江蘇 張路民

從幾個(gè)不同角度思考一道平面向量題

江蘇 張路民

最近筆者聽(tīng)了一堂高三一輪復(fù)習(xí)課《平面向量基本定理和坐標(biāo)表示》，課堂上師生們?cè)诠餐接懸坏懒?xí)題時(shí)，經(jīng)歷了一些波折也遇到了一些困難，其中有些思路中途夭折未能進(jìn)行到底.筆者細(xì)細(xì)琢磨了一番，覺(jué)得甚是有趣，現(xiàn)將筆者的一些想法分享如下：

分析：這道題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的基本定理，研究的策略無(wú)非是基底法與幾何法.課堂上學(xué)生從不同角度進(jìn)行思考，但最終不是因?yàn)檫^(guò)程繁瑣就是思路卡殼難以進(jìn)行到底.

下面筆者就這個(gè)問(wèn)題分別從坐標(biāo)法、基底法和幾何法三個(gè)不同的角度對(duì)本題加以詮釋.

一、坐標(biāo)法

向量是既研究大小又研究方向的量，利用坐標(biāo)法解決向量問(wèn)題往往能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)化，另外我們都知道解決填空題有別于解答題，只要能算出答案就可以，其中特值特例就是一種非常有效且簡(jiǎn)易的手段.本題可以將問(wèn)題特殊化即把梯形看成直角梯形，為使計(jì)算方便還可以將邊長(zhǎng)取特殊值.

解法1：將梯形ABCD看成直角梯形，且設(shè)AB=4，AD=2,如圖建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合2DC=AB,M,N分別是DC,BC中點(diǎn)，則A(0,0),B(4,0),D(0,2),C(2,2)，M(1,2),N(3,1).

小結(jié)：本題巧妙地利用了梯形的任意性，采用特殊代替一般的處理原則，使問(wèn)題解決簡(jiǎn)捷快速.因此，這一方法對(duì)于解決選擇題和填空題非常有效，但此方法處理并不具有普遍性，需要解題者自己去把握與權(quán)衡.

二、基底法

平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)的任一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)的所有向量的一組基底.因此在具體操作過(guò)程中,選取哪兩個(gè)向量作為e1、e2以及如何用選取的e1、e2表示a，將是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在.

三、幾何法

向量題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、熱點(diǎn)考點(diǎn).解題時(shí)可以從數(shù)與形兩個(gè)角度考慮，代數(shù)法證明思維量小但計(jì)算量都較大.相對(duì)于代數(shù)法,幾何法的優(yōu)勢(shì)在于直觀且計(jì)算量小,找到向量的幾何意義后,問(wèn)題就能迎刃而解,它是求解向量問(wèn)題的有效策略之一,對(duì)于運(yùn)用幾何法解決向量題應(yīng)該引起我們足夠的重視.

解法4：如圖，延長(zhǎng)AN與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

因?yàn)镈C∥AB,點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，

所以CEAB,AN=NE，即

又因?yàn)辄c(diǎn)M是DC中點(diǎn)且AB=2CD，

解法5：如圖，連接BD,連接MN并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

解法6：如圖，延長(zhǎng)AM,BC交于點(diǎn)E,

因?yàn)锳B∥DC,且AB=2DC，

又點(diǎn)M為DC中點(diǎn)，所以AE=4ME,BE=4CE,

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