徐 勇，陳海騰**，李 淼

(1.國(guó)家移動(dòng)衛(wèi)星通信工程技術(shù)研究中心，南京 210014；2.南京熊貓漢達(dá)科技有限公司，南京 210014)

一種新的極高精度的T_IIN頻率估計(jì)內(nèi)插算法*

徐 勇1,2，陳海騰**1,2，李 淼1,2

(1.國(guó)家移動(dòng)衛(wèi)星通信工程技術(shù)研究中心，南京 210014；2.南京熊貓漢達(dá)科技有限公司，南京 210014)

針對(duì)多普勒條件下接收端復(fù)信號(hào)的頻率估計(jì)難的問(wèn)題，研究了一種基于離散傅里葉變換與迭代頻率估計(jì)的內(nèi)插綜合算法。區(qū)別于經(jīng)典的內(nèi)插算法，新算法在迭代頻率內(nèi)插算法基礎(chǔ)上充分利用復(fù)數(shù)快速傅里葉變換結(jié)果的實(shí)虛部值，并通過(guò)最大峰值頻譜和相鄰兩側(cè)譜線以極高精度內(nèi)插估計(jì)出復(fù)信號(hào)的頻率參數(shù)。仿真結(jié)果分析表明,在二次迭代條件下信噪比為-10 dB時(shí)，該算法估計(jì)均方根誤差仍能逼近克拉美-羅限的1.002 1倍。該算法在同等條件下比經(jīng)典的Rife、Quinn和IIN算法具有更高的準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性和可靠性。

衛(wèi)星通信；迭代頻率估計(jì)；離散傅里葉變換；內(nèi)插算法

1 引 言

當(dāng)在接收機(jī)中采用相干解調(diào)信號(hào)時(shí)，接收端需要提供與接收信號(hào)頻率和相位相似的參考載波。但在實(shí)際衛(wèi)星通信中，由于接收端晶體振蕩器的不穩(wěn)定和信道噪聲引起的隨機(jī)相位誤差會(huì)導(dǎo)致接收信號(hào)的載波頻偏或者相位偏移[1-2]。對(duì)于多相制(Multiple Phase Shift Keying，MPSK)信號(hào)而言，接收信號(hào)的載波頻偏亦會(huì)影響信號(hào)判決的準(zhǔn)確性。在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中有用信號(hào)傳輸速率較低，使得歸一化頻率的偏移很容易在一個(gè)較大范圍變化[3]，而準(zhǔn)確地估計(jì)接收信號(hào)的載波頻率是衛(wèi)星通信的關(guān)鍵技術(shù)。本文主要是基于離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)的頻譜分析，利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT)的頻率插值算法，極大地降低計(jì)算量[4]，且具有估計(jì)精度高、速度快、實(shí)時(shí)性高等優(yōu)點(diǎn)。

由于信號(hào)FFT后得到的是離散頻譜，頻譜最大值對(duì)應(yīng)的頻率估計(jì)的精度受采樣時(shí)間長(zhǎng)度T和頻譜分辨率是Δf的限制，當(dāng)信號(hào)頻率不是Δf的整數(shù)倍時(shí)，由于FFT的“柵欄”效應(yīng)引起的頻譜泄露，此時(shí)信號(hào)的實(shí)際頻率位于FFT主瓣內(nèi)兩條最大的譜線之間，可以利用最大譜線和次大譜線的幅度比值估計(jì)信號(hào)的真實(shí)頻率在兩條譜線之間的位置[5](即基于FFT幅度比值的頻率插值算法[6])。文獻(xiàn)[5]提出的將信號(hào)幅度譜的兩根最大譜線進(jìn)行插值估計(jì)頻率的方法(Rife算法)，計(jì)算量小且易于實(shí)現(xiàn)，但在低信噪比下不能保持較高的精度。文獻(xiàn)[7-8]提出一種迭代二進(jìn)制查找真實(shí)頻率的迭代頻率估計(jì)(Iterative Frequency Estimation,IIN)算法,利用與最大譜線的量化頻率相隔半個(gè)Δf的兩根譜線進(jìn)行頻率插值，僅在量化頻率附近時(shí)精度高且迭代次數(shù)取決于Δf和信噪比。文獻(xiàn)[9-11]分析了Quinn算法，提出利用主瓣內(nèi)的最大和次大譜線系數(shù)復(fù)數(shù)值比值的實(shí)部進(jìn)行頻率插值的方法，缺點(diǎn)在于信號(hào)頻率接近DFT量化頻率時(shí)估計(jì)誤差大。

