陳澤國(guó) 吳瑩

(阿卜杜拉國(guó)王科技大學(xué)計(jì)算機(jī)電子和數(shù)學(xué)學(xué)院,圖瓦 23955-6900,沙特阿拉伯)

聲子晶體中的多重拓?fù)湎?

陳澤國(guó) 吳瑩?

(阿卜杜拉國(guó)王科技大學(xué)計(jì)算機(jī)電子和數(shù)學(xué)學(xué)院,圖瓦 23955-6900,沙特阿拉伯)

(2017年7月31日收到;2017年10月27日收到修改稿)

研究了圓環(huán)型波導(dǎo)依照蜂窩結(jié)構(gòu)排列的聲子晶體系統(tǒng)中的拓?fù)湎嘧?利用晶格結(jié)構(gòu)的點(diǎn)群對(duì)稱性實(shí)現(xiàn)贗自旋,并在圓環(huán)中引入旋轉(zhuǎn)氣流來(lái)打破時(shí)間反演對(duì)稱性.通過(guò)緊束縛近似模型計(jì)算的解析結(jié)果表明,沒(méi)有引入氣流時(shí),調(diào)節(jié)幾何參數(shù),系統(tǒng)存在普通絕緣體和量子自旋霍爾效應(yīng)絕緣體兩個(gè)相;引入氣流后,可以實(shí)現(xiàn)新的時(shí)間反演對(duì)稱性破缺的量子自旋霍爾效應(yīng)相,而增大氣流強(qiáng)度,則可以實(shí)現(xiàn)量子反常霍爾效應(yīng)相.這三個(gè)拓?fù)湎嗫梢酝ㄟ^(guò)自旋陳數(shù)來(lái)分類.通過(guò)有限元軟件模擬了多個(gè)系統(tǒng)中邊界態(tài)的傳播,發(fā)現(xiàn)不同于量子自旋霍爾效應(yīng)相,量子反常霍爾相系統(tǒng)的表面只支持一種自旋的邊界態(tài),并且它無(wú)需時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù).

聲子晶體,拓?fù)?量子反?；魻栃?yīng)

1 引 言

波與物質(zhì)的相互作用的研究是一個(gè)長(zhǎng)盛不衰的課題.無(wú)論從波的類型,例如機(jī)械波、電磁波、電子波、引力波等出發(fā),還是從作用機(jī)理,譬如散射、折射、干涉、衍射、吸收等考慮,其研究成果都極大地豐富了人們對(duì)自然界的認(rèn)識(shí).其中,波在周期性結(jié)構(gòu)中的傳播,因?yàn)槠渲芷诮Y(jié)構(gòu)的布拉格散射和局域共振特性帶來(lái)的奇異的色散關(guān)系,已成為新世紀(jì)以來(lái)的研究熱點(diǎn).一個(gè)典型的例子是周期性結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)會(huì)體現(xiàn)出帶隙,其對(duì)應(yīng)的頻率不支持波的傳播,使得系統(tǒng)在帶隙頻率范圍內(nèi),可以看成是波的絕緣體[1,2].

