■甘肅省隴南市禮縣第四中學 裴雪蓮

賞析與數列有關的數學文化試題

■甘肅省隴南市禮縣第四中學 裴雪蓮

2017年普通高中數學《考試大綱》修訂內容中增加了對數學文化的要求,注重傳統文化在現實中的創(chuàng)造性轉化和創(chuàng)新性發(fā)展,從而實現考試的社會意義和現實目的。隨著這一修訂的實施,2017年各省市的高考數學模擬試題明顯加大了對中華優(yōu)秀傳統文化內容的考核,其中數列這一章就不乏一些對數學文化的滲透和考查的試題,下面精選一些試題與同學們一起思考、賞析,感受數學文化的魅力!

一、求等差數列的前n項和

(2017年成都外國語學校高三理科模擬試題)我國古代數學著作《九章算術》有如下問題:“今有金杖,長五尺,斬本一尺,重四斤。斬末一尺,重二斤。問次一尺各重幾何。”其大意是:“現有一根長五尺的金杖,一頭粗,一頭細。在粗的一端截下1尺重4斤。在細的一端截下1尺,重2斤。問依次每尺各重多少斤?！备鶕厦娴囊阎獥l件,若金杖由粗到細是均勻變化的,則金杖的重量為( )。

A.12斤 B.15斤 C.15.5斤 D.18斤

解析:由題意可知等差數列中a1=4,a5=2,則所以a2=3.5,a3=3,a4=2.5。于是每一尺依次重4斤,3.5斤,3斤,2.5斤,2斤,S515,所以金杖重15斤。故選B。

點評:由題意可知等差數列的首項和第5項,再由通項公式求得公差,依次可得每尺的重量,相加可得金杖的質量;也可由等差數列的前n項和公式直接求得金杖的重量。

二、求等差數列部分項之和

(2017年長沙市高三二模試題)《九章算術》是我國古代第一部數學專著,全書收集了246個問題及解法,其中一個問題為:“現有一根九節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數列,上面四節(jié)容積之和為3升,下面三節(jié)的容積之和為4升,中間兩節(jié)的容積各為多少?”則該問題中第2節(jié),第3節(jié),第8節(jié)竹子的容積之和為( )。

解析:設最上面一節(jié)的容積為a1,依題意可知根據等差數列的性質可知a1+a2+a3+a4=2(a2+a3)=3,解得a2+a3=

同理,a7+a8+a9=3a8=4,解得a8=所以(升),故選A。

點評:本題是求等差數列第2項、第3項及第8項的和,它不同于計算前n項和,要利用等差數列的性質巧妙求解。

三、求等差數列的項

(2017年臨汾市高三二模試題)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有稟粟,大夫、不更、簪裊、上造、公士,凡五人,一十五斗,今有大夫一人后來,亦當稟五斗,倉無粟,欲以衰出之,問各幾何?！?/p>

現解決如下問題:原有大夫、不更、簪裊、上造、公士5種爵位各1人,現增加一名大夫,共計6人,按照爵位共獻出5斗粟,其中5種爵位的人所獻“粟”成等差數列{an},其公差d滿足d=-a5,請問6人中爵位為“簪裊”的人需獻出粟的數量是( )。

解析:由題意得:解得所以6人中爵位為“簪裊”的人需獻出粟的數量是a3=a1+2d=(斗),故選A。

點評:本題考查了利用等差數列的通項公式及前n項和來求數列的第3項,利用等差數列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,便可求得爵位為“簪裊”的人需獻出粟的數量。

四、求等差數列的首項

(2017年咸陽市高三二模試題)《張丘建算經》卷上一題為“今有女善織,日益功疾,且從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,現在一月(按30天計)共織布390尺,最后一天織布21尺”,則該女第一天共織( )尺布。

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由題意可設第n天織布為an,數列{an}是等差數列,公差為d,則:

所以第一天織布為5尺,選C。

點評:本題是一個等差數列問題,而首項的計算需依據題意建立方程組后求解。

五、求等差數列的項數

(2017年黃岡市高三二模理科試題)我國古代數學名著《張丘建算經》有“分錢問題”如下:“今有人與錢,初一人與三錢,次一人與四錢,次一人與五錢,以次與之,轉多一錢,與訖,還數聚與均分之,人得一百錢,問人幾何。”則分錢問題中的人數為

解析:設人數為n,公差為1,首項為3,則前n項和

由題意知Sn=100n,即100n,解得,n=195。故應填195。

點評:由題意,將錢分給若干人,第一人給3錢,第二人給4錢,第三人給5錢,以此類推,每人比前一人多給1錢,分完后,再把錢收回平均分給各人,結果每人分得100錢,問有多少人。即求一個等差數列的項數問題,著重考查同學們對題中文字意思的理解和關系式的建立。

六、求等差數列的公差

《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中有如下問題:“今有女子善織,日益功疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈(1匹=40尺,1丈=10尺),問日益幾何?！逼湟馑紴?“有一女子擅長織布,每天比前一天更加用功,織布的速度也越來越快,從第二天起每天比前一天多織相同量的布,第一天織5尺,一月織了九匹三丈,問每天增加多少尺布?！比粢粋€月按30天算,則每天增加量為( )。

