龐幫艷，孫勝利

(1.商丘工學院，河南 商丘 476000； 2.商丘職業(yè)技術(shù)學院，河南 商丘 476100)

Heine定理及其擴展

龐幫艷1，孫勝利2*

(1.商丘工學院，河南 商丘 476000； 2.商丘職業(yè)技術(shù)學院，河南 商丘 476100)

Heine定理是《數(shù)學分析》中的一個重要定理，它是函數(shù)極限和數(shù)列極限聯(lián)系的橋梁. 因此，可以將Heine定理進行擴展至數(shù)列極限以及多元函數(shù)極限，并給出擴展定理的應用，這是判定多元函數(shù)極限不存在的又一個重要方法.

Heine定理；擴展；極限

1 Heine定理

定理證明參見劉玉璉、傅沛仁編著的《數(shù)學分析講義》(上)[1]84-85.

Heine定理在數(shù)學分析中有非常重要的地位，它在函數(shù)極限和數(shù)列極限之間架起了橋梁，在變量的連續(xù)狀態(tài)與離散狀態(tài)之間建立了聯(lián)系.應用Heine定理，人們可把函數(shù)極限問題轉(zhuǎn)化為(歸結(jié)成)數(shù)列問題，因此被稱為歸結(jié)原則，他有2個推論：

xn=2nπ，n=1,2,3,…

則

且

∞.

又取數(shù)列

則

且

從實踐出發(fā)，從工程角度嘗試構(gòu)建完整的信號獲取、處理和分析檢測控制系統(tǒng)。在教學實踐中，基于能力培養(yǎng)的項目化教學設(shè)計充分發(fā)揮了學生參與的主體地位，教師講授法也發(fā)揮了教師主導的作用長處。兩種教學模式的有機結(jié)合過程，使課程教學成為一體化過程，提高了學生提出問題、分析問題和解決問題的能力，教學效果明顯增強。

2 Heine定理的擴展

因為數(shù)列{xn}是函數(shù)xn=f(n)，所以存在數(shù)列極限的Heine定理，刻畫數(shù)列極限與子數(shù)列極限之間的關(guān)系.

定理證明參見郭金生、王愛斌的論文《海涅定理的一些應用》[2]32-37.

因為一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限存在很多相似之處，所以，Heine定理還可以擴展至多元函數(shù)極限的情形.

證明先證必要性“?”.

再證充分性“?”，用反證法.

…

…

于是得到點列{Pn}，使Pn→P0(n→∞)，但f(Pn)不收斂于A.

證明因為D也是自身的子集，所以定理的充分性(“?”)是很顯然的.

下面證明其必要性(“?”).

3 擴展定理的應用

這3個擴展定理可用于證明某些數(shù)列或函數(shù)的極限不存在.

分析對于數(shù)列{xn}，存在子數(shù)列{x2k}，使得x2k→2(k→∞)，另存在子數(shù)列{x2k+1}，使得x2k+1→0(k→∞)，由擴展定理1，數(shù)列{xn}當n→∞時的極限不存在.

圖1

圖2

例4二元函數(shù)

在點P0(0,0)處的極限不存在.

4 結(jié)語

上述內(nèi)容是對Heine定理的擴展定理及其應用的一些總結(jié)整理，它給我們提供了在求解數(shù)列極限和函數(shù)極限問題中的一種轉(zhuǎn)換的思想. Heine定理適用范圍遠不止于此，例如，Heine定理在實變函數(shù)和泛函分析中也發(fā)揮著重要作用. Heine定理還有許多作用需要我們在工作和學習中挖掘和整理，實現(xiàn)對定理的全面、深刻的理解，以期在求解問題時達到事半功倍的效果.

[1] 劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學分析講義(上)[M].北京：高等教育出版社，1992.

[2] 郭金生，王愛斌.海涅定理的一些應用[J].河西學院學報，2016,32(2).

[3] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上)[M].北京：高等教育出版社，2010.

HeineTheoremandItsExtension

PANG Bangyan1， SUN Shengli2*

(1.ShangqiuInstituteofTechnology,Shangqiu476000,China；2.ShangqiuPolytechnic,Shangqiu476100,China)

In this paper, the Heine theorem is extended to the limits of the series and the limits of the multivariate function, three extended theorems are given and the application of the extended theorems is illustrated.

Heine theorem; extension; limits

O171

A

1671-8127(2017)06-0083-03

2017-07-20

2017年度河南省高等學校重點科研項目“基于粒子計算的非標準分析研究”(17A120012)

龐幫艷(1985- )，女，河南開封人，商丘工學院講師，碩士，主要從事數(shù)學方法論研究。

*通信作者：孫勝利(1963- )，男，河南民權(quán)人，商丘職業(yè)技術(shù)學院教授，碩士，主要從事應用數(shù)學研究。

[責任編輯梧桐雨]