(江西理工大學 信息工程學院，江西 贛州341000)

適用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的低復雜度RZF-SOR預編碼算法*

朱慶浩**，宋志鵬，吳君欽

(江西理工大學 信息工程學院，江西 贛州341000)

在大規(guī)模多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)中，為了降低傳統(tǒng)預編碼算法的復雜度，在原有正則化迫零(RZF)預編碼算法的基礎上，提出用超松馳迭代(SOR)法代替矩陣求逆的高復雜度運算，得到一種改進算法RZF-SOR，并應用隨機矩陣原理得出其最優(yōu)相關參數(shù)的近似表達式和取值的必要條件。實驗仿真表明，提出的RZF-SOR預編碼算法與RZF預編碼相比有效地降低了一個數(shù)量級的復雜度，在很小的迭代次數(shù)下達到接近于RZF預編碼的誤碼率性能，并且優(yōu)于基于Neumann級數(shù)預編碼算法的誤碼率性能。

大規(guī)模MIMO； 低復雜度預編碼;超松馳迭代；正則化迫零

1 引 言

4G無線通信系統(tǒng)遠無法達到5G所預測的1 000倍數(shù)據(jù)流量增加，這就需要我們探索新的具有更寬帶寬的譜帶和更高頻譜效率的先進物理技術[1-2]。為此,多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技術吸引了學術和工業(yè)界的研究興趣。目前，MIMO技術已成功地應用于一系列的通信技術上，如LTE-HI[3]、WLAN等。與小規(guī)模MIMO系統(tǒng)不同，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)因基站上裝備了數(shù)以百計的天線來服務用戶，使其更能滿足日益增長的高數(shù)據(jù)速率的要求。大規(guī)模MIMO系統(tǒng)因具有許多有吸引力的特性，包括大容量的優(yōu)勢、提高鏈路可靠性、更好的改善頻譜效率和能源效率[4]，使其成為了5G無線通信系統(tǒng)中公認的關鍵技術之一[5]。

然而，大規(guī)模MIMO系統(tǒng)在實際應用中還有一些需要解決的難題，例如信道估計、硬件缺陷、包括預編碼和解碼在內的低復雜度信號處理。在預編碼技術中，如何降低預編碼的復雜度、保證算法的性能成為了如今亟待解決的一道難題。預編碼技術分為線性預編碼和非線性預編碼。在下行多用戶MMO系統(tǒng)中，非線性預編碼技術可以很好地逼近理論的多天線信道容量限。然而，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，線性預編碼比非線性預編碼更加適用，即使簡單的線性預編碼也有比非線性預編碼具有更好的性能[6]。但是，常見的線性預編碼如迫零(ZF)預編碼、正則化迫零(RZF)預編碼、最小均方誤差(MMSE)預編碼算法[7]都涉及到大尺寸的矩陣求逆運算，這大大增加了整體的復雜度。而且大規(guī)模MIMO中隨著信道維度的增加，矩陣求逆的復雜度也會愈發(fā)增長。為了降低復雜度，文獻[8]提出了一種截取矩陣多項式擴展(Truncated Polynomial Expansion,TPE)預編碼算法(以下簡稱TPE預編碼)，用截取矩陣多項式擴展運算代替矩陣求逆運算。最近，一種基于Neumann級數(shù)的預編碼算法在文獻[9]中提出(以下簡稱Neumann預編碼)，將矩陣求逆換成矩陣向量的疊加。此外，文獻[10]中也提出了一種基于Gauss-Seidel迭代算法的線性預編碼(以下簡稱G-S預編碼)，通過用迭代的算法來重構源信號，使得整體的復雜度減少。

本文在RZF預編碼算法的基礎上提出了一種RZF-SOR預編碼算法，通過超松弛迭代(Successive Over Relaxation,SOR)算法代替復雜的矩陣求逆運算來減少RZF預編碼的復雜度。分析顯示，其整體復雜度也會減少一個數(shù)量級。此外，還分析得到了最優(yōu)松弛因子的解以及必要條件，提供了RZF-SOR預編碼與G-S預編碼的收斂速率的大小，對比了RZF-SOR預編碼與Neumann預編碼的復雜度。

2 系統(tǒng)模型

如圖1所示，本文討論的是經典大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，在單小區(qū)多用戶中，基站裝備了M根天線且提供給K個單天線用戶。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，通常天線數(shù)比用戶數(shù)大的多，即M>>K。用表示復數(shù)的集合，那么第K個用戶接收到的信號矢量y∈K×1的表達式為