帶隙的范圍可以通過(guò)求解能帶問(wèn)題的本征值得到,和本征波函數(shù)無(wú)關(guān).20世紀(jì)80年代,整數(shù)量子霍爾效應(yīng)(IQHE)的發(fā)現(xiàn)[3]讓人們意識(shí)到在考慮本征波函數(shù)之后,帶隙可以通過(guò)拓?fù)鋪?lái)進(jìn)行分類.拓?fù)涫莻€(gè)數(shù)學(xué)概念,是用來(lái)研究物體在連續(xù)平滑變化下保持不變的性質(zhì).這個(gè)性質(zhì)通常用拓?fù)洳蛔兞縼?lái)描述.帶隙可以通過(guò)計(jì)算其拓?fù)洳蛔兞?被分類為拓?fù)淦接购屯負(fù)浞瞧接沟?兩者的界面上存在單向傳播的邊界態(tài).一個(gè)拓?fù)浞瞧接沟睦泳褪钦麛?shù)量子霍爾效應(yīng),它是指在強(qiáng)磁場(chǎng)下,二維電子氣體的電子能譜形成分立的朗道能級(jí),當(dāng)電子的費(fèi)米能處在能隙中時(shí),體系的霍爾電導(dǎo)率為整數(shù)的現(xiàn)象.這個(gè)整數(shù)化的霍爾電導(dǎo),后來(lái)被證實(shí)可以用拓?fù)鋽?shù)來(lái)描述σxy=Ce2/h,C就是一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?又被稱為陳數(shù)[4].可以用整數(shù)量子霍爾效應(yīng)來(lái)類比的絕緣體,又被稱為陳絕緣體.IQHE需要強(qiáng)磁場(chǎng)來(lái)打破時(shí)間反演對(duì)稱性.最近,新的一類保持時(shí)間反演對(duì)稱性的拓?fù)鋺B(tài)被提了出來(lái),不同于IQHE,它對(duì)應(yīng)的陳數(shù)為0,但是它的自旋霍爾電導(dǎo)率是非零量子化的,這類拓?fù)鋺B(tài)被稱為量子自旋霍爾效應(yīng)(QSH),類比的絕緣體又被稱為拓?fù)浣^緣體或者QSH絕緣體[5?7].由于這類絕緣體的陳數(shù)為0,因此它們需要用新的拓?fù)洳蛔兞縕2[8]或者自旋陳數(shù)[9]來(lái)描述.需要指出的是,拓?fù)鋪?lái)描述的物質(zhì)態(tài)遠(yuǎn)不止這兩類,任何被“周期勢(shì)”驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng),都可以定義拓?fù)鋄10].

這類用拓?fù)涿枋龅奈镔|(zhì)態(tài),由于其在邊界上具有魯棒性的邊界態(tài),在自旋電子學(xué)以及量子計(jì)算中擁有廣闊的前景[11?13].人們同時(shí)也考慮了其在光子和聲子系統(tǒng)中的應(yīng)用[14?21].這里,我們注意到光子和聲子與電子主要有兩點(diǎn)不同:1)電子對(duì)磁場(chǎng)有響應(yīng),引入磁場(chǎng)可以打破時(shí)間反演對(duì)稱性從而實(shí)現(xiàn)陳絕緣體,而光子或者聲子對(duì)外加磁場(chǎng)的響應(yīng)不同[15,16,22];2)電子是費(fèi)米子,擁有半整數(shù)自旋,而聲子和光子是玻色子,這兩種粒子對(duì)于時(shí)間反演操作的響應(yīng)是不同于費(fèi)米子的,因而通常在時(shí)間反演對(duì)稱性的系統(tǒng)下沒(méi)有Kramers簡(jiǎn)并,也就不能簡(jiǎn)單地類比出自旋簡(jiǎn)并[23?27].

本文考慮圓環(huán)波導(dǎo)組合而成的聲子晶體系統(tǒng)[28,29].通過(guò)在圓環(huán)中增加氣流,發(fā)現(xiàn)氣流對(duì)聲波傳播的調(diào)制作用可以類比于磁場(chǎng)對(duì)電子的調(diào)制,從而在聲子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)時(shí)間反演破缺.同時(shí),采用特定的C6v晶格,通過(guò)晶格對(duì)稱性來(lái)類比出Kramers簡(jiǎn)并,構(gòu)造出可以類比于電子系統(tǒng)中的自旋.這個(gè)系統(tǒng)提供了一個(gè)很好的平臺(tái),可以通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的幾何參數(shù)或者外加氣流強(qiáng)度,類比出陳絕緣體或者拓?fù)浣^緣體.我們先實(shí)現(xiàn)聲學(xué)中的拓?fù)浣^緣體;進(jìn)一步地,考慮在這個(gè)拓?fù)浣^緣體系統(tǒng)中引入時(shí)間反演破缺,通過(guò)理論計(jì)算以及數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的拓?fù)湎?稱作量子反?；魻栂?QAH)[30,31],可以用自旋陳數(shù)來(lái)描述.不同于具有手性邊界態(tài)(和自旋無(wú)關(guān))的IQHE絕緣體以及具有一對(duì)螺旋形邊界態(tài)的QSH絕緣體,我們提出的QAH絕緣體,它在邊界上只有一支自旋鎖定的手性邊界態(tài)[32].這支自旋鎖定的手性邊界態(tài),它無(wú)需時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù),因此對(duì)于實(shí)現(xiàn)實(shí)際系統(tǒng)中的波的無(wú)損傳播有很大的應(yīng)用價(jià)值.

