“數(shù)學(xué)是思維的體操”，它能開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，有助于學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)創(chuàng)造。

知識(shí)是思維的載體，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的是為了促進(jìn)智慧的生長(zhǎng)。鄭毓信教授曾強(qiáng)調(diào)：分?jǐn)?shù)是數(shù)學(xué)思維真正進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)的地方。分?jǐn)?shù)也是一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出真正困難的實(shí)際起點(diǎn)。

一、為什么困難

分?jǐn)?shù)是學(xué)生數(shù)的概念的第一次擴(kuò)展。在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)之前，學(xué)生認(rèn)識(shí)的數(shù)都是萬(wàn)以內(nèi)的整數(shù)，比如：0、1、2、3、4……

數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于實(shí)際生活的需要。朱國(guó)榮老師認(rèn)為，在分?jǐn)?shù)意義拓展時(shí)，分?jǐn)?shù)被用來(lái)表示一個(gè)量與另一個(gè)量的比的關(guān)系。比如，把一堆蘋果平均分成兩份，其中的一份是蘋果總數(shù)的。蘋果總數(shù)的可能是1個(gè)，也可能是2個(gè)、3個(gè)……，當(dāng)蘋果總數(shù)是1個(gè)時(shí)，蘋果總數(shù)的就是個(gè)。這個(gè)不再具體表示數(shù)量的多少，而表示部分和整體數(shù)量之間的關(guān)系。和學(xué)生認(rèn)識(shí)自然數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和過(guò)程不相一致，不符合學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的邏輯順序。這也是學(xué)生在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)普遍感到模糊、困難的根源。

二、困難在哪里

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的分?jǐn)?shù)教學(xué)，感觸頗深。蘇教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》“分?jǐn)?shù)”這部分知識(shí)分四次教學(xué)，安排如下：

三年級(jí)上冊(cè)第七單元“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”，認(rèn)識(shí)一個(gè)物體（或圖形）的幾分之一（幾分之幾），同分母分?jǐn)?shù)的大小比較，同分母分?jǐn)?shù)的加、減法。

三年級(jí)下冊(cè)第七單元“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”，進(jìn)一步豐富對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，把幾個(gè)物體組成整體，認(rèn)識(shí)整體的幾分之一（幾），求整體的幾分之一（幾）是多少。

五年級(jí)下冊(cè)第四單元“分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)”，教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)，把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，約分通分。

六年級(jí)上冊(cè)第二單元“分?jǐn)?shù)乘法”，分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的實(shí)際問(wèn)題，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)連乘及其實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)識(shí)倒數(shù)。

六年級(jí)上冊(cè)第三單元“分?jǐn)?shù)除法”，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)除法實(shí)際問(wèn)題，分?jǐn)?shù)連除和乘除混合運(yùn)算。

六年級(jí)上冊(cè)第五單元“分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算”，分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題。

經(jīng)過(guò)梳理教材，有兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在學(xué)生的思維的提升方面起著至關(guān)重要的作用，可謂是兩次飛躍。

（一）第一次飛躍——分?jǐn)?shù)的意義

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)，首次感受到一個(gè)數(shù)不再單純的表示量，它是從感性走向理性的開(kāi)始。分?jǐn)?shù)的意義，在分?jǐn)?shù)這部分知識(shí)中起引領(lǐng)作用，不論是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分?jǐn)?shù)大小的比較，約分、通分及四則計(jì)算，分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題都建立在分?jǐn)?shù)意義之上。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，分?jǐn)?shù)的引入是為了解決在整數(shù)集合里除法不是總能實(shí)施的矛盾。因此， 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到將一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位、一些物體作為整體平均分，抽象出單位“1”，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握分?jǐn)?shù)的概念，分?jǐn)?shù)中的其它知識(shí)也會(huì)迎刃而解。

（二）第二次飛躍——分?jǐn)?shù)乘法

分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法的推導(dǎo)和有關(guān)分?jǐn)?shù)乘法的實(shí)際問(wèn)題的解決，為學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)作為分率的理解提供了機(jī)會(huì)。從中可以認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)不僅可以表示一個(gè)具體的量，還可以表示部分與整體之間的關(guān)系。學(xué)生從具體的數(shù)的世界轉(zhuǎn)入到抽象的數(shù)的世界，認(rèn)知上的一次跳躍，又是一次理性的提升。

三、如何突破困難

（一）讓數(shù)學(xué)思維在“說(shuō)”中漸入佳境

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的工具，是數(shù)學(xué)思維的外殼。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò)：“一個(gè)人智力的發(fā)展和形成概念的方法，在很大程度上取決于語(yǔ)言?！毙W(xué)生語(yǔ)言區(qū)域狹窄，更缺乏數(shù)學(xué)語(yǔ)言。實(shí)踐證明：語(yǔ)言能力提高了，思維能力也得到很好的發(fā)展。因此，在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，發(fā)展學(xué)生的思維，就要加強(qiáng)說(shuō)理訓(xùn)練。

1.引導(dǎo)模仿，仿照著說(shuō)

模仿是提供一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的范式，讓學(xué)生仿照著范式思考，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。在進(jìn)行分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題教學(xué)中，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)題中的關(guān)鍵句、單位“1”和數(shù)量關(guān)系，而題中的關(guān)鍵句的呈現(xiàn)形式各不相同。如：“十月份用水量比九月份節(jié)約”“其中是第一天用的”“ 一袋米吃了”等等。在理解這些句子中分?jǐn)?shù)意義時(shí)，可以讓學(xué)生試著這樣說(shuō)：把哪個(gè)量看作單位“1”？誰(shuí)的幾分之幾是多少？數(shù)量關(guān)系式是什么？通過(guò)多次訓(xùn)練，學(xué)生不僅掌握了分析數(shù)量關(guān)系的方法，而且從兒童的自然語(yǔ)言，逐步過(guò)渡到規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，提高了學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，也促進(jìn)了學(xué)生思維能力的提高。

