢大學專題教學研究項目(2017JG104)

肖進勝(1975-)，男，副教授，主要研究方向：信息與通信工程；蔡紅濤(1977-)，男，教授，主要研究方向：空間探測與信息處理；許賢澤(1964-)，男，教授，主要研究方向：儀器科學與技術(shù)；張燕革(1966-)，男，副教授，主要研究方向：光學工程；周晨(1982-)，男，副教授，主要研究方向：空間探測與信息處理。