許小奎 郭寶峰 金 淼

燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

基于對(duì)比度增強(qiáng)抑制灰度的改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法

許小奎 郭寶峰 金 淼

燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

為了抑制變密度法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中的灰度單元，基于對(duì)比度增強(qiáng)策略，提出了兩種形式的對(duì)比度增強(qiáng)算子，引入到優(yōu)化準(zhǔn)則法迭代計(jì)算中，對(duì)優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行了改進(jìn)。對(duì)比度增強(qiáng)算子能夠拉大單元灰度差別，驅(qū)動(dòng)中間密度向兩極進(jìn)行分化，最終使優(yōu)化收斂于0/1材料分布狀態(tài)。采用典型數(shù)值算例對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果表明，該方法能夠得到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)清晰的優(yōu)化結(jié)果。

拓?fù)鋬?yōu)化；對(duì)比度增強(qiáng)；灰度單元；優(yōu)化準(zhǔn)則法

0 引言

在機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化為初期結(jié)構(gòu)的選型提供了一種高效的技術(shù)手段，能夠幫助設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)出創(chuàng)新型可靠產(chǎn)品。結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化主要研究結(jié)構(gòu)所用材料的最優(yōu)分布問題，是當(dāng)前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)領(lǐng)域中最具挑戰(zhàn)性和經(jīng)濟(jì)效益的研究方向之一。

在連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究中，變密度法[1]自被提出以來(lái)，因其求解效率高、易于實(shí)施等特點(diǎn)，得到了廣泛的應(yīng)用?；谟邢拊夹g(shù)的變密度法在求解結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題時(shí)，會(huì)不可避免地出現(xiàn)棋盤格問題[2]，為此，應(yīng)用變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化求解中大多采取了基于圖像處理的過(guò)濾技術(shù)[3-4]。過(guò)濾技術(shù)解決了棋盤格問題，但卻在結(jié)構(gòu)的邊緣區(qū)域又形成了灰度單元，使得結(jié)構(gòu)邊緣擴(kuò)散而不清晰，影響了結(jié)果的后續(xù)提取與加工，為直接工程化應(yīng)用帶來(lái)了困難。

為了解決灰度單元問題，研究人員提出了許多方法。早期一般采用簡(jiǎn)單后處理方法，如閾值控制法等，其結(jié)果一般不再滿足約束條件。密度過(guò)濾結(jié)合Heaviside函數(shù)的方法包括Heaviside過(guò)濾[5]、改進(jìn)Heaviside過(guò)濾[6]和體積保持的Heaviside過(guò)濾方法[7]，可以得到清晰的優(yōu)化結(jié)果，但其優(yōu)化需要較多的迭代步數(shù)，優(yōu)化效率較低?；谛螒B(tài)學(xué)的方法[6]同樣需要較多的迭代步數(shù)。BORRVALL等[8]采用增加約束的方法但會(huì)使優(yōu)化求解過(guò)程變得復(fù)雜。GROENWOLD等[9]對(duì)優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行了修改，將單元密度向單極進(jìn)行壓縮，實(shí)現(xiàn)了灰度單元的抑制。張志飛等[10]采用過(guò)濾與不過(guò)濾交替實(shí)施的優(yōu)化方法，但存在棋盤格再次出現(xiàn)的可能。陳垂福等[11]提出了一種變過(guò)濾半徑的敏度過(guò)濾方法，但失去了過(guò)濾半徑控制最小尺寸的特點(diǎn)。還有一些其他的方法，如非線性擴(kuò)散技術(shù)[12]、雙邊濾波方法[13]等，對(duì)過(guò)濾方法進(jìn)行了修改，但都需要經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定合適的調(diào)節(jié)參數(shù)，從而優(yōu)化得到理想的結(jié)果。

本文采用圖像處理中的對(duì)比度增強(qiáng)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)灰度單元的抑制。對(duì)比度增強(qiáng)技術(shù)主要是通過(guò)擴(kuò)大圖像灰度差別、增強(qiáng)灰度對(duì)比的方法，使圖像特征得到加強(qiáng)。本文構(gòu)造了兩種形式的對(duì)比度增強(qiáng)算子，將其引入到優(yōu)化準(zhǔn)則法(optimality criteria,OC)迭代計(jì)算中，使單元密度向兩極分化，以得到邊緣清晰的優(yōu)化結(jié)果。該方法不需要添加附加約束條件，僅對(duì)優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行了修改，實(shí)施過(guò)程簡(jiǎn)便。同時(shí)，借助OC法求解，使得優(yōu)化具有較高的求解效率。

