文梅縣東山中學(xué) 廖宗云

淺談全國卷背景下數(shù)學(xué)通性通法的教學(xué)

文梅縣東山中學(xué) 廖宗云

縱觀近幾年全國新課標(biāo)卷和大綱卷的數(shù)學(xué)所有考題，從內(nèi)容到形式，盡管它們精彩紛呈，各有特色，但唯一共同的特點(diǎn)是對(duì)通性通法的考查力度均占絕對(duì)的比例優(yōu)勢。所以全國卷下我們中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該是注重?cái)?shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)基本方法的培養(yǎng)，但是在實(shí)際教學(xué)中，我們往往跑偏了，喜歡追求花哨的特殊解題技巧，喜歡讓學(xué)生接觸一些華麗的所謂“壓軸題”和“好題”，而忽視了通性通法的培養(yǎng)。

所謂通性通法，是指具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想方法。近幾年來一直是高考考查的核心，因而在日常教學(xué)中我們一定要重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生切實(shí)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的實(shí)質(zhì)，會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。在新課程中強(qiáng)化通性通法教學(xué)，淡化特殊技巧用于的要求，因此高中數(shù)學(xué)新課程中，刪減了煩瑣的計(jì)算，淡化了人為技巧化的難題，突出對(duì)分析、解決問題能力的要求?，F(xiàn)在高考比較重視的就是這種具有普遍意義的方法和相關(guān)的知識(shí)。

一、緊扣新課標(biāo)和考試大綱，避開怪難偏

在教學(xué)過程中，應(yīng)該以新課標(biāo)為準(zhǔn)線，吃準(zhǔn)和吃透新課標(biāo)的要求，不要盲目地追求課堂的標(biāo)新立異，在高三的復(fù)習(xí)中，更是要深入研讀考綱，避免出現(xiàn)超綱的教學(xué)內(nèi)容。例如，在函數(shù)的教學(xué)，新課標(biāo)就提出“在教學(xué)中，應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解，避免在求函數(shù)定義域、值域及討論函數(shù)性質(zhì)時(shí)出現(xiàn)過于煩瑣的技巧訓(xùn)練，避免人為地編制一些求定義域和值域的偏題”。又如在推理與證明的復(fù)習(xí)，大綱明確提出“本模塊（指推理與證明）中設(shè)置的證明是對(duì)學(xué)生已學(xué)過的基本證明方法的總結(jié)。在教學(xué)中，應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)各種證明方法的特點(diǎn)，體會(huì)證明的必要性。對(duì)證明的技巧性不宜作過高的要求?！?/p>

二、結(jié)合學(xué)生實(shí)際，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

在以往的教學(xué)中對(duì)于一些特殊技巧解答問題提出過一定的要求，但是這類題目學(xué)生得分率較低。技巧性問題難度大，應(yīng)用面窄，適合于數(shù)學(xué)競賽，并不適合用于高考。對(duì)于特殊技巧，如果老師不補(bǔ)充或?qū)W生在課外作業(yè)中未見過做過，想在考場這一特定環(huán)境內(nèi)解答出來是不可能的，如果在高考試題中常出現(xiàn)特殊技巧性問題，必定引起教師補(bǔ)充講授各種解題技巧及技巧性強(qiáng)的題目，加重教師和學(xué)生的負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致題海戰(zhàn)術(shù)；另一方面，由于信息社會(huì)要求我們具有較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展降低了對(duì)數(shù)學(xué)技巧的要求，綜合上述原因，“淡化特技”成為高考數(shù)學(xué)命題的必然選擇。這就要求我們在授課的時(shí)候，要優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際，選擇適合學(xué)生實(shí)際的解題方法。筆者在一次公開課聽課接觸過一個(gè)例子：

例1.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-1，0），是否存在常數(shù)a,b,c使不等式x≤f(x)≤對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立？若存在，求出a,b,c；若不存在，說明理由。