2 聲子晶體系統(tǒng)模型與能帶

我們的系統(tǒng)是一個(gè)二維三角晶格聲子晶體:它是一個(gè)剛性邊界的環(huán)形波導(dǎo)網(wǎng)格結(jié)構(gòu),其原胞是由六個(gè)固定內(nèi)外半徑的圓環(huán)以及固定寬度的矩形波導(dǎo)組合而成,如圖1(a)所示.在這里取圓環(huán)的內(nèi)半徑為r1=0.0875 m,外半徑為r2=0.125 m,矩形波導(dǎo)的寬度為d=0.015 m,晶格常數(shù)為a=1 m,同時(shí)設(shè)置圓環(huán)中心距離原胞中心的距離為一個(gè)可調(diào)節(jié)的變量R.

圖1 圓環(huán)波導(dǎo)型聲子晶體的原胞與本征態(tài) (a)圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為r1=0.0875 m,r2=0.125 m,圓環(huán)通過(guò)直徑為d=0.015 m矩形波導(dǎo)的連接,六個(gè)圓環(huán)構(gòu)成聲子晶體的原胞,其晶格常數(shù)為a=1 m;圓環(huán)內(nèi)部引入順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的氣流,氣流的速度大小為v,圓環(huán)距離中心的距離R是個(gè)可以調(diào)節(jié)的參數(shù);(b)為圖(a)所示的聲子晶體的本征態(tài),可以通過(guò)對(duì)稱性來(lái)分類,其中E1表示態(tài)對(duì)于x和y平面的鏡像操作具有相反的宇稱;E2表示態(tài)對(duì)于x和y平面的鏡像操作具有相同的宇稱Fig.1.The unit cell and eigenstate of the ring waveguide type phononic cystal:(a)The unit cell with lattice constant a=1 m contains a hollow ring with inner and outer radii r1=0.0875 m and r2=0.125 m,respectively.Inside the ring,the air flows clockwise with a velocity field distribution V=veθ,the distance between the ring and the center is R and is tunable;(b)four eigenstates at our interested frequency classified by symmetries.

周期性結(jié)構(gòu)中聲波可以寫成布洛赫波的形式,具有能帶結(jié)構(gòu).而從群論的角度來(lái)看,其Γ點(diǎn)的波函數(shù)又和系統(tǒng)的對(duì)稱性相關(guān).在三角晶格中,任何一個(gè)Γ點(diǎn)的波函數(shù)都是C6v群的一個(gè)不可約表示,其中有兩個(gè)是二維的,分別為E1表示和E2表示.如圖1(b)所示,E1表示意味著態(tài)對(duì)于σx操作和σy操作具有相反的宇稱,E2表示對(duì)應(yīng)于態(tài)對(duì)σx操作和σy操作具有相同的宇稱,它們都是二重簡(jiǎn)并的[33].這就意味著可以根據(jù)基本的C6操作組合出一個(gè)反幺正算符Ts滿足,正是這個(gè)負(fù)號(hào),使得我們可以根據(jù)二維不可約表示的兩個(gè)態(tài)構(gòu)造出贗自旋[23],具有這樣贗自旋的準(zhǔn)粒子可以類比為自旋?1/2的費(fèi)米子.需要指出的是,這個(gè)聲子晶體是個(gè)玻色子系統(tǒng),其“費(fèi)米子”的特性是和三角晶格對(duì)稱性息息相關(guān)的[34,35].

圖2展示了a/R=2.9和a/R=3.1兩種情況下的能帶,這里用Γ點(diǎn)的態(tài)來(lái)標(biāo)記能帶.可以看到在a/R=3.1時(shí),E1態(tài)的頻率低于E2態(tài).而增大R可以使得能帶翻轉(zhuǎn),從而E1態(tài)的頻率高于E2態(tài).a/R=3,就是一個(gè)臨界點(diǎn),態(tài)E1與態(tài)E2構(gòu)成一個(gè)二重簡(jiǎn)并的“雙狄拉克錐”.實(shí)際上在a/R=3時(shí),系統(tǒng)可以看成一個(gè)復(fù)式六角晶格,每個(gè)原胞里有兩個(gè)圓環(huán),這個(gè)雙狄拉克錐是由六角晶格K點(diǎn)處的狄拉克錐折疊形成的.