本文提出了一種基于IIN算法的新綜合算法三線迭代頻率估計(jì)器(Three-wire with IIN，T_IIN)。該算法充分利用復(fù)信號(hào)FFT結(jié)果的實(shí)部和虛部，以頻譜峰值相鄰3根頻譜線進(jìn)行頻率插值粗估計(jì)后，再在量化頻率附近進(jìn)行IIN高精度調(diào)整。蒙特卡洛仿真表明，本文算法有效避免了IIN算法的缺陷，可以在極低的信噪比下具有非常高的頻率估計(jì)精度和穩(wěn)定性，估計(jì)均方根誤差逼近克拉美-羅限下限(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)。

2 T_IIN頻率估計(jì)算法原理

假設(shè)待估計(jì)信號(hào)為單頻率的復(fù)正弦信號(hào)

s(t)=A0exp[j(2πf0+φ0)]+w(t) 。

式中:A0為信號(hào)的振幅，f0為待估計(jì)載波頻率，φ0為初始相位,w(t)為實(shí)部虛部相互獨(dú)立的、均值為零、方差為2σ2的復(fù)高斯白噪聲。若采樣時(shí)間長(zhǎng)度T=N/fs，頻譜分辨率是Δf=1/T，fs為采樣頻率，N為采樣點(diǎn)數(shù)，則采樣序列

s(n)=A0exp[j(2πf0n/fs+φ0)]+w(n)。

(1)

式中：n=0,1，…，N-1。對(duì)s(n)進(jìn)行N點(diǎn)的DFT，得頻譜

(2)

(3)

經(jīng)過(guò)式(2)化簡(jiǎn)得

(4)

為提高估計(jì)精度，先將幅度頻譜S(k)=X(k)進(jìn)行多項(xiàng)式頻率插值?，F(xiàn)設(shè)二次多項(xiàng)S(k)=Ak2+Bk+C近似于幅度譜的值，則k0及相鄰量化頻點(diǎn)位置為(k0-1,S(k0-1))、(k0,S(k0))、(k0+1,S(k0+1))，即得

(5)

(6)

式中：

(7a)

(7b)

(8)

3 綜合算法的具體步驟

Rife算法僅利用FFT頻譜的幅度信息就行頻率參數(shù)的補(bǔ)償，因沒(méi)有充分使用頻譜包含的實(shí)部和虛部信息，所以不能在各信噪比下保證估計(jì)可靠性。殘余頻偏δ越接近量化頻點(diǎn)時(shí)，IIN算法的估計(jì)精度越高，越接近0.5時(shí)估計(jì)精度越差，而Quinn算法正好與之相反。上述經(jīng)典算法均在極低信噪比下與CRLB有較大的誤差。本文提出T_IIN綜合插值算法，充分使用FFT結(jié)果的實(shí)虛值，實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

Step2 根據(jù)公式(4)計(jì)算粗估計(jì)參數(shù)：

(9)

(10)

Step4 進(jìn)行頻率補(bǔ)償后

將其再次迭代Step 1～3，得到最終的實(shí)際頻率

(11)

4 算法的仿真和性能分析

(12)

本文根據(jù)頻率估值歸一化頻率的RMSE與RMSE{CRLB}的對(duì)比來(lái)衡量綜合算法估計(jì)值的精確性:

(13)