學(xué)生自然而然想到了一元二次不等式恒成立的充要條件，當(dāng)時(shí)1-2a=0時(shí)，f(x)不存在。

結(jié)合圖像過點(diǎn)（-1，0），列出不等式組

怎樣求出a,b,c？學(xué)生思維阻塞，困惑得很，此時(shí)，教師只需作適當(dāng)點(diǎn)撥，碰到多變量的問題，要如何處理？學(xué)生回答：減少變量。用什么方法減少變量呢？學(xué)生通過試驗(yàn)，感到消去a、消去c都很困難，必須消去b，將代入b=a+（2）、（4）式分別得(a-c)2-2(a+c)+1≤0（6），(a-c)2+2(a+c)-1≤0（7）。

此時(shí)，許多學(xué)生又茫茫然不知所措，（6）、（7）式有何作用？教師繼續(xù)點(diǎn)撥，觀察（6）、（7）兩式的結(jié)構(gòu)特征，你會(huì)將它們?nèi)绾巫冃危繉W(xué)生恍然大悟，由（6）+（7）得(a-c)2，∴a=c。這樣，就把（6）、（7）兩式中隱含的相等關(guān)系挖掘出來（能挖掘隱含條件是思維深刻性的具體表現(xiàn)）。將a=c代入（6）、（7）式可得到4a-1≥0,4a-1≤0,故存在使不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立。

這樣解題，思路自然貼切，比較適合學(xué)生的思維方式。而在聽課過程中卻發(fā)現(xiàn)，授課教師在一開始就采用了巧解的方式：

這種解法，巧妙得令人驚嘆，但有誰會(huì)立即想到不等式鏈（*）呢？況且不等式鏈（*）僅在習(xí)題中出現(xiàn)，學(xué)生很陌生，這樣的解法是怎樣想到的？學(xué)生自感茫然。在這道題上，不妨在講完通法后，再由通法引入巧解。

三、突出基礎(chǔ)知識(shí)，加大對(duì)典型題的訓(xùn)練力度

盡管當(dāng)前高考數(shù)學(xué)試卷不再刻意追求知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面，但凡是《考試說明》中規(guī)定的知識(shí)點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)一個(gè)都不能遺漏。況且，某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，連續(xù)幾年不考的概率很小。從全國卷歷年的高考試題中可以發(fā)現(xiàn)，高考試題幾乎都是以函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、圓錐曲線、空間線面關(guān)系及其計(jì)算、概率統(tǒng)計(jì)這幾個(gè)主干知識(shí)點(diǎn)為中心展開的，高考命題體現(xiàn)“對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的考查要保持較高的比例，并達(dá)到必要的深度”這一命題思想是永遠(yuǎn)也不會(huì)改變的。

現(xiàn)在的全國卷數(shù)學(xué)試題中大部分都是中檔題，而中檔題又大多是基礎(chǔ)題的加深、綜合或拓展。主要考查數(shù)學(xué)的基本概念、基本知識(shí)和基本的計(jì)算解題方法，所以平常的復(fù)習(xí)，必須扎根于課本，回到基礎(chǔ)上去，對(duì)課本中的概念、法則、性質(zhì)、定理、公理、公式等進(jìn)行梳理，要理清知識(shí)發(fā)生的本原(如等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程等)，考生要注意從學(xué)科整體意義上建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，形成完整的知識(shí)體系，掌握知識(shí)之間內(nèi)在聯(lián)系與規(guī)律，重點(diǎn)放在掌握典型例題涵蓋的知識(shí)及解題方法上。

我們在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些普遍性的東西不斷地進(jìn)行概括總結(jié)，不斷地在具體解題中細(xì)心體會(huì)，千萬不要去刻意追求一些解題的特殊技巧，盡管一些數(shù)學(xué)題目有多種解法，有的甚至有十幾種解法，但這些解法中具有普遍意義的通用解法也就一兩種而已。我們要更多地注重思考題目的“核心”是什么，從題目中“提煉”反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，掌握好數(shù)學(xué)模式題的通用方法。

只有當(dāng)我們的教學(xué)做到返璞歸真，還原本質(zhì)，注重了“源”與“本”的關(guān)系，加強(qiáng)對(duì)通性通法的認(rèn)可和掌握，才能提高學(xué)生對(duì)“雙基”的靈活運(yùn)用，我們的教學(xué)才能不跑偏，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在全國卷下數(shù)學(xué)能力的全面考查中顯得更加從容。

責(zé)任編輯 韋英哲