以這兩個(gè)簡(jiǎn)并的態(tài)(E1和E2)為基,可以根據(jù)其對(duì)稱性構(gòu)造出能帶.在二次量子化的框架下,用緊束縛近似,可以將系統(tǒng)的總能量表示為

這里A,E0,D,M0,B是通過(guò)耦合系數(shù)定義模型參數(shù),分別表示為:

方程(1)描述的哈密頓量與描述CdTe/HgTe/CdTe量子阱的Bernevig-Hughes-Zhang(BHZ)模型類似[37].在BHZ模型中,系統(tǒng)蘊(yùn)含著一個(gè)拓?fù)湎嘧?取決于M0B的符號(hào).如果M0B＜0,系統(tǒng)是個(gè)普通的絕緣體,如果M0B＞0,系統(tǒng)是個(gè)QSH絕緣體.注意到在我們的系統(tǒng)中,B＞0,因此系統(tǒng)具體處在哪個(gè)相,可以由M0的符號(hào)來(lái)決定,而M0的符號(hào)與E1態(tài)和E2態(tài)的相對(duì)頻率有關(guān).如圖2所示,如果E1態(tài)的頻率低于E2態(tài),系統(tǒng)是個(gè)普通絕緣體;如果E1態(tài)的頻率高于E2態(tài),系統(tǒng)是個(gè)QSH絕緣體.

下面研究自旋簡(jiǎn)并破缺的情形下系統(tǒng)的拓?fù)湎嗟霓D(zhuǎn)變.這里采用在圓環(huán)中加順時(shí)針?lè)较驓饬鞯姆绞狡迫毕到y(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性來(lái)破缺自旋簡(jiǎn)并,氣流速度分布如下式:

圖2 不引入氣流下的兩種聲子晶體 (a)參數(shù)a/R=3.1,E1態(tài)的頻率低于E2態(tài),系統(tǒng)是個(gè)普通絕緣體(系統(tǒng)I);(b)參數(shù)a/R=2.9,E1態(tài)的頻率高于E2態(tài),系統(tǒng)是個(gè)量子自旋霍爾效應(yīng)絕緣體(系統(tǒng)II)Fig.2.Two phononic crystals without air flow:(a)The frequency of E1state is lower than E2state when a/R=3.1,the system is a conventional insulator(system I);(b)the frequency of E1state is higher than E2state when a/R=2.9,the system is a QSH insulator(system II).

圖3 (a)引入氣流后,Γ點(diǎn)的本征態(tài)隨著外加氣流的變化;(b)引入氣流后,系統(tǒng)的對(duì)稱性從C6v降到C6,可以用其矩形波導(dǎo)內(nèi)部能流的方向類比為自旋,這里定義逆時(shí)針能流為自旋向上;(c)考慮兩種聲子晶體系統(tǒng),隨著外加氣流變化,其能帶演化的示意圖,其中灰色區(qū)域代表全帶隙,隨著氣流的增大,可以看到能帶的閉合與翻轉(zhuǎn);(d)系統(tǒng)的拓?fù)湎鄨D,改變參數(shù)R和外加氣流強(qiáng)度v,系統(tǒng)一共呈現(xiàn)三個(gè)相,分別用不同自旋陳數(shù)表示Fig.3.(a)The change of eigenfrequencies at the Γ point as functions of the introduced external air flow;(b)the illustration of pseudo-spin up component when we introduce the air flow that breaks the TR symmetry and changes the symmetry of the system from C6vto C6;(c)a schematic of the evolution of the band under an increasing external air flow V,gray area indicates a bandgap;there are two initial phases:(i)a conventional insulator phase when a/R＞3;(ii)a QSH phase when a/R＜3;increasing V splits the degeneracies of pseudospins,resulting in a gap closing and reopening process;(d)a schematic diagram to illustrate the topological phase transitions in our system.the three distinct phases are classi fied by di ff erent spin Chern numbers.