4.1 估計(jì)性能分析

T_IIN算法的應(yīng)用必須符合奈奎斯特采樣定理，即2f0≤fs。也就是說(shuō)，若采樣頻率fs=1/T，該算法的估計(jì)頻率范圍即f0≤fs/2，所以推出δ∈[-0.5,0.5]。如圖1和圖2所示，當(dāng)頻率迭代插值次數(shù)Q={1，2}時(shí)在δ的變化范圍內(nèi)SNR在{-10 dB,-8 dB,-5 dB,0 dB,5 dB}條件下反映該算法的估計(jì)歸一化頻率的穩(wěn)定性。由圖可知，本估計(jì)器在殘余頻偏δ的變化范圍內(nèi)一直具有較高的穩(wěn)定度，隨著信噪比的急劇降低，當(dāng)SNR=-10 dB時(shí)，Q=1次迭代的結(jié)果在0.45≤δ≤0.5時(shí)仍逼近CRLB的1.023 9倍，而Q=2次迭代的結(jié)果也低于CRLB的1.002 1倍，說(shuō)明該算法具備極高的穩(wěn)定性。為進(jìn)一步判斷，在[-10 dB,10 dB]范圍內(nèi)，δ取{0,0.05,0.15,0.25,0.35,0.45}條件下在Q=1時(shí)獲得的歸一化頻率與RMSE{CRLB}的比較。

圖1 δ在[-0.5,0.5]內(nèi)Q=1時(shí)各信噪比下的RMSEFig.1 RMSE at each SNR when δ∈[-0.5,0.5] and Q=1

圖2 δ在[-0.5,0.5]內(nèi)Q=2時(shí)各信噪比下的RMSEFig.2 RMSE at each SNR when δ∈[-0.5,0.5] and Q=2

由圖3可知，在信噪比為0 dB以上時(shí)，歸一化頻率的RMSE隨著SNR增大有基本與 CRLB重合的趨勢(shì)，而隨著信噪比的降低，δ越大越偏離CRLB，但即使在信噪比為-10 dB時(shí)一直穩(wěn)定地逼近CRLB，綜上體現(xiàn)了本算法具備在極低信噪比下不受噪聲干擾的可靠性能。

圖3 SNR在[-10,5]dB范圍內(nèi)各殘余頻偏δ下的RMSEFig.3 RMSE under each remnant frequency δ when SNR∈[-10,5]dB

4.2 與經(jīng)典算法的估計(jì)性能比較

首先，將T_INN算法和經(jīng)典IIN、Quinn、Rife算法在SNR為{-8 dB，5 dB}條件下與CRLB漸近線進(jìn)行估計(jì)性能比較。由圖4仿真結(jié)果，5 dB信噪比下可以發(fā)現(xiàn)Rife算法在0≤δ≤0.25時(shí)性能差異大；IIN算法在此時(shí)卻可以逼近CRLB，但在0.25≤δ≤0.5時(shí)逐漸偏離理論曲線；Quinn正好與IIN算法相反，在偏離量化頻點(diǎn)時(shí)精度較高。

圖4 T_IIN與各經(jīng)典算法在5 dB下的RMSE比較Fig.4 Comparison of RMSE between T_IIN and classical algorithms under 5 dB

同樣，由圖5可知在-8 dB條件下各經(jīng)典算法在原先基礎(chǔ)上估計(jì)性能準(zhǔn)確性差距進(jìn)一步擴(kuò)大。所以，相對(duì)經(jīng)典算法可以得出綜合算法在Q={1，2}時(shí)均不隨信噪比的變化而影響其估值可靠性，而其他經(jīng)典算法可靠性相對(duì)較低。

圖5 T_IIN與各經(jīng)典算法在-8 dB下的RMSE比較Fig.5 Comparison of RMSE between T_IIN and classical algorithms under -8 dB

進(jìn)一步在δ=0.15和0.45的條件下重點(diǎn)比較Quinn、IIN與本算法性能，以Q=1時(shí)的一次迭代為例，仿真結(jié)果如圖6所示。由圖可見(jiàn)，δ值增大，IIN、Quinn算法對(duì)噪聲較為敏感，δ值越趨于0受噪聲的影響對(duì)CRLB的趨勢(shì)變化不大，所以這兩者的性能在信噪比門(mén)限下都明顯低于T_IIN迭代一次的算法。

