楊欣怡

【摘 要】廣義上講數(shù)學(xué)就是研究“數(shù)”與“形”的學(xué)科，“數(shù)”即不同量之間的直觀表達(dá)，而“形”就是數(shù)據(jù)表達(dá)的形象體現(xiàn)，兩者在教材內(nèi)容中有著豐富的體現(xiàn)。首先是在集合的學(xué)習(xí)過(guò)程中，恰當(dāng)?shù)亟?shù)軸或是韋恩圖法，能將抽象的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)變直觀的圖形體現(xiàn)，進(jìn)而提高解題能力。其次是函數(shù)和方程的運(yùn)用，函數(shù)和方程是與圖像關(guān)系最為緊密的分支體系，恰當(dāng)設(shè)參，建立關(guān)系能有效解決函數(shù)的極值以及方程根的分布。最后是圓錐曲線(xiàn)的學(xué)習(xí)，作為高中最難的一部分，若能有效利用圖像對(duì)相關(guān)概念和運(yùn)算清楚進(jìn)行把握，并在題目給定的條件綜合其幾何和代數(shù)表達(dá)，形成一套完整的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的思想方法，將對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力有質(zhì)的提升。本文結(jié)合教材相關(guān)內(nèi)容，舉例說(shuō)明“數(shù)形結(jié)合”思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；集合；函數(shù)方程；解析幾何

1.數(shù)形結(jié)合在集合中的應(yīng)用

1.1利用數(shù)軸求解數(shù)集問(wèn)題

數(shù)軸常用來(lái)解決數(shù)集問(wèn)題，其實(shí)質(zhì)是參數(shù)的幾何表達(dá)。解題的關(guān)鍵把握集合基本概念，并將數(shù)值用數(shù)軸準(zhǔn)確表達(dá)。比如在對(duì)數(shù)值集合進(jìn)行求解的時(shí)候，可以先通過(guò)對(duì)集合下的數(shù)值進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得到一個(gè)參量的取值范圍，然后將該取值范圍在數(shù)軸上進(jìn)行直觀體現(xiàn)。而不同集合之間的交并問(wèn)題反映到數(shù)軸上就是取值范圍的相交或是包含關(guān)系，通過(guò)數(shù)軸就可以很簡(jiǎn)便地解出約束條件下的參數(shù)取值。

1.2利用韋恩法求解集合問(wèn)題

韋恩法最主要是將題目給出的集合關(guān)系用Venn圖表達(dá)，再根據(jù)圖像列出參數(shù)方程，進(jìn)而求解相關(guān)問(wèn)題。

例1.已知一班學(xué)生總?cè)藬?shù)為52名，且每人至少要參加一項(xiàng)兒童節(jié)彩排活動(dòng)，其中參加鋼琴演奏、詩(shī)歌朗誦及兒童歌唱的人分別為30、26、17，同時(shí)參加鋼琴和朗誦的人數(shù)有10人，同時(shí)參加鋼琴和歌唱的有8人，同時(shí)參加詩(shī)歌和歌唱的有5人，試問(wèn)三項(xiàng)均參加的人數(shù)為多少？

解析：先用圓A、B、C分別表示參加鋼筋、詩(shī)歌及歌唱小組的人數(shù)，并用Venn圖表示，則三圓的交集就是同時(shí)參加三項(xiàng)節(jié)目的人數(shù)。設(shè)n表示集合元素?cái)?shù)目，由題意得：n（A）+n（B）+n（C）-n（AB）-n（AC）-n（BC）+n（ABC）=52，帶入等式求得n（ABC）=2，即同時(shí)參加三項(xiàng)節(jié)目的人數(shù)有2人.

2.利用數(shù)形結(jié)合求函數(shù)極值

函數(shù)與圖像聯(lián)系最為緊密，借助圖像函數(shù)性質(zhì)是最為實(shí)用的解題方法之一。它從“形”的方面來(lái)刻畫(huà)抽象的函數(shù)，形象表達(dá)函數(shù)的性質(zhì)，為研究“量”提供直觀表達(dá)，充分體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的思想和特征。比如再對(duì)符合函數(shù)f（x）=min{y（x■），y（x■），y（x■）}進(jìn)行最小值求解的情況，我們可以先把函數(shù)進(jìn)行分段處理，然后將每一段的函數(shù)用圖像呈現(xiàn)出來(lái)。如此一來(lái)就能很方便對(duì)函數(shù)每一區(qū)域進(jìn)行直觀的對(duì)比，判斷在不同區(qū)域函數(shù)的極值，從而綜合每一段的結(jié)果求出參量的最小值。