這里eθ是沿著逆時(shí)針?lè)较虻膯挝皇噶?v是速度場(chǎng)的幅值.這時(shí)聲波在引入氣流的系統(tǒng)中的傳播可以由如下方程描述:

其中?是速度勢(shì),ρ和c是空氣的密度和聲速,ω是聲波角頻率,v是(2)式描述的環(huán)形氣流速度場(chǎng)分布.這個(gè)新引入的速度場(chǎng),將系統(tǒng)的點(diǎn)群對(duì)稱性從C6v降低到C6.如圖3(b)所示,贗自旋態(tài)和的對(duì)稱性是和C6群的不可約表示一致的.在這里用矩形波導(dǎo)內(nèi)部逆時(shí)針聲能流代表自旋向上的態(tài).氣流引入的同時(shí)使得原本簡(jiǎn)并的能級(jí)劈裂,E1態(tài)和E2態(tài)的簡(jiǎn)并都被打開(kāi),贗自旋態(tài)的頻率發(fā)生變化.考慮a/R=2.9的情形,隨著圓環(huán)內(nèi)氣流的增大,聲波在圓環(huán)內(nèi)的本征頻率發(fā)生改變,利用商業(yè)有限元軟件COMSOL計(jì)算原胞本征頻率隨著氣流的變化(圖3(a)).可以看出其中自旋向上的態(tài)與自旋向下的態(tài)頻率升高,自旋向下的態(tài)與自旋向上的態(tài)頻率降低.同時(shí),由于疊加原理,圓環(huán)的本征頻率隨著氣流有一個(gè)線性的變化關(guān)系,這導(dǎo)致原胞的本征頻率變化與氣流也呈圖3(a)所示的線性關(guān)系.這也暗示了氣流對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)可以看作塞曼效應(yīng)中引入的磁矢勢(shì)[22].

將引入的氣流視作對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)微擾,其哈密頓量可以寫為

先研究在外加氣流下能帶的翻轉(zhuǎn)情況.如圖3(c)所示,先考慮a/R＞3的情形,根據(jù)前面的分析,當(dāng)外加氣流為0時(shí)系統(tǒng)處于普通絕緣體,而當(dāng)氣流逐漸增大,能帶將發(fā)生劈裂,同時(shí)系統(tǒng)的帶隙會(huì)漸漸閉合,直到外加氣流達(dá)到某個(gè)臨界值之后再打開(kāi),圖中灰色區(qū)域代表著全帶隙.我們的討論同樣適用于a/R＜3的情形,這種帶隙在外加氣流的作用下閉合又打開(kāi)的過(guò)程,暗示著系統(tǒng)可能經(jīng)歷一個(gè)拓?fù)湎嘧?下面先通過(guò)理論分析來(lái)研究系統(tǒng)的拓?fù)湎嗟霓D(zhuǎn)變過(guò)程.

3 拓?fù)洳蛔兞颗c相圖

首先用泡利矩陣重新描述引入氣流后的微擾哈密頓量:

在計(jì)算(5)式中的拓?fù)洳蛔兞恐?先介紹描述電子在Bi2Se3薄膜中運(yùn)動(dòng)的有效哈密頓量其自旋陳數(shù)可以解析求得[32,38]:

接下來(lái)對(duì)(5)式所描述的哈密頓量進(jìn)行一個(gè)幺正變化,得到新的哈密頓量Hs(k)=S?H(k)S,其中

比較哈密頓量Hs(k)和H1(k)的本征值與本征矢量,可以發(fā)現(xiàn)有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:

我們知道,自旋陳數(shù)的求解僅僅依賴于本征值以及對(duì)應(yīng)的本征矢量,因此可以將(6)式中的M0替換為M0±g0.從而得到哈密頓量H(k)的自旋陳數(shù)的表達(dá)式:

在我們的系統(tǒng)中,B＞0,改變圓環(huán)離中心的距離R會(huì)調(diào)節(jié)M0的符號(hào),g0的符號(hào)由氣流的方向決定.固定氣流的方向使得g0＞0,增大外加氣流的速度V會(huì)增大g0.通過(guò)(7)式,可以將系統(tǒng)分為幾個(gè)相(如圖3(d)所示):

1)普通絕緣體相,如圖2(a)所示,M0＜0,g0＜|M0|,這時(shí)有C±=(0,0);

2)量子自旋霍爾效應(yīng)相,如圖2(b)所示,M0＞0,g0＜|M0|,這時(shí)有C±=(1,?1);

3)量子反?；魻栃?yīng)相,如圖4所示,取v=8 m/s,這時(shí)有g(shù)0＞|M0|,考慮兩種情形M0＜0(圖4(a))和M0＞0(圖4(b)),都有C±=(1,0).