1 連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 優(yōu)化模型

基于變密度法建立優(yōu)化模型，體積約束條件下求結(jié)構(gòu)最小柔度的優(yōu)化問題可以表示為

(1)

式中，ρ為相對(duì)密度(即設(shè)計(jì)變量)；C為結(jié)構(gòu)柔度；K和U分別為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣和總位移矩陣；ke和ue分別為單元?jiǎng)偠染仃嚭蛦卧灰凭仃?；ρe為單元相對(duì)密度；Ve為單元體積；V*為目標(biāo)體積；n為結(jié)構(gòu)中單元總數(shù)。

變密度法中對(duì)中間密度的材料屬性進(jìn)行了描述，本文采用改進(jìn)的SIMP(solid isotropic microstructures with penalization)對(duì)材料屬性進(jìn)行描述，單元的彈性模量表示為

(2)

式中，E0為實(shí)體單元的彈性模量；Emin為空洞單元的彈性模量，為了防止剛度矩陣奇異，通常設(shè)置為大于0的值；p為懲罰系數(shù)。

柔度和體積的敏度分別為

(3)

(4)

式中，ke0為單位彈性模量的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

1.2 基于OC法的問題求解

通過(guò)OC法進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，迭代公式可以表達(dá)為

(5)

(6)

式中，m和η分別為移動(dòng)極限和阻尼系數(shù)，是保證迭代穩(wěn)定和收斂的控制參數(shù)，本文中取m=0.2，η=0.5；λ為拉格朗日乘子，在每次迭代中根據(jù)體積約束條件采用二分法對(duì)其進(jìn)行求解。

直接采用式(5)進(jìn)行迭代求解，會(huì)出現(xiàn)棋盤格問題，需要進(jìn)行過(guò)濾處理。

1.3 過(guò)濾處理

過(guò)濾處理方法如圖1所示，對(duì)于任意單元e，以其中心為圓心，以半徑rmin作圓，圓形區(qū)域Ωe是單元e的過(guò)濾影響范圍。敏度的過(guò)濾處理表達(dá)式為

(7)

Hi=rmin-d(i,e)

(8)

i=1,2,…，Ne

其中，Ne為過(guò)濾范圍內(nèi)單元的數(shù)量；Hi為距離權(quán)重；d(i,e)為過(guò)濾范圍內(nèi)單元i和中心單元e的距離。為防止ρe為0時(shí)用作分母，ρe取為max(ρe,10-3)。

圖1 網(wǎng)格過(guò)濾示意圖Fig.1 The filtering scheme

將過(guò)濾之后的柔度敏度(式(7))替代迭代公式(式(5))中的柔度敏度，可以有效消除棋盤格問題，但由于過(guò)濾方法均化作用的影響，又使得結(jié)構(gòu)的邊緣區(qū)域出現(xiàn)大量灰度單元，邊緣擴(kuò)散而不清晰。圖2所示是應(yīng)用過(guò)濾處理的優(yōu)化結(jié)果，結(jié)構(gòu)邊緣模糊且呈現(xiàn)為斜坡型邊緣，其剖切平面如圖3a所示，而理想的結(jié)構(gòu)邊緣應(yīng)是階躍型邊緣(圖3b)。結(jié)構(gòu)邊緣的剖切平面是沿結(jié)構(gòu)邊緣的法向進(jìn)行剖切所得到的平面。過(guò)濾半徑rmin越大，優(yōu)化結(jié)果中的灰度單元就會(huì)越多，斜坡越緩。

圖2 過(guò)濾優(yōu)化結(jié)果Fig.2 The result with filtering treatment

(a)斜坡型邊緣 (b)階躍型邊緣圖3 結(jié)構(gòu)邊緣剖切平面圖Fig.3 The sectional drawing of structure edge

2 基于對(duì)比度增強(qiáng)的改進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則法

對(duì)比度增強(qiáng)是一種通過(guò)改變灰度值來(lái)改變圖元的對(duì)比度，從而改善圖像質(zhì)量的圖像處理方法。通常根據(jù)需求將原有的灰度值通過(guò)函數(shù)變換進(jìn)行重新映射，達(dá)到增強(qiáng)圖像特征的目的。