圖6 SNR在[-10,5]dB范圍殘余頻偏δ下各經(jīng)典算法的比較Fig.6 Delta of classic algorithms comparison in residual frequency δ when SNR∈[-10,5]dB

4.3 與經(jīng)典算法的計(jì)算量比較

最后，比較四者的計(jì)算量,如表1所示。Rife算法和Quinn算法雖然運(yùn)算量小，但是算法本身的缺陷也較為明顯。相比于IIN算法，T_IIN僅多出1次復(fù)數(shù)乘法和3次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，但在極低信噪比的性能和0.25≤δ≤0.5的估計(jì)準(zhǔn)確性具有更高量級(jí)的表現(xiàn)。

表1 各經(jīng)典算法計(jì)算量大小的比較Tab.1 Comparison of the calculation among classical algorithms

5 結(jié) 論

本文提出了一種新的基于IIN算法的高精度內(nèi)插估計(jì)綜合算法。大量的Monte Caro仿真結(jié)果顯示，該算法具備非常高的精度逼近CRLB，同時(shí)具有極高的穩(wěn)定性和可靠性。在信噪比為-10 dB時(shí)，算法的精度也受IIN算法本身的影響，δ越大，越偏離CRLB漸近線。在計(jì)算量方面，該算法與IIN算法基本接近，且在Xilinx平臺(tái)Kintex-7具體軟件實(shí)現(xiàn)時(shí)，犧牲部分容量換取更高性能[13]的表現(xiàn)非常值得。新算法根據(jù)應(yīng)用場(chǎng)景的不同，可以選擇不同的迭代次數(shù)。通過(guò)實(shí)際工程，本算法除了在單一多普勒頻移條件下頻率估值表現(xiàn)優(yōu)異，在具有高動(dòng)態(tài)多普勒變化率下的載波同步中依然有極高的性能優(yōu)勢(shì)。

[1] 孫川，梅順良. 衛(wèi)星通信中多普勒頻偏的預(yù)校正[J].電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21(2)：224-228.

SUN Chuan,MEI Shunliang. Pre-correction of Doppler frequency offset in satellite communications[J].Chinese Journal of Radio Science,2006，21(2)：224-228.(in Chinese)

[2] 魏苗苗. 低信噪比大動(dòng)態(tài)下的同步技術(shù)研究[D].北京：中科院國(guó)家空間科學(xué)中心，2016.

WEI Miaomiao. Study onsynchronization technology under low signal-to-noise and large dynamic[D].Beijing:National Space Science Center of Chineses Academy of Sciences,2016.(in Chinese)

[3] 花江，王永勝，喻火根.衛(wèi)星通信技術(shù)現(xiàn)狀及展望[J].電訊技術(shù)，2014,54(5):674-681.

HUA Jiang,WANG Yongsheng,YU Huogen.Status and prospect of new techniques for satellite communication[J].Telecommunication Engineering,2014,54(5):674-681.(in Chinese)

[4] WANG Y B,LI L H. An improvement method of frequency offset estimation performace in communication system carrier synchronization[J].IEEE Transactions on Communication,2016:454-458.

[5] RIFE D C,VINCENT G A. Use of the discrete Fourier transform in the measurement of frequencies and Levels of tones[J].The Bell System Technical Journal,1978,52(2):1285-1290.

[6] 朱小勇,丁康. 離散頻譜校正方法的綜合比較[J].信號(hào)處理,2001,17(1):91-97.

ZHU Xiaoyong,DING Kang.Synthetic comparison of discrete spectrum correction methods[J].Signal Processing,2001,17(1):91-97.(in Chinese)[7] ZAKHAROV Y V,TOZER T C. Frequency estimator with dichotomous search of penodogram peak[J].Electronics Letters,1999,35(19):1608-1609.

[8] ABOUTANIOS E,MULGREW B. Iterative frequency estimation by interpolation on Fourier coefficients[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2005,53(4):1237-1242.