從以上的分析中不難看出,對(duì)于某個(gè)特定的贗自旋,如果其自旋陳數(shù)取值為0,則對(duì)應(yīng)于平庸的絕緣體,如果其自旋陳數(shù)取值為非零,那就是個(gè)非平庸的絕緣體.這意味著如果用這兩種絕緣體構(gòu)造出一個(gè)邊界,那么邊界上將存在著邊界態(tài),這個(gè)邊界態(tài)會(huì)和特定的自旋相關(guān).下面通過(guò)有限元軟件模擬,來(lái)驗(yàn)證邊界上的邊界態(tài)與自旋的關(guān)系.

圖4 引入順時(shí)針強(qiáng)度為v=8 m/s的氣流下的兩種聲子晶體 (a)a/R=3.1(系統(tǒng)III);(b)a/R=2.9(系統(tǒng)IV);與圖2相比,這兩種聲子晶體也在560 Hz附近呈現(xiàn)全帶隙,不同之處在于這兩種聲子晶體可以等價(jià)于量子反?；魻栃?yīng)(QAH)絕緣體,其自旋陳數(shù)為C±=(1,0)Fig.4.Two phononic crystals with v=8 m/s:(a)a/R=3.1(system III);(b)a/R=2.9(system IV).Compared with Fig.2,all of these phononic crystals have a global bandgap around 560 Hz,and the di ff erence is that these two phononic crystals are topologically identical to QAH insulators with C±=(1,0).

圖5 超原胞邊界態(tài) (a)用圖2(a)中的聲子晶體I和圖4(b)中的聲子晶體IV構(gòu)造出的新的聲子晶體系統(tǒng),共包含20個(gè)原胞,其投影能帶色散關(guān)系,圖中顯示了系統(tǒng)在邊界上支持向右傳播的自旋向上的邊界態(tài);(b)系統(tǒng)由圖2(b)中的聲子晶體II和圖4(b)中的聲子晶體IV組成,圖中顯示了系統(tǒng)在邊界上支持向右傳播的自旋向下的邊界態(tài)Fig.5.Projected band structures and edge states:(a)Dispersion relation for a ribbon-shaped 2D topological phononic crystal with 20 unit cells formed by systems I and IV,it shows the edge state with counterclockwise acoustic energy flux on the right interface,the pink arrows represent the pseudospins;(b)the same as(a)but for systems II and IV.It shows the edge state with clockwise acoustic energy flux.

4 超原胞與邊界態(tài)

構(gòu)造了兩個(gè)聲子晶體系統(tǒng)來(lái)研究邊界態(tài)的情況.第一個(gè)聲子晶體是由圖2(a)的普通絕緣體(系統(tǒng)I)和圖4(b)的QAH絕緣體(系統(tǒng)IV)組成的三明治結(jié)構(gòu),其超原胞由20個(gè)原胞組成,每個(gè)超原胞含有兩個(gè)界面.兩種絕緣體在560 Hz附近擁有共同的帶隙,計(jì)算得到其投影能帶,可以發(fā)現(xiàn)有兩條邊界態(tài),這兩條邊界態(tài)分別對(duì)應(yīng)著兩條邊界,如圖5(a)所示.根據(jù)先前的理論分析,普通絕緣體的自旋陳數(shù)為C±=(0,0),而QAH絕緣體的自旋陳數(shù)為C±=(1,0).因此對(duì)于自旋向下的態(tài)而言,其自旋陳數(shù)都為C?=0,系統(tǒng)I和系統(tǒng)IV對(duì)于自旋向下的態(tài)而言都是個(gè)平庸的絕緣體,在邊界上沒(méi)有自旋向下的態(tài);而對(duì)于自旋向上的態(tài)而言,系統(tǒng)I的自旋陳數(shù)為0,系統(tǒng)III的自旋陳數(shù)為1,因此在邊界上有一條邊界態(tài).如圖5(a)所示,觀察邊界態(tài)的場(chǎng)分布,可以發(fā)現(xiàn)單胞里矩形波導(dǎo)的聲強(qiáng)呈逆時(shí)針?lè)植?對(duì)應(yīng)于定義中的自旋向上的態(tài).

