安徽 陳曉明

對(duì)一道函數(shù)不等式證明題的探究

安徽 陳曉明

近年來(lái)，函數(shù)不等式的證明題在高考的舞臺(tái)十分活躍，而且經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題的位置．因此，對(duì)函數(shù)不等式的證明方法的探究變得很有意義．下面筆者以一道自編題為例，回顧課堂上學(xué)生精彩的探究歷程，以求掌握這類(lèi)題型的通性通法，從而更好地備考！

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)xgt;1時(shí)，證明：f(x)lt;g(x)．

給時(shí)間讓學(xué)生充分思考，然后一起討論交流．結(jié)果學(xué)生各抒己見(jiàn)，給出了不同的嘗試，課堂精彩紛呈！

解法分析：

第(Ⅰ)小題比較簡(jiǎn)單，易知f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)．對(duì)于第(Ⅱ)小題，學(xué)生有不同的思路，從而有不同的嘗試．

嘗試1：

運(yùn)用證函數(shù)不等式最為常用的作差法．

接下來(lái)只需證F(x)lt;0．于是對(duì)F(x)求導(dǎo)，求F(x)max，只需F(x)maxlt;0即可．

所以求F(x)max實(shí)在太復(fù)雜，故這種嘗試以失敗告終，需另辟蹊徑！

嘗試2：

即證3x-3≤(2x-1)ex-1(xgt;1)．

令h(x)=3x-3-(2x-1)ex-1(xgt;1)，

則h′(x)=3-[2ex-1+(2x-1)ex-1]

=3-(2x+1)ex-1lt;0(xgt;1)，

所以h(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)，

所以h(x)lt;h(1)=-1lt;0，

即3x-3-(2x-1)ex-1lt;0，

故3x-3lt;(2x-1)ex-1．

從而原命題得證．看來(lái)“定海神針”真是管用！

嘗試3：

利用常用不等式ex≥x+1(x=0時(shí)取等號(hào))對(duì)原不等式進(jìn)行放縮．該不等式是對(duì)ex進(jìn)行放縮的一個(gè)“定海神針”！滲透了轉(zhuǎn)化思想．

因?yàn)閑x≥x+1(x=0時(shí)取等號(hào))，

所以ex-1≥x(x=1時(shí)取等號(hào))．①

所以g(x)=xex-1gt;x2(xgt;1)．

從而原命題得證．“定海神針”再現(xiàn)威力！

即證3x-3≤2x2-x(xgt;1)，

即證2x2-4x+3≥0(xgt;1)．②

而②式易證．

這樣其實(shí)是同時(shí)利用了兩個(gè)“定海神針”進(jìn)行放縮，收到了更為簡(jiǎn)潔的效果．

啟示：以后遇到含有l(wèi)nx或ex的函數(shù)不等式證明題，可嘗試兩個(gè)“定海神針”．

嘗試4：

利用最值法，證f(x)maxlt;g(x)min(*)．

這種嘗試是有風(fēng)險(xiǎn)的，因?yàn)?*)式只是原命題成立的一個(gè)充分不必要條件，即原命題成立，而(*)式不一定成立．

這里不妨一試．而直接求f(x)max與g(x)min比較麻煩，甚至無(wú)最值．

為了方便，不妨對(duì)原不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化．

要證f(x)lt;g(x)(xgt;1)，

F′(x)的符號(hào)由分子決定．

令φ(x)=lnx-x+2(xgt;1)，

所以φ(x)在(1,+∞)上為減函數(shù)．

因?yàn)棣?3)=ln3-3+2=ln3-1gt;0，

φ(4)=ln4-4+2=ln4-2lt;0，

所以φ(3)φ(4)lt;0，

所以φ(x)在(3,4)上有唯一零點(diǎn)x0．

所以F(x)在(1,x0)上為增函數(shù)，在(x0,+∞)上為減函數(shù)．

因?yàn)棣?x0)=0，

所以lnx0-x0+2=0，⑥

所以lnx0=x0-2．

點(diǎn)評(píng)：這里利用隱零點(diǎn)(x0設(shè)而不求)的定義得到方程⑥，從而對(duì)lnx0進(jìn)行巧妙地代換(這與前面的“定海神針”在轉(zhuǎn)化上有異曲同工之妙！)，再由隱零點(diǎn)x0的范圍利用放縮法得證．這是高考全國(guó)卷(Ⅰ)比較喜歡考查的方法，如2012，2015年全國(guó)卷(Ⅰ)(文科)導(dǎo)數(shù)題都有幾乎完全相同的方法．在其它省市的高考及各級(jí)各類(lèi)的聯(lián)考，?？贾幸哺菍乙?jiàn)不鮮，我們可統(tǒng)稱(chēng)為“隱零點(diǎn)問(wèn)題”．

反思：在嘗試4中由③式轉(zhuǎn)化為④式，還有其它轉(zhuǎn)化方式嗎？如果有，該如何求解？

對(duì)于⑤式，我們還能將它轉(zhuǎn)化為哪些形式？該如何證明？

所有這些問(wèn)題，讓學(xué)生課后接著探究，將課堂延伸到課外……

教學(xué)思考：

到這里，我想起葉瀾教授曾說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線(xiàn)而沒(méi)有激情行程．”

正如美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說(shuō)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”．當(dāng)然，要做到這點(diǎn)，首先教師對(duì)試題的本身要有深入的研究，其次，對(duì)學(xué)生的課堂參與要給予足夠的激勵(lì)和引導(dǎo)．把課堂還給學(xué)生，注意傾聽(tīng)他們的聲音，點(diǎn)燃他們思維之火，讓數(shù)學(xué)課堂成為師生向往的樂(lè)園！

結(jié)束語(yǔ)

安徽省寧國(guó)中學(xué))