(1)

式中：ρ為下行傳輸功率；H∈K×M為平坦衰落的瑞利信道矩陣，且整體服從均值為0、方差為1的標準正態(tài)分布；x∈M×1是傳輸信號矢量；n∈K×1為高斯白噪聲矢量，其整體服從正態(tài)分布N(0,σ2I)。當使用線性預編碼算法來處理x時有

x=Ws。

(2)

式中：W∈M×K為線性預編碼矩陣，s∈K×1為發(fā)射源信號。

圖1 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)模型Fig.1 The massive MIMO system model

3 線性預編碼和分析

3.1 RZF預編碼算法

根據(jù)文獻[7]，總傳輸功率約束

(3)

式中：tr(·)是一個跡函數(shù)，求矩陣的跡即對角線元素之和;P是基站可以發(fā)送信號的總功率。RZF的預編碼矩陣為

WRZF=βHH(HHH+ξIK)-1=βHHG-1，

(4)

G=HHH+ξIK。

(5)

式中：β是功率歸一化因子，其作用是使式(4)滿足式(3)中的功率約束；標量ξ是正則化系數(shù)，其值與發(fā)射總功率、噪聲功率和系統(tǒng)維數(shù)有關；IK是單位矩陣。從式(4)可以看出，RZF預編碼涉及到計算矩陣求逆的高復雜度運算，其復雜度隨著系統(tǒng)復雜度的擴大而急劇增加。

3.2 RZF-SOR線性預編碼

將式(2)和式(4)綜合起來，就可以將x重新寫成

x=βHHG-1s。

(6)

對于一個任意的K×1非零向量q有qHHHHq=qHH(qHH)H。在平坦衰落的瑞利信道中，信道矩陣H是滿秩矩陣，那么就有qHH≠0,qHH(qHH)H>0，即HHH是正定矩陣。此外，(HHH)H=HHH,所以HHH是Hermitian 正定矩陣。式(5)中兩者之和實質上是矩陣HHH對角線上的元素數(shù)值增加ξ，其余元素值不變，故G仍是Hermitian 正定矩陣，所以可以將G分解為

G=D+L+LH。

(7)

式中：D、L、LH分別代表G的對角線成分、嚴格下三角成分、嚴格上三角成分。因為G是Hermitian 正定矩陣，所以其上三角成分等于下三角成分的共軛轉置，即可以用LH來代替上三角部分。

當我們用SOR迭代算法[11]來求解等式Ax=b,x=A-1b的解時有

(8)

式中：上標i為迭代的次數(shù)，ω是松弛因子且ω>0。將上式化簡為

(9)

(10)

(11)

3.3 相關系數(shù)分析

用SOR迭代法的目的之一在于獲得較高的收斂速率，松弛因子ω的選擇至關重要。如果矩陣G在快時變信道中變化迅速，計算出最優(yōu)松弛因子ωopt是十分必要的。根據(jù)文獻[12]，RZF-SOR最優(yōu)松弛因子ωopt為

(12)

式中：u=ρ(BJ)=ρ[D-1(L+LH)]<1，ρ[·]是一個矩陣的譜半徑，BJ是Jacobi法迭代矩陣。求出u的值就可以得到最優(yōu)松弛因子。根據(jù)式(7)，有

ρ[D-1(L+LH)]=ρ[D-1(G-D)]=

ρ[D-1G-I]=

ρ[D-1G]-1 。

(13)

(14)

此外，文獻[13]中根據(jù)隨機矩陣原理，可以將矩陣G的譜半徑近似地表達為

(15)

在矩陣譜半徑分析中有M>>ξ,因此式(15)中第二部分ξ可以省略。結合式(14)和式(15)可以得出

(16)

從式(12)和式(16)中可知，近似最優(yōu)松弛因子ωopt的值只和基站天線數(shù)M和用戶數(shù)K有關。而且由u<1得

(17)

天線數(shù)M與用戶數(shù)K必須滿足式(17)時才有最優(yōu)松弛因子。

3.4 收斂速率分析

本節(jié)比較RZF-SOR預編碼和G-S預編碼的收斂速率。當最優(yōu)松弛因子ωopt確定后，RZF-SOR預編碼的迭代矩陣Gω的譜半徑[12]為

(18)