2.引導(dǎo)聯(lián)想，變著法說(shuō)

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，通過(guò)一個(gè)條件（關(guān)系）推出與其相關(guān)的條件（關(guān)系），培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。在解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題系時(shí)，關(guān)鍵句不僅可以表述成分?jǐn)?shù)的形式，還可以表述成其他形式。如：根據(jù)“鹽是鹽水的”，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想：水是鹽水的，鹽是水的，鹽比水少，鹽與鹽水的比是（ ）：（ ），鹽與水的比是（ ）：（ ），水是鹽的（ ）倍等等。

在教學(xué)中，教師創(chuàng)造數(shù)學(xué)語(yǔ)言訓(xùn)練的機(jī)會(huì)，循循善誘，讓學(xué)生在“說(shuō)”中“思”，在“思”中“說(shuō)”，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)自己見(jiàn)解的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生敢“想”，敢“說(shuō)”，敢“與眾不同”，對(duì)提高學(xué)生的求異思維起到事半功倍的效果。

3.引導(dǎo)反思，有條理地說(shuō)

由于學(xué)生自我意識(shí)的發(fā)展還不成熟，對(duì)自己的思維破綻、錯(cuò)誤不易注意。當(dāng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容有了較全面的理解和掌握時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生反思，讓學(xué)生說(shuō)解題思路、解題步驟。在說(shuō)的過(guò)程中，不斷調(diào)整自己的思維，試著自我總結(jié)，自我評(píng)價(jià)，提煉思想方法并形成解題策略。因此，在解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生“自我反省”的習(xí)慣，有條理的表述思維過(guò)程。

4.引導(dǎo)比較，自由地說(shuō)

在分?jǐn)?shù)教學(xué)中，有很多具體內(nèi)容不同，但有著相似結(jié)構(gòu)的實(shí)際問(wèn)題，教師可以創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生仔細(xì)觀察，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，比較其相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，自由的發(fā)表自己的見(jiàn)解，從聯(lián)系中探索內(nèi)在規(guī)律，這樣，不同于單純的就題講題，還可以形成“自由辯論”的學(xué)風(fēng)。

如：梨有60千克， 。蘋果有多少千克？

（6）60÷（1 + ）

通過(guò)各抒己見(jiàn)，探索結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，把相同的思考過(guò)程提煉出來(lái)，進(jìn)一步抽象化、符號(hào)化。這樣，在面對(duì)新的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，就能把已有的方法和策略，類推到新的情境中，迅速找到解決問(wèn)題的方法。通過(guò)這樣的練習(xí)，可以豐富學(xué)生的聯(lián)想，增強(qiáng)思維活力，提高思維敏捷性。

（二）讓數(shù)學(xué)思維在“圖”中越飛越高

運(yùn)用線段圖解決問(wèn)題是一種數(shù)學(xué)技能。圍繞“解決分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題”對(duì)我校六年級(jí)學(xué)生做了調(diào)查問(wèn)卷。情況如下：

我們總想學(xué)生把線段圖當(dāng)做一種解題的策略，信手拈來(lái)。從上面的數(shù)據(jù)可以看出，對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，成人看似簡(jiǎn)單的線段圖，學(xué)生理解有一定的困難。

1.在具體情境中理解分?jǐn)?shù)的意義

如：明明家有鵝4只，是雞只數(shù)的，有幾只雞？

“鵝是雞只數(shù)的”中表示：1只鵝對(duì)應(yīng)3只雞，2只鵝對(duì)應(yīng)6只雞，以此類推，4只鵝對(duì)應(yīng)12只雞。

理解的意義是一個(gè)破題的過(guò)程，清楚的破題，就自然而然地得到了解題的思路。因此，在解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)重視破題這個(gè)環(huán)節(jié)。

2.由“文”到“圖”

從兒童視角出發(fā)，將數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程、方法和結(jié)果用圖像進(jìn)行表征，勾勒出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)屬性。借助于學(xué)生能見(jiàn)到的或想到的幾何圖形、線段圖等，對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知，幫助學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系：哪個(gè)量作為單位“1”，哪部分是單位“1”的幾分之幾，抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。

3.圖式結(jié)合，強(qiáng)化訓(xùn)練

教材中提供現(xiàn)成的線段圖，幫助學(xué)生理解題意，但學(xué)生并不理解畫線段圖的過(guò)程。教學(xué)中讓學(xué)生自己試著畫，還原圖形，然后與教材中的圖對(duì)照，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤及時(shí)糾正。學(xué)生會(huì)畫線段圖不是一朝一夕能解決的問(wèn)題，教師還應(yīng)多鼓勵(lì)。

用線段圖來(lái)表征數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生輕松的解答復(fù)雜關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，既培養(yǎng)了學(xué)生的能力，又促進(jìn)了學(xué)生思維的發(fā)展。因此畫線段這樣的圖式意識(shí)是一種重要數(shù)學(xué)觀念，會(huì)用圖式表征是關(guān)鍵數(shù)學(xué)能力，圖式思維更是必備學(xué)習(xí)品質(zhì)。

（作者單位：江蘇省南京市溧水區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) ）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）