下面借助對(duì)比度增強(qiáng)方法，實(shí)現(xiàn)抑制拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中的灰度單元、增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的邊緣特征的目的，進(jìn)而得到理想階躍型的結(jié)構(gòu)邊緣。在實(shí)施過(guò)程中，構(gòu)造了對(duì)比度增強(qiáng)算子，在過(guò)濾處理之后，將其引入到準(zhǔn)則迭代計(jì)算中，對(duì)準(zhǔn)則迭代中的相對(duì)密度進(jìn)行修改，表達(dá)式為

(9)

由于優(yōu)化準(zhǔn)則法采用二分法求解拉格朗日乘子以使結(jié)果滿足體積約束，故應(yīng)用修改之后的迭代公式進(jìn)行優(yōu)化求解能夠保證體積約束條件得到滿足。

對(duì)比度增強(qiáng)算子應(yīng)起到抑制中間密度，使單元密度兩極分化，增強(qiáng)邊緣的作用。為此，本文提出了兩種分段線性變換的對(duì)比度增強(qiáng)算子，如圖4所示。分段線性變換的優(yōu)點(diǎn)是可以拉伸感興趣的灰度區(qū)間，抑制不感興趣的灰度級(jí)，使得細(xì)節(jié)特征得到突出。

(a)算子1 (b)算子2圖4 對(duì)比度增強(qiáng)算子Fig.4 The contrast enhancement operator

算子1的表達(dá)式為

(10)

式中，c1為斜率控制參數(shù)，c1≥1。

如圖4a所示，算子1將低密度邊緣[0,ρa(bǔ)]調(diào)整為0、將高密度邊緣[ρb, 1]調(diào)整為1、將中間密度范圍(ρa(bǔ),ρb)線性拉伸到(0,1)，即算子1通過(guò)截取一定范圍內(nèi)的中間密度并拉伸至整個(gè)密度范圍，以提高單元密度對(duì)比度，達(dá)到增強(qiáng)邊緣的目的。隨著c1的增大，對(duì)比度增大越明顯，當(dāng)c1→∞時(shí)，算子1退化為閾值函數(shù)。

算子2的表達(dá)式為

(11)

式中，c2為斜率控制參數(shù)，0≤c2≤1。

如圖4b所示，算子2將[0,0.5)內(nèi)的密度向下進(jìn)行壓縮，將[0.5,1]內(nèi)的密度向上進(jìn)行壓縮，增大了兩個(gè)區(qū)間密度之間的差異，因而能夠達(dá)到增強(qiáng)邊緣的目的。隨著c2的減小，對(duì)比度增大越明顯，當(dāng)c2→0時(shí)，算子2退化為閾值函數(shù)。

在拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算過(guò)程中，對(duì)比度增強(qiáng)算子的參數(shù)大小應(yīng)當(dāng)選擇合適，以保證迭代過(guò)程穩(wěn)定快速收斂。迭代計(jì)算的初期，是主體框架的成形期，大的對(duì)比度增強(qiáng)算子會(huì)引起對(duì)單元密度改變過(guò)多從而導(dǎo)致刪除單元過(guò)多，進(jìn)而影響隨后的最優(yōu)結(jié)果的搜索，因此，應(yīng)該采用較小的對(duì)比度增強(qiáng)效果或不采用增強(qiáng)效果。在迭代計(jì)算的后期，拓?fù)浣Y(jié)果演變緩慢且變化幅度較小，此時(shí)應(yīng)采用較大的對(duì)比度增強(qiáng)效果，使迭代快速收斂。

根據(jù)上述思路，設(shè)計(jì)對(duì)比度增強(qiáng)算子的參數(shù)取值。對(duì)于大多數(shù)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化計(jì)算，當(dāng)設(shè)計(jì)變量的最大變化量小于0.07時(shí)，形成了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主體框架，此時(shí)的迭代步數(shù)記為k(c<0.07)。在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的主體框架形成過(guò)程中，不對(duì)單元密度進(jìn)行對(duì)比度增強(qiáng)處理。當(dāng)主體框架形成之后，采用逐步增強(qiáng)的對(duì)比度增強(qiáng)算子進(jìn)行優(yōu)化求解。

在實(shí)施過(guò)程中，設(shè)定c1的變化表達(dá)式為

(12)

c2的變化表達(dá)式為

(13)