由式(12)可知，ωopt>1，當ω=1時為G-S法迭代矩陣譜半徑，此時，ρ(GG-S)=u2，那么G-S迭代的收斂速率為

R(GG-S)=-ln(ρ(GG-S))=-2lnu。

(19)

當ω=ωopt時，SOR迭代矩陣譜半徑為ρ(Gωopt)=ωopt-1。SOR迭代的收斂速率為

R(Gωopt)=-ln(ρ(Gωopt))=-ln(ωopt-1) 。

(20)

比較式(18)和式(19)的大小得

(21)

如此，我們可以得出結論：RZF-SOR預編碼的收斂速率大于G-S預編碼。

3.5 復雜度分析

本節(jié)對提出的RZF-SOR預編碼算法的復雜度進行分析。因為乘法運算量比加法運算量要大得多，因此主要計算乘法運算的次數(shù)來作為算法的復雜度。首先將式(9)改寫為

(22)

表1比較了Neumann預編碼與RZF-SOR預編碼的復雜度。下面我們用ο(·)表示預編碼算法的復雜度的數(shù)量級。傳統(tǒng)RZF預編碼的復雜度是ο(K3)。從表中能得出Neumann預編碼在迭代次數(shù)i=2時復雜度由ο(K3)減少到ο(K2)，但當i≥3時復雜度仍是ο(K3)；而RZF-SOR預編碼的復雜度是ο(K2)，這就表示RZF-SOR預編碼相較RZF預編碼復雜度降低了一個數(shù)量級。

表1 預編碼算法的復雜度對比Tab.1 Complexity comparison between precoding algorithms

此外，在相同的迭代次數(shù)下，Neumann預編碼和RZF-SOR預編碼兩者的復雜度的差別只與用戶數(shù)K有關，與天線數(shù)M無關。兩種預編碼都是運用其他的運算代替了高復雜度的矩陣求逆運算。在相同的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，其復雜度之差和用戶數(shù)K有直接關系。

由此，我們可以得出結論：在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，基站的天線數(shù)M是巨大的，遠大于迭代次數(shù)i，RZF-SOR預編碼的復雜度小于Neumann預編碼，更是遠遠小于RZF預編碼。

4 仿真實驗

為了驗證復雜度分析的結果，當基站處天線數(shù)與用戶數(shù)的比值K/M=0.1時，對RZF、RZF-SOR和Neumann的復雜度進行仿真分析。隨著天線數(shù)的不斷增加，各預編碼算法的復雜度變化如圖2所示。從圖中可以清晰看出RZF預編碼的復雜度是最高的，Neumann預編碼次之。RZF-SOR預編碼的復雜度隨著迭代次數(shù)i的增加而增加，但其數(shù)值也是遠遠小于相同天線數(shù)的RZF預編碼的。同時，從圖中也可以看出3種預編碼算法的復雜度的差距也會隨著用戶數(shù)的增加而加大，從而驗證了上文分析的結論。RZF-SOR的復雜度小于Neumann和RZF。

圖2 三種預編碼算法復雜度的對比Fig.2 Complexity comparison among three precoding algorithms

為了更好地評估提出的RZF-SOR預編碼算法的性能，我們比較了RZF、RZF-SOR、G-S和Neumann預編碼的誤碼率(BER)性能。在仿真中，我們采用了兩種大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的配置分別是M×K=128×16和M×K=256×16，調制方法為64QAM，下行信道模型為平坦衰落的瑞利信道。

圖3展示的是M×K=128×16的系統(tǒng)配置時，4種預編碼算法的BER性能比較，其中i代表迭代次數(shù)。從圖中我們可以看出，當相同迭代次數(shù)時，RZF-SOR預編碼的BER性能是優(yōu)于Neumann預編碼的,而且這種優(yōu)勢隨著迭代次數(shù)的增加在增大。而RZF-SOR預編碼與G-S預編碼的BER性能幾乎相同。此外，在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，3種預編碼算法在低SNR時BER性能相差不大，但是在高SNR時，RZF-SOR預編碼隨著迭代次數(shù)i的增加，其BER性能改善得十分迅速。例如：SNR=26 dB、i=2時的RZF-SOR預編碼與RZF預編碼的BER性能相差約25 dB，但是i=3時兩者相差10 dB，i=4時兩者基本相同。這就表示RZF-SOR預編碼僅用小的迭代次數(shù)就能達到接近最優(yōu)的性能，而其復雜度比RZF預編碼的少了一個數(shù)量級。