解析:由題意可得每天織布的量組成了等差數列{an},a1=5,S30=9×40+30=390。設公差為d,則30×5+390,解得故選C。

點評:根據題意不難得到每天的增加量就是等差數列的公差。根據等差數列的前n項和公式可順利求解,但要注意單位之間的換算關系(1匹=40尺,1丈=10尺)。

七、求等比數列的公比

(2017年湘潭市高三二模理科試題)《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題:“衰分”是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(即百分比)為“衰分比”。今共有糧38石,按甲、乙、丙的順序進行“衰分”,已知甲分得18石,則“衰分比”為( )。

解析:設“衰分比”為q,則18+18q+18q2=38,解得或(舍去),故選A。

點評:本題考查“衰分比”的求法,依題意知“衰分比”即為等比數列的公比,解題時要認真審題,注意等比數列性質的合理運用。

八、求等比數列的項數

(2017年贛中南五校聯考)我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺,莞生一日,長一尺。蒲生日自半,莞生日自倍。問幾何日而長等。”意思是:“今有蒲草第一天長高3尺,莞草第一天長高1尺。以后蒲草每天長高前一天的一半,而莞草每天長高前一天的2倍,問多少天蒲草和莞草高度相同?！备鶕鲜鲆阎獥l件,可求得第天蒲草和莞草高度相同。(已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,結果精確到0.1)

解析:由題意可得化為解得2n=6或2n=1(舍去)。所以于是估計2.6日蒲草與莞草長度相等,故應填2.6。

點評:本題考查了利用等比數列的通項公式與求和公式計算數列的項數,考查了同學們的推理能力與計算能力。

九、求等比數列的首項

(2017年全國Ⅱ卷理科數學試題)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?！币馑际?一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈( )。

A.1盞 B.3盞 C.5盞 D.9盞

解析:設塔的頂層共有燈x盞,則各層的燈數構成一個公比為2的等比數列,由解得x=3,故選B。

點評:“燈塔問題”也是《算法統宗》中比較著名的問題,題目以古詩的形式來描述,別具風格,依“紅光點點倍加增”便知這是一個等比數列問題。

十、求等比數列的前n項和

《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題:“今有垣厚若干尺,兩鼠對穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問何日相逢,各穿幾何?！鳖}意是:“有兩只老鼠從墻的兩邊打洞穿墻,大老鼠第一天進一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也進一尺,以后每天減半。”如果墻足夠厚,Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和,則Sn=____尺。

解析:由題意可知,大老鼠每天打洞的距離是以1為首項,2為公比的等比數列,前n天打洞之和為同理,小老鼠前n天打洞之和為

點評:根據題意可知,大老鼠和小老鼠每天打洞的距離均為等比數列,所以本題旨在考查求等比數列的前n項和公式,認真審題便可求解。

十一、求數列的通項公式

(2017年河南省新鄉(xiāng)市二模)我國古代數學著作《九章算術》有如下問題:“今有人持金出五關,前關二而稅一,次關三而稅一,次關四而稅一,次關五而稅一,次關六而稅一,并五關所稅,適重一斤,問本持金幾何。”其意思為“今有人持金出五關,第一關收稅金第二關收稅金為剩余金的第三關收稅金為剩余金的,第四關收稅金為剩余金的,第五關收稅金為剩余金的,五關所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少。”若將題中“五關所收稅金之和,恰好重1斤,問原來持金多少?！备某伞凹僭O這個人原來持金為x,按此規(guī)律通過第8關,則第8關需收稅金為多少”,該怎么解決呢?

解析:第一關收稅金為第二關收稅金為第三關收稅金為可得第8關收稅金為即

點評:本題考查了數列的通項公式及其應用,同學們在閱讀理解文字含義的基礎上需要具有一定的推理能力與計算能力,如何讓項數與每關的稅金建立關系是推得通項公式的關鍵。

十二、數列的綜合問題

以下數表的構造思路源于我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》一書中的“楊輝三角形”。

該表由若干數字組成,從第二行起,每一行中的數字均等于其“肩上”兩數之和,表中最后一行僅有一個數,則這個數為( )

A.2017×22015B.2017×22014

C.2016×22015D.2016×22014

解析:由題意知,表中的每一行都是等差數列,且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為22014,故第一行的第一個數為2×2-1,第二行的第一個數為3×20,第三行的第一個數為4×21,…,第n行的第一個數為(n+1)×2n-2,第2016行只有M,則M=(1+2016)·22014=2017×22014,故選B。

點評:本題考查了數列的通項公式及其性質,對題目提供的“表”要細致觀察,認真分析,提煉其中包含的信息,從而合理利用數列知識進行解決。

通過以上數列中的數學文化試題的分析、思考與解答,我們可以感受到數列中包含了豐富的數學文化知識,而利用數列知識解決與數學文化相關的實際問題,關鍵是列出相關信息,合理建立數學模型——等差數列或等比數列模型;求解時要明確目標,搞清是求和、求通項、還是解遞推關系問題,再根據數學推理與計算得到結果。本文主要以數列為載體講述了數學文化的考查方向,當然還有以其他高中知識為載體的數學文化的考查,希望同學們在學習中善于歸納、整理與總結,更好地學習數學知識與數學文化!

(責任編輯 徐利杰)