式中，k為迭代次數(shù)；Δ1和Δ2為變化幅度。

c1和c2的變化曲線如圖5所示。在迭代步數(shù)達(dá)到k(c<0.07)以前，c1和c2都保持不變；在迭代步數(shù)k(c<0.07)以后，c1逐漸增大，c2逐漸減小，Δ1和Δ2分別控制c1和c2變化的幅度。在本文優(yōu)化算例中取Δ1=0.03，Δ2=0.02。

(a)c1

(b)c2圖5 c1和c2的變化曲線Fig.5 The varying curves of c1 and c2

為了保證迭代過(guò)程的穩(wěn)定，還應(yīng)該保持每次迭代中單元密度的變化在移動(dòng)極限內(nèi)。

本文采用的兩種對(duì)比度增強(qiáng)算子驅(qū)動(dòng)中間密度向兩極進(jìn)行分化，與文獻(xiàn)[5]中的向單極進(jìn)行壓縮相比，更有利于優(yōu)化得到最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

3 算例與分析

采用下面典型的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值算例對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證。算例中的結(jié)構(gòu)均采用四邊形單元進(jìn)行離散，設(shè)材料的彈性模量E0=1，Emin=10-9，泊松比為0.3，懲罰因子p為3。優(yōu)化迭代終止的判定條件為max|ρ(k+1)-ρ(k)|≤0.01。

為了衡量?jī)?yōu)化結(jié)果中灰度單元的比例，采用灰度單元占比δ進(jìn)行描述，表達(dá)式為

(14)

δ的值越大，表示存在的灰度單元越多。當(dāng)結(jié)果中的所有單元都是灰度單元時(shí)，δ為1；當(dāng)結(jié)果中的單元密度非0即1時(shí)，δ為0。

算例1 圖6所示為一個(gè)懸臂梁，設(shè)計(jì)域大小為100 mm×50 mm，厚度為1 mm。左側(cè)固定，右側(cè)中間作用豎直向下的載荷F，大小為1 N。設(shè)計(jì)域離散為100×50個(gè)單元，設(shè)計(jì)域體積的50%作為目標(biāo)體積，過(guò)濾半徑取為3.5 mm。算例1的優(yōu)化結(jié)果構(gòu)型如圖7所示，圖7a為應(yīng)用OC方法優(yōu)化的結(jié)果，圖7b、圖7c分別為引入對(duì)比度增強(qiáng)算子1、2的優(yōu)化結(jié)果，圖7d為采用文獻(xiàn)[5]中方法的優(yōu)化結(jié)果。圖8所示為優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊緣的剖切平面密度變化圖，剖切線的位置如圖7a和圖7b中黑線所示。各優(yōu)化結(jié)果的柔度、灰度占比和迭代次數(shù)如表1所示。

圖6 算例1設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig.6 Design domain and boundary conditions of example 1

(a)OC方法 (b)算子1

(c)算子2 (d)文獻(xiàn)[5]圖7 算例1的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.7 The topology results for example 1

圖8 優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊緣剖切平面圖Fig.8 The sectional drawing of structure edge for topology results

柔度C(N·mm)灰度占比δ(%)迭代次數(shù)OC方法68.929.873算子162.2067算子262.4073文獻(xiàn)[5]62.34.0480

由圖7可以看出，應(yīng)用對(duì)比度增強(qiáng)算子的兩種方法抑制了灰度單元的出現(xiàn)，得到了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)清晰的優(yōu)化結(jié)果。由圖8可以看出，與OC方法相比，應(yīng)用對(duì)比度增強(qiáng)算子之后，得到了階躍型的結(jié)構(gòu)邊緣。由表1可知，本文方法與OC方法相比，優(yōu)化結(jié)果的柔度值更小，優(yōu)化效果得到了提升；與文獻(xiàn)[5]中的灰度單元抑制方法相比，所得結(jié)果的灰度單元占比更小，優(yōu)化結(jié)果更接近于0/1分布狀態(tài)，并且在優(yōu)化求解效率方面占有明顯優(yōu)勢(shì)。

算例2 圖9所示為一個(gè)簡(jiǎn)支梁，尺寸為240 mm×60 mm，厚度為1 mm。上端面中間作用豎直向下的載荷F，大小為1 N。設(shè)計(jì)域體積的50%作為目標(biāo)體積。鑒于是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，選用右側(cè)1/2模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，模型離散的數(shù)目為120×60。優(yōu)化計(jì)算中采用了兩種過(guò)濾半徑進(jìn)行過(guò)濾處理。圖10為優(yōu)化結(jié)果的拓?fù)錁?gòu)型，其中圖10a、圖10c、圖10e采用的過(guò)濾半徑是2.5 mm，分別為OC方法、引入算子1和算子2的優(yōu)化結(jié)果；圖10b、圖10d、圖10f采用的過(guò)濾半徑是4.5 mm，分別為OC方法、引入算子1和算子2的優(yōu)化結(jié)果。各優(yōu)化結(jié)果的柔度、灰度占比和迭代次數(shù)如表2所示。