圖3 M×K=128×16大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的預編碼BER性能比較Fig.3 Precoding BER performance comparison for the 128 × 16 massive MIMO system

SOR迭代法是在G-S迭代法基礎上提高收斂速率提出來的，但是在誤碼率性能上兩者十分相近。如圖3所示，代表RZF-SOR預編碼的紅色實線和代表G-S預編碼的黑色實線幾乎重合，所以在下面的仿真實驗中不考慮G-S預編碼的BER性能。

圖4展示的是M×K=256×16的系統(tǒng)配置下3種預編碼算法的BER性能比較。對比圖3和圖4可知，RZF-SOR預編碼的BER性能曲線與RZF預編碼的BER性能曲線極為接近。隨著天線數(shù)的增加，在圖4中兩者幾乎重合而且3種預編碼的BER性能都在變得更好，RZF-SOR預編碼的BER性能仍優(yōu)于Neumann預編碼。在高信噪比下，比如SNR=26 dB時，兩者BER性能相差隨著迭代次數(shù)增加依次為10 dB、15 dB、17 dB。當i=4時，RZF-SOR預編碼與RZF預編碼BER性能曲線幾乎完全重合。

圖4 M×K=256×16大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的預編碼BER性能比較Fig.4 Precoding BER performance comparison for the 256 × 16 massive MIMO system

5 結束語

本文提出了一種在RZF預編碼的基礎上改進的迭代預編碼算法RZF-SOR，用SOR迭代法代替矩陣求逆的高復雜度運算來降低預編碼算法的復雜度，還給出了RZF-SOR預編碼的最優(yōu)松弛因子的表達式以及其取值的必要條件，分析了RZF-SOR預編碼和Neumann預編碼的復雜度，證明了RZF-SOR預編碼的收斂速率是大于G-S預編碼的。仿真結果顯示，RZF-SOR預編碼的BER性能優(yōu)于Neumann預編碼，能用很小的迭代次數(shù)來實現(xiàn)與RZF預編碼幾乎相同的BER性能，并降低了一個數(shù)量級復雜度。在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，當天線數(shù)量更加巨大達到上萬時，預編碼算法的復雜度也會急劇增加，那么應研究更加優(yōu)秀的低復雜度高性能的預編碼算法。

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ALow-complexityRZF-SORPrecodingAlgorithmforMassiveMIMOSystems

ZHU Qinghao，SONG Zhipeng，WU Junqin

(Information Engineering Institute,Jiangxi University of Science and Technology,Ganzhou 341000,China)

In order to reduce the complexity of traditional precoding algorithm in massive multiple-input multiple-output(MIMO) systems,an improved algorithm called Regularized Zero Forcing- Successive Over Relaxation(RZF-SOR) algorithm is proposed based on the original RZF precoding algorithm,which uses the SOR iterative method instead of the matrix inversion. The approximate expression and the necessary condition of the optimal correlation parameter are obtained by using the stochastic matrix principle. Experimental results show that the proposed RZF-SOR precoding algorithm effectively reduces an order of magnitude complexity compared with RZF precoding,achieves bit error rate(BER) performance close to RZF precoding at very small iterations and is superior to Neumann Series based precoding algorithm.

massive MIMO;low-complexity precoding;successive over relaxation(SOR);regularized zero forcing(RZF)

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.12.014

朱慶浩，宋志鵬，吳君欽.適用于大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的低復雜度RZF-SOR預編碼算法[J].電訊技術，2017,57(12):1427-1432.[ZHU Qinghao，SONG Zhipeng，WU Junqin.A low-complexity RZF-SOR precoding algorithm for massive MIMO systems[J].Telecommunication Engineering,2017,57(12):1427-1432.]

2017-04-06；

2017-07-04

date:2017-04-06；Revised date：2017-07-04

國家自然科學基金資助項目(61501210)

302842908@qq.comCorrespondingauthor302842908@qq.com

TN919

A

1001-893X(2017)12-1427-06

朱慶浩(1992—)，男，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要研究方向為大規(guī)模 MIMO;

Email:302842908@qq.com

宋志鵬(1995—)，男，江西萍鄉(xiāng)人，江西理工大學通信工程專業(yè)本科生；

吳君欽(1966—)，男，江西贛州人，教授、碩士生導師，主要研究方向為無線通信。