3.數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用

3.1利用函數(shù)圖象求解不等式

函數(shù)方程用圖象表達(dá)則為一條曲線(xiàn)或是多段線(xiàn)，而不等式有函數(shù)方程演化而來(lái)，在坐標(biāo)系中則表示與函數(shù)圖象相關(guān)的區(qū)域分布。高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)講解一元二次不等式的求解問(wèn)題，而在二次不等式求解過(guò)程中，只要抓住對(duì)于函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和x軸交點(diǎn)值，問(wèn)題就迎刃而解。以一元二次不等式計(jì)算為例，我們知道一元二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)即為方程的根，那么當(dāng)方程大于0時(shí)，自變量取值分布區(qū)域就應(yīng)在圖像的上方；而小于0則分布在圖象下方。因此通過(guò)圖像就能對(duì)方程進(jìn)行變量分析和快速求解，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)的運(yùn)算。

3.2利用函數(shù)圖象求根的分布

對(duì)涉及到一元二次函數(shù)根的分布問(wèn)題往往涉及的參數(shù)比較復(fù)雜，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算確定其范圍往往比較抽象，如果能有效運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，將函數(shù)問(wèn)題化成幾何運(yùn)算，通過(guò)描繪的函數(shù)草圖反過(guò)來(lái)再去感知函數(shù)的關(guān)系式和相關(guān)性質(zhì)的正確性，則可相輔相成，不僅能讓老師較為輕松地把概念知識(shí)傳授給學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中也能夠?qū)χR(shí)點(diǎn)進(jìn)行更為清晰直觀的掌控，對(duì)提高學(xué)生思維和學(xué)習(xí)能力有很大幫助。

例2.已知方程a■x■+ax+1-2a■=0，求a的取值，使方程的兩根均在（-1，1）內(nèi)。

分析：顯然a≠0，方程為一元二次等式，且函數(shù)圖象y=a■x■+ax+1-a■開(kāi)口向上，找出函數(shù)三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)及x=-b/2a、x=±1，要使拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)落在（-1，1）區(qū)間范圍內(nèi)，則要滿(mǎn)足在x=-1/2a、x=±1三點(diǎn)的函數(shù)值的乘積為負(fù)，最終求得a的取值范圍為-1

4.數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用

老師在講解高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的時(shí)候，要重點(diǎn)對(duì)學(xué)生思維能力進(jìn)行發(fā)散啟迪，加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合能力的培養(yǎng)。如此一來(lái)，學(xué)生學(xué)習(xí)才不會(huì)生搬硬套，二是熟練理解題目的內(nèi)涵及出題者想要傳達(dá)的思想，以求一擊突破。在解析幾何部分則要求學(xué)生根據(jù)不同圖象進(jìn)行對(duì)于解析式的求解，還能夠反過(guò)來(lái)有解析式畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖象，通過(guò)圖形的性質(zhì)和參數(shù)的量化關(guān)系，讓學(xué)生能在兩者中進(jìn)行相互轉(zhuǎn)變、相互啟迪，形成自主的思考和解題能力。

例3.設(shè)雙曲線(xiàn)x■/a■-y■/b■■=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)為（1，0），過(guò)點(diǎn)F做x軸垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)為B，C，過(guò)B，C分別做垂線(xiàn)交于D，若D到直線(xiàn)BC的距離小于a+■，求該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)斜率取值區(qū)間。

解析：題目已知點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（a，0），B（c，b■/a），C（c，-b■/a），由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可得D在x軸上。設(shè)D（x，0），由垂直條件得b■■/（ac-ax）·b■■/（a■-ac）=-1■，解得c-x=b■■/（a■c-a■）

總之，老師必須要有深厚的知識(shí)功底和熟練的基本技巧，在高中教學(xué)中不光要傳授學(xué)生知識(shí)，更重要是講授給學(xué)生思考和解題的能力。師者傳道受業(yè)解惑過(guò)程中，要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透，對(duì)于問(wèn)題要從多方面進(jìn)行考慮和解答，要透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，以經(jīng)典例題為出發(fā)點(diǎn)揭示“數(shù)”與“形”的內(nèi)在聯(lián)系，用“數(shù)”準(zhǔn)確澄清“形”，用“形”直觀反應(yīng)“數(shù)”，從而讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓。

【參考文獻(xiàn)】

[1]何凡.數(shù)形結(jié)合法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].教育科學(xué)：引文版：00227-00227

[2]陳敏.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)的“孵化”[J].教學(xué)與管理， 2012（22）：61-64