圖9 算例2設(shè)計(jì)域及邊界條件Fig.9 Design domain and boundary conditions of example 2

(a)OC方法(rmin=2.5 mm)(b)OC方法(rmin=4.5 mm)

(c)算子1(rmin=2.5 mm)(d)算子1(rmin=4.5 mm)

(e)算子2(rmin=2.5 mm)(f)算子2(rmin=4.5 mm) 圖10 算例2的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Fig.10 The topology results for example 2

柔度C(N·mm)灰度占比δ(%)迭代次數(shù)圖10a81.922.5264圖10b86.429.861圖10c77.20.087圖10d78.00.068圖10e77.40.082圖10f78.20.078

由圖10可以看出，基于不同的過(guò)濾半徑，應(yīng)用本文方法，都得到了結(jié)構(gòu)邊緣清晰的優(yōu)化結(jié)果，所得結(jié)果的拓?fù)湫问脚c采用OC方法的一致，過(guò)濾半徑越大，所得結(jié)果中最小結(jié)構(gòu)尺寸越大。該方法保持了過(guò)濾半徑控制優(yōu)化結(jié)果中結(jié)構(gòu)最小尺寸的優(yōu)點(diǎn)。從表2中可以看出，在灰度方面，增大過(guò)濾半徑，會(huì)使OC法結(jié)果中的灰度增大，對(duì)本文方法沒有影響；在柔度方面，增大過(guò)濾半徑，會(huì)使優(yōu)化結(jié)果的柔度值增大。

上述算例的結(jié)果顯示，所提出的兩種對(duì)比度增強(qiáng)算子得到的拓?fù)湫螒B(tài)結(jié)果基本一致。這主要是因?yàn)閷?duì)比度增強(qiáng)算子在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)主體框架形成之后才開始發(fā)揮作用，對(duì)比度增強(qiáng)算子對(duì)優(yōu)化結(jié)果的拓?fù)湫问綆缀醪划a(chǎn)生影響，主要作用是消除灰度單元、增強(qiáng)結(jié)構(gòu)邊緣。算子1是逐步將靠近0-1兩極的密度進(jìn)行增強(qiáng)，算子2是將中間密度向0-1兩極進(jìn)行壓縮。在優(yōu)化進(jìn)程中，算子1穩(wěn)步減少中間密度，在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況下往往能表現(xiàn)出更好的穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

本文提出了兩種形式的對(duì)比度增強(qiáng)算子，對(duì)優(yōu)化準(zhǔn)則法進(jìn)行了修改，驅(qū)使中間密度向兩極分化，以抑制變密度法拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中灰度單元的出現(xiàn)。典型數(shù)值算例的計(jì)算結(jié)果顯示，該方法消除了過(guò)濾處理導(dǎo)致的邊緣擴(kuò)散，得到了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)清晰的優(yōu)化結(jié)果。

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AModifiedOptimalityCriterionMethodBasedonContrastEnhancementforGrayScaleSuppression

XU Xiaokui GUO Baofeng JIN Miao

Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science,Yanshan University, Qinhuangdao,Hebei,066004

In order to suppress gray scale elements in density-based topology optimization, two kinds of contrast enhancement operators were proposed based on contrast enhancement strategy and introduced into the iterative calculation to modify the optimality criteria method. The contrast enhancement operator might enlarge the gray scale differences of the elements, drive the intermediate densities to the two ends of the range, and finally make the results convergence to the 0/1 material distribution. The effects of the proposed method were investigated with classical numerical examples. The results show that the optimization results with crisp boundaries are obtained by applying the proposed method.

topology optimization; contrast enhancement; gray element; optimality criteria method

2017-08-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51575474)；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(E2015203220)

TH122

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.008

(編輯王艷麗)

許小奎，男，1990年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)槌尚驮O(shè)備結(jié)構(gòu)分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)。郭寶峰(通信作者)，男，1958年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail: guobaofengysu@126.com。金淼，男，1968年生。燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。