類似的分析同樣適用于第二個(gè)聲子晶體,它是由圖2(b)的QSH絕緣體(系統(tǒng)II)和圖4(b)的QAH絕緣體(系統(tǒng)IV)組成的三明治結(jié)構(gòu),兩種絕緣體也在560 Hz附近擁有共同的帶隙.同樣地,根據(jù)先前的理論分析,QSH絕緣體的自旋陳數(shù)為C±=(1,?1),因此對(duì)于自旋向上的態(tài)而言,系統(tǒng)II和系統(tǒng)IV在拓?fù)渖鲜堑葍r(jià)的,都有C+=1;而對(duì)于自旋向下的態(tài),它們?cè)谕負(fù)渖喜坏葍r(jià),如圖5(b)所示,可以觀察到自旋向下的邊界態(tài).在這里強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),雖然對(duì)于自旋向上的態(tài)而言,系統(tǒng)II和IV都是拓?fù)浞瞧接沟?但是由于它們?cè)谕負(fù)渖系葍r(jià),所以并沒(méi)有自旋向上的邊界態(tài)出現(xiàn).

5 波的傳播特性

從超原胞色散分析可以發(fā)現(xiàn),如果用系統(tǒng)I或者系統(tǒng)II與系統(tǒng)IV構(gòu)成一個(gè)界面,那么這個(gè)界面會(huì)支持邊界態(tài)的傳播,并且這個(gè)邊界態(tài)是和自旋相關(guān)的.我們通過(guò)商業(yè)有限元軟件COMSOL模擬波的傳播特性來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn).先構(gòu)造一個(gè)由系統(tǒng)I和系統(tǒng)IV組成的界面,其原胞數(shù)目為20×20,整個(gè)系統(tǒng)的邊界是自由輻射邊界.如圖6(a)所示,在界面處引入聲源之后,可以很明顯地發(fā)現(xiàn)聲波朝右傳播,進(jìn)一步分析傳播的態(tài)可以發(fā)現(xiàn),這個(gè)態(tài)是自旋向上的.實(shí)際上這里采用的聲源包含自旋向上與自旋向下兩個(gè)分量,但是這個(gè)界面只支持向右傳播的自旋向上的分量,如果采用自旋向下的聲源,整個(gè)系統(tǒng)會(huì)展示出帶隙行為.

同時(shí)研究了系統(tǒng)II與系統(tǒng)IV構(gòu)成的界面,整個(gè)系統(tǒng)尺寸大小和先前一致.同樣的分析也適用于這個(gè)系統(tǒng):對(duì)于自旋向上的分量而言,系統(tǒng)II與系統(tǒng)IV都有C+=1,于是他們?cè)谕負(fù)渖鲜堑葍r(jià)的;而對(duì)于自旋向下的分量,兩者在拓?fù)渖鲜遣坏葍r(jià)的,因此如圖6(b)所示,這個(gè)界面只支持向右傳播的自旋向下的邊界態(tài).

需要指出的是,這里發(fā)現(xiàn)的自旋向上或者自旋向下的邊界態(tài)與之前在陳絕緣體或者量子自旋霍爾效應(yīng)絕緣體都不同.陳絕緣體在邊界上有手性的(chiral)邊界態(tài),這個(gè)邊界態(tài)是包含兩個(gè)自旋的;量子自旋霍爾效應(yīng)絕緣體在邊界上有螺旋形的(helical)邊界態(tài),這兩條邊界態(tài)根據(jù)不同的自旋分為沿著逆時(shí)針和順時(shí)針?lè)较騻鞑?但是在本文的系統(tǒng)中得到的邊界態(tài)只有一條,且只有一個(gè)自旋,因此可以稱為自旋鎖定的手性邊界態(tài).

圖6 單向傳播的邊界態(tài) (a)考慮由聲子晶體I和IV構(gòu)成的界面,對(duì)于自旋向上分量而言,其拓?fù)洳坏葍r(jià),因此如果用一個(gè)普通的聲源在界面中間激發(fā)聲波,可以觀測(cè)到向右傳播的自旋向上的邊界態(tài);(b)考慮由聲子晶體II和IV構(gòu)成的界面,對(duì)于自旋向下分量而言,其拓?fù)洳坏葍r(jià),因此激發(fā)出來(lái)的邊界態(tài)的自旋是向下的Fig.6.One way propagation interface state:(a)Consider the interface between systems I and IV,they are topologically distinct for pseudo-spin up component and can observe the right propagating interface state with pseudo-spin up component;(b)consider the interface between systems II and IV,they are topologically distinct for pseudospin down component which gives rise to the right propagating interface state with pseudospin down component.

