■河南省許昌高級中學(xué) 胡銀偉

珠聯(lián)璧合，正、余弦定理解三角形

■河南省許昌高級中學(xué) 胡銀偉

正、余弦定理將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積,其外接圓、內(nèi)切圓的半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)。

在利用正、余弦定理解三角形時(shí),如果式子中含有角的余弦或邊的二次式,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí),則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時(shí),則兩個(gè)定理要珠聯(lián)璧合,有可能都會用到。

一、求三角形的基本量

解析:設(shè)△ABC的內(nèi)角∠BAC,B,C所對邊的長分別是a,b,c。

由余弦定理得:

在△ABD中,因?yàn)锳D=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B。

解法一:設(shè)△ABC中角A,B,C所對的邊分別為a,b,c。

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=所以b=

解法二:同法一得由正弦定理得sinC=sinA,又B=所以sinC=即cosA+故tanA=-3,A為鈍角。

又因?yàn)?+tan2A=所以cos2A=故選C。

(2016·四川卷)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且

(1)證明:sinAsinB=sinC;

(2)若b2+c2-a2=求tanB。

解析:(1)根據(jù)正弦定理,可設(shè)則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC。

變形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)。

在△ABC中,根據(jù)A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC。

所以sinAsinB=sinC。

(2)由已知,b2+c2-a2=根據(jù)余弦定理,有

由(1)知,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以

點(diǎn)評:利用正、余弦定理解題是歷年高考的熱點(diǎn),也是必考點(diǎn),求解的關(guān)鍵是合理應(yīng)用正、余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的互化。其中正弦定理是一個(gè)連比等式,只要知道其比值或等量關(guān)系就可以運(yùn)用正弦定理通過約分達(dá)到解決問題的目的。運(yùn)用余弦定理時(shí),要注意整體思想的運(yùn)用。

二、解與三角形的面積有關(guān)的問題

△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC的面積S=(b+c)2-a2,則sinA=

解:由余弦定理得cosb2+c2-a2=2bccosA。

S=(b+c)2-a2=b2+c2-a2+2bc=2bc(cosA+1)。

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且asinB=-b·

(1)求A;

解:(1)因?yàn)閍sin所以由正弦定理得

故a2=b2+c2-2bccosA=7c2,則a=由正弦定理得sin

點(diǎn)評:正弦定理和余弦定理并不是孤立的,解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理選用,有時(shí)還需要交替使用。應(yīng)用時(shí)要注意化角法、化邊法、面積法、初等幾何法等方法的靈活運(yùn)用,也要注意體會其中蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想。

三、正、余弦定理與三角問題的綜合應(yīng)用

(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足c=3,f(C)=0且sinB=2sinA,求a,b的值。

解:(1)f(x)=

因?yàn)閟inB=2sinA,所以b=2a。

因?yàn)閏2=a2+b2-2abcosC,所以

(2015·全國課標(biāo)Ⅰ)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是

解法一:如圖1所示。

過點(diǎn)C作CE∥AD交AB于點(diǎn)E,則∠CEB=75°,CE=BC=2,∠BCE=30°。

圖1

所以BE2=BC2+CE2-2BC·CE·cos∠BCE=4+4-8×此時(shí),BE=

延長CD交BA的延長線于點(diǎn)F,則△BCF為等腰三角形,且∠CFB=30°,FC=FB。

由題意可知,6-2＜AB＜6+2。

解法二:如圖2所示,延長BA、CD交于點(diǎn)E。

在△ADE中,∠DAE=105°,∠ADE=45°,∠E=30°。

圖2

點(diǎn)評:關(guān)于解三角形問題,一般要用到三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì),常見的三角變換方法和原則都適用,同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”,即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”,這是使問題獲得解決的突破口。此外,在解三角形時(shí),還要注意三角形內(nèi)角和定理對角的范圍的限制。如例7,解法一是借助幾何圖形分析極端情況,得到AB邊的取值范圍;解法二則是借助兩個(gè)定理建立函數(shù)關(guān)系,通過代數(shù)方法進(jìn)行求解。

(責(zé)任編輯 徐利杰)