(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

利用線性平均值巧解電磁感應(yīng)問題

鄭金

(遼寧省凌源市職教中心，遼寧 朝陽 122500)

本文歸納了線性函數(shù)平均值的兩個(gè)公式及性質(zhì)，利用線性平均值公式，巧妙解答有關(guān)導(dǎo)體棒在各種磁場中運(yùn)動(dòng)、垂直切割磁感線時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢和感應(yīng)電流的問題。

線性平均值；電磁感應(yīng)；導(dǎo)體棒；安培力

在有關(guān)電磁感應(yīng)問題中常見的磁場有三種，其一是穩(wěn)恒勻強(qiáng)磁場，即磁感應(yīng)強(qiáng)度處處相同，而且不隨時(shí)間變化；其二是隨時(shí)間均勻變化的勻強(qiáng)磁場；其三是隨空間均勻變化的穩(wěn)恒磁場。在閉合電路中的導(dǎo)體棒切割磁感線的過程中，某些物理量可能隨時(shí)間線性變化，也可能隨位移線性變化，因此需計(jì)算平均值。下面按磁場的不同特點(diǎn),從三方面舉例分析。

1 恒定勻強(qiáng)磁場問題

例1：如圖1所示，兩條水平放置、彼此平行的光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ，間距為L，勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)軌左端接阻值為R的電阻。垂直于導(dǎo)軌跨接金屬桿ab，質(zhì)量為m，電阻為r，導(dǎo)軌電阻不計(jì)?，F(xiàn)用水平恒力F向右拉ab桿，使之從靜止開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間t位移為s，速度為v，求在時(shí)間t內(nèi)流過金屬桿的電流的平均值以及電荷量。

圖1

點(diǎn)評：求感應(yīng)電動(dòng)勢時(shí)應(yīng)利用平均值公式，而不用瞬時(shí)值公式。求電荷量必須利用電流的平均值，而不能利用瞬時(shí)值或有效值。解方程需要一定的技巧，即在求電流的平均值時(shí)以BL為整體消去未知量。

例2：如圖2所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，電阻不計(jì)，間距為l=1m，左端接有阻值為R=0.3Ω的電阻。在區(qū)域cdef內(nèi)存在垂直于導(dǎo)軌平面向下的有界勻強(qiáng)磁場，其邊界寬度為s=1m，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B=0.5T。一質(zhì)量為m=1kg，電阻為r=0.2Ω的金屬棒置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，以初速度v0=2m/s從磁場的左邊界開始向右運(yùn)動(dòng)，并越過磁場的右邊界，假設(shè)金屬棒MN在運(yùn)動(dòng)過程中始終受到大小與速度成正比的阻力f=kv(k=0.3Ns/m)。求：(1) 金屬棒MN離開磁場時(shí)的速度v；(2) 電路中產(chǎn)生的焦耳熱。

圖2

2 隨時(shí)間均勻變化的勻強(qiáng)磁場問題

例3：如圖3所示，兩平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在絕緣水平面上，間距為L=1.0m，圖中MP、ab、cd、ef之間的距離也為L=1.0m。導(dǎo)軌MN、PQ和導(dǎo)線MP單位長度的電阻為R0=0.1Ω，虛線ab右側(cè)空間存在勻強(qiáng)磁場，方向豎直向下，且磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系式為Bt=(0.2+0.1t)T，導(dǎo)體棒的電阻不計(jì)。若導(dǎo)體棒在外力作用下以2m/s的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)剛好經(jīng)過cd處，求：(1) 導(dǎo)體棒從cd處運(yùn)動(dòng)到ef的過程中安培力的沖量為多大？(2) 安培力做的功為多少？(3) 電路中產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

圖3

點(diǎn)評：在導(dǎo)體棒切割磁感線的同時(shí)，磁場還隨時(shí)間變化，因此電路中產(chǎn)生兩種感應(yīng)電動(dòng)勢，即動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢。在求解電路中總的感應(yīng)電動(dòng)勢時(shí)，利用了法拉第電磁感應(yīng)定律的瞬時(shí)值表達(dá)式，而不是平均值表達(dá)式，要注意回路的面積與回路中磁場區(qū)域的面積不相同。在求解沖量、功和熱量時(shí)，關(guān)鍵是推導(dǎo)出安培力和電功率的瞬時(shí)表達(dá)式。

3 隨空間均勻變化的穩(wěn)恒磁場問題

例4(2013年上海高考壓軸題)：如圖4所示，兩根相距l(xiāng)=0.4m、電阻不計(jì)的平行光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，一端與阻值R=0.15Ω的電阻相連。導(dǎo)軌xgt;0一側(cè)存在沿x方向均勻增大的穩(wěn)恒磁場，其方向與導(dǎo)軌平面垂直，變化率k=0.5T/m，x=0處磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0=0.5T。一根質(zhì)量m=0.1kg、電阻r=0.05Ω的金屬棒置于導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直。棒在外力作用下從x=0處以初速度v0=2m/s沿導(dǎo)軌向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中電阻上消耗的功率不變。求：(1) 回路中的電流；(2) 金屬棒在x=2m處的速度；(3) 金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中安培力做功的大??；(4) 金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2m過程中外力的平均功率。

圖4

點(diǎn)評：本題解答的關(guān)鍵是利用金屬棒克服安培力做的功等于焦耳熱以及焦耳定律來求運(yùn)動(dòng)時(shí)間，而在求解外力的平均功率時(shí)，因難以推導(dǎo)外力的瞬時(shí)值表達(dá)式，只能應(yīng)用動(dòng)能定理求出外力做的功，與時(shí)間的比值即為平均功率。要注意安培力對金屬棒做的功為負(fù)值，而金屬棒克服安培力做的功則為正值。

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