6 結(jié) 論

提出了一個(gè)具有多重拓?fù)湎嗟亩S聲子晶體系統(tǒng).首先通過(guò)特定的晶格對(duì)稱性在聲子晶體這個(gè)玻色子系統(tǒng)中構(gòu)造出可以類比于費(fèi)米子的半整數(shù)贗自旋,通過(guò)調(diào)控晶格內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù),使得贗自旋簡(jiǎn)并的能帶發(fā)生翻轉(zhuǎn),實(shí)現(xiàn)了普通絕緣體到量子自旋霍爾效應(yīng)的轉(zhuǎn)變.然后通過(guò)進(jìn)一步引入時(shí)間反演對(duì)稱性破缺的外加氣流,打破贗自旋的簡(jiǎn)并,引入了一個(gè)新的量子反常霍爾效應(yīng)拓?fù)湎?通過(guò)緊束縛近似理論模型得出系統(tǒng)可以等價(jià)于時(shí)間反演對(duì)稱性破缺下的量子自旋霍爾效應(yīng),并且理論計(jì)算了系統(tǒng)的自旋陳數(shù).解析結(jié)果表明系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)是和自旋相關(guān)的,同時(shí)研究了波的傳播特性,證實(shí)了理論預(yù)言的自旋鎖定的手性邊界態(tài).期望本研究為無(wú)需時(shí)間反演對(duì)稱性保護(hù)的自旋傳播指明一個(gè)新的方向.

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PACS:78.67.Pt,03.65.Vf,73.20.AtDOI:10.7498/aps.66.227804

*Project supported by King Abdullah University of Science and Technology Baseline Research Fund(Grant No.BAS/1/1626-01-01).

?Corresponding author.E-mail:ying.wu@kaust.edu.sa

Multiple topological phases in phononic crystals?

Chen Ze-Guo Wu Ying?

(King Abdullah University of Science and Technology(KAUST),Division of Computer,Electrical and Mathematial Science and Engineering(CEMSE)Thuwal,23955-6900,Saudi Arabia)

31 July 2017;revised manuscript

27 October 2017)

We report a new topological phononic crystal in a ring-waveguide acoustic system.In the previous reports on topological phononic crystals,there are two types of topological phases:quantum Hall phase and quantum spin Hall phase.A key point in achieving quantum Hall insulator is to break the time-reversal(TR)symmetry,and for quantum spin Hall insulator,the construction of pseudo-spin is necessary.We build such pseudo-spin states under particular crystalline symmetry(C6v)and then break the degeneracy of the pseudo-spin states by introducing air flow to the ring.We study the topology evolution by changing both the geometric parameters of the unit cell and the strength of the applied air flow.We find that the system exhibits three phases:quantum spin Hall phase,conventional insulator phase and a new quantum anomalous Hall phase.

The quantum anomalous Hall phase is first observed in phononics and cannot be simply classi fied by the Chern number or Z2index since it results from TR-broken quantum spin Hall phase.We develop a tight-binding model to capture the essential physics of the topological phase transition.The analytical calculation based on the tight-binding model shows that the spin Chern number is a topological invariant to classify the bandgap.The quantum anomalous Hall insulator has a spin Chern numberC±=(1,0)indicating the edge state is pseudo-spin orientation dependent and robust against TR-broken impurities.

We also perform finite-element numerical simulations to verify the topological di ff erences of the bandgaps.At the interface between a conventional insulator and a quantum anomalous Hall insulator,pseudo-spin dependent one-way propagation interface states are clearly observed,which are strikingly deferent from chiral edge states resulting from quantum Hall insulator and pairs of helical edge states resulting from quantum spin Hall insulator.Moreover,our pseudo-spin dependent edge state is robust against TR-broken impurities,which also sheds lights on spintronic devices.

phononic crystal,topology,quantum anomalous Hall e ff ect

10.7498/aps.66.227804

?沙特阿卜杜拉國(guó)王科技大學(xué)基本科研經(jīng)費(fèi)(批準(zhǔn)號(hào):BAS/1/1626-01-01)資助的課題.

?通信作者.E-mail:ying.wu@kaust.edu.sa