[9] 謝勝，陳航，于平,等.基于Quinn算法和相位差法的正弦波頻率估計(jì)綜合算法[J].信號(hào)處理,2011,27(5):771-775.

XIE Sheng,CHEN Hang,YU Ping,et al.Sinusoid wave frequency estimation combined algorithm based on Quinn algorithm and phase difference correction algorithm[J].Signal Processing,2011,27(5):771-775.(in Chinese)

[10] QUINN B G. Estimation of frequency,amplitude and phase from the DFT of a time series[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1997,45(3):814-817.

[11] QUINN B G. Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients[J].IEEE Transactions on Signal Processing,1994,42(5):1264-1268.

[12] ZHAO T,HUANG T. Cramer-Rao lower bounds for the joint delay-Doppler estimation of an extended target[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2016,64(6):1562-1573.

[13] ROMANO P， PAOLONE M. Enhanced interpolated-DFT for synchrophasor estimation in FPGAs:theory,implementation,and validation of a PMU prototype[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement,2014,63(12):2824-2836.

ANovelInterpolationAlgorithmwithHighAccuracyforT_IINFrequencyEstimation

XU Yong1,2，CHEN Haiteng1,2，LI Miao1,2

(1.National Mobile Satellite Communications Engineering Technology Research Center,Nanjing 210014,China; 2.Nanjing Panda Handa Technology Co.,Ltd.,Nanjing 210014,China)

In order to solve the difficult problem of frequency estimation of complex signal at the receiver in Doppler condition,a novel interpolation algorithm based on discrete Fourier transform (DFT) and iterative frequency estimation (IIN) is studied. Different from classical interpolation algorithms,the new algorithm makes full use of complex FFT results in the IIN algorithm on the basis of the real and imaginary parts of the value,and estimates the frequency parameters of complex signals by using the maximum peak frequency and the adjacent spectral lines with high precision on both sides of the interpolation. The simulation results show that the root mean square error(RMSE) of the proposed algorithm is close to 1.002 1 times the Cramer-Rao Lower bound (CRLB) when the signal-to-noise ratio (SNR) is -10 dB under the condition of two iterations. The proposed algorithm has higher accuracy,stability and reliability than the classical Rife,Quinn and IIN algorithms under the same condition.

satellite communication;iterative frequency estimation;discrete Fourier transform;interpolation algorithm

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.12.008

徐勇，陳海騰，李淼.一種新的極高精度的T_IIN頻率估計(jì)內(nèi)插算法[J].電訊技術(shù)，2017,57(12):1394-1398.[XU Yong，CHEN Haiteng，LI Miao.A novel interpolation algorithm with high accuracy for T_IIN frequency estimation[J].Telecommunication Engineering,2017,57(12):1394-1398.]

2017-04-21；

2017-06-21

date:2017-04-21；Revised date：2017-06-21

haitonchen@gmail.comCorrespondingauthorhaitonchen@gmail.com

TN911.7

A

1001-893X(2017)12-1394-05

徐勇(1983—)，男，江蘇泰州人，2008年于南京理工大學(xué)獲工學(xué)碩士學(xué)位，現(xiàn)為高級(jí)工程師、系統(tǒng)總師，主要從事衛(wèi)星移動(dòng)通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和規(guī)劃、衛(wèi)星信號(hào)處理等方面的關(guān)鍵技術(shù)研究；

Email:106316438@qq.com

陳海騰(1988—)，男，江蘇鹽城人，2013于中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)獲信息與通信工程專(zhuān)業(yè)工學(xué)碩士學(xué)位，現(xiàn)為中級(jí)工程師，主要從事衛(wèi)星信號(hào)處理、調(diào)制解調(diào)關(guān)鍵技術(shù)的研究；

Email:haitonchen@gmail.com

李淼(1989—)，女，浙江金華人，2015于南京林業(yè)大學(xué)獲儀器科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)業(yè)工學(xué)碩士學(xué)位，現(xiàn)為初級(jí)工程師，主要從事衛(wèi)星信號(hào)處理、調(diào)制解調(diào)關(guān)鍵技術(shù)的研究。

Email:965974560@qq.com