董文彬

教材為我們提供了教學(xué)活動的藍(lán)本和線索，我們在課堂教學(xué)中要尊重教材、理解教材，研究教材、讀懂教材。同時，教材也只是個例子，我們還要以科學(xué)、審慎的態(tài)度對教材適時與適度地進行加工與調(diào)整，從中尋求平衡，基于教材又超越教材，有效使用、改編和創(chuàng)生教材，我們的教學(xué)活動才能更具有創(chuàng)造性，進而才能把更多學(xué)習(xí)的可能性還給課堂，還給學(xué)生。下面以北師大版小學(xué)《數(shù)學(xué)》教材為例，從不同角度例談筆者對創(chuàng)造性使用和改編教材的幾點思考。

一、問題延伸，獲得數(shù)學(xué)思考的長度

三年級下冊《除法》一課，教材中呈現(xiàn)的情境是分橘子（教材第4頁）。教材的設(shè)計意圖是：列出算式后，學(xué)生先試算，繼而引導(dǎo)學(xué)生用小棒代替橘子，體會先分整捆的（分給每人1捆），余下的一捆要把它拆分成10根后和單根的合起來再分，并用算式（橫式）記錄分的過程。這樣的安排為接下來豎式的教學(xué)做了鋪墊和孕伏。緊接著就是讓學(xué)生再用豎式表達(dá)和記錄分物的過程與結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生將分物的過程與除法運算對應(yīng)聯(lián)系，從直觀的動作表征到抽象的算式表征，通過實際操作理解除法豎式每一步的意思，感悟運算方法背后的道理，既體現(xiàn)了計數(shù)單位的高低轉(zhuǎn)化的運作需求，又體現(xiàn)了分步求商中所蘊含的位值思想。

而接下來的第三個問題（如下圖）是：給出三個除法豎式，讓學(xué)生先算一算，以熟悉兩位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計算過程，再想一想“為什么除法要從高位算起呢？”換句話說，為什么除法豎式和加、減、乘法的形式不一樣呢？讓學(xué)生嘗試從低位算起，體會計算過程麻煩，進而認(rèn)同算法。

可是，這個問題在筆者第一次教學(xué)這節(jié)課時，沒有一個學(xué)生主動提出。學(xué)生通過實踐操作理解了算理，掌握了算法，并沒有再往深一步去想“為什么除法要從高位算起”，學(xué)生沒有提、沒有想，筆者也就沒有引導(dǎo)學(xué)生再“知其然”后去思考“知其所以然”。但這確實是在除法豎式教學(xué)中不可回避的有深度價值的問題。因此，在兩年后再次教學(xué)這節(jié)課時，筆者作了調(diào)整：在學(xué)生豎式計算完后，筆者把它作為第四個問題在原有的“問題串”中延伸出來，啟發(fā)學(xué)生自主去思考、嘗試、說理。

經(jīng)過嘗試“從低位算起”，學(xué)生自己創(chuàng)造了以下兩種除法豎式的運算表達(dá)方式：

顯然，第1種方式從低位算起，要除算3次，再把每一次除得的商求和加一次，才能獲取最后的運算結(jié)果；第2種方式雖然與“從高位算起”一樣也是除算2次，但涉及了不夠除需退（借）位的情況。兩種方式都讓學(xué)生感悟到：除法豎式這樣從低位算起很“麻煩”，“麻煩”背后的根源是計數(shù)單位的運作和轉(zhuǎn)化的次數(shù)（特別是本課中被除數(shù)的首位數(shù)不是除數(shù)的整數(shù)倍的情況），進而更進一步地理解算法。

可見，延伸多一個教材中的問題串，適當(dāng)進行調(diào)整和加工，拉伸學(xué)生數(shù)學(xué)嘗試與經(jīng)歷的時間，能夠幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思考的長度，理解數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解就會深入一個層階。

二、豐富路徑，拓展數(shù)學(xué)論證的寬度

四年級下冊《三角形內(nèi)角和》一課（教材第24頁），教材的設(shè)計意圖是：由兩個形狀和大小不同的三角形，學(xué)生先猜想它們的內(nèi)角和相比會怎么樣，繼而通過小組活動用量角器去量準(zhǔn)備好的三角形每個內(nèi)角的度數(shù)，再計算內(nèi)角和，繼而發(fā)現(xiàn)“三角形的內(nèi)角和都在180度左右”。在對測量誤差討論的基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生通過撕拼（把三角形的三個角撕下來，頂點與頂點重合拼在一起）、折拼（把三角形的一個角向?qū)吰叫姓?，把這個角的頂點放在邊上，再折另外兩個角，讓頂點與頂點重合拼在一起）的方法，結(jié)合平角的知識經(jīng)驗，驗證三角形的內(nèi)角和，最終得出結(jié)論。

可以說，無論是量算、撕拼還是折拼，讓學(xué)生通過實際操作來驗證猜想或發(fā)現(xiàn)，都是順應(yīng)了學(xué)生兒童最原始、最樸素的思維路徑，都是通過不完全歸納法得出最后的結(jié)論，由特殊到一般，由有限到無限，這也是小學(xué)階段幾乎所有數(shù)學(xué)論證最常用的方法，這種方法更加注重學(xué)生在實踐操作中完成探究與發(fā)現(xiàn)。然而，四年級學(xué)生除了在數(shù)學(xué)活動中積累操作的論證經(jīng)驗外，也應(yīng)適當(dāng)?shù)胤e累更高階的思維論證的經(jīng)驗。為此，在教材現(xiàn)有編排的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生情況，筆者又豐富了以下兩個活動。

“活動1”是以長方形的內(nèi)角和是360°的已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出直角、銳角和鈍角三角形的內(nèi)角和也是180°?！盎顒?”是從圖形運動的角度，運用線段的平移與旋轉(zhuǎn)的具體操作，說明任意三角形內(nèi)角和是180°，具體為：箭頭從①的位置，依次按順時針方向旋轉(zhuǎn)，沿三角形邊的方向平移，再旋轉(zhuǎn)……直到⑥的位置。觀察①和⑥位置上的兩個箭頭在位置與方向上有什么關(guān)系？這個關(guān)系說明什么問題？可以說，這兩個補充活動的抽象程度高、難以想象，更多地指向?qū)W生思維活動的開闊性，在數(shù)學(xué)論證上更具有普適性。教師充分整合動手操作、思維推理等手段，能夠幫助學(xué)生提供和創(chuàng)造觀察性的思維類經(jīng)驗，增強學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中的感悟和體會，以獲得一般性的、廣泛而豐富的數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗，拓展了數(shù)學(xué)論證的寬度。

三、整合資源，發(fā)展數(shù)學(xué)想象的深度

五年級上冊《軸對稱的再認(rèn)識（二）》一課（教材第23頁），教材的設(shè)計意圖是：解決兩個方面大問題，第一個問題是：在方格紙上補全軸對稱圖形的另一半。先呈現(xiàn)軸對稱小房子的一半，學(xué)生試畫另一半，呈現(xiàn)錯例，讓學(xué)生辨析畫得是否正確，判斷理由之一是根據(jù)圖形沿對稱軸對折后能否完全重合的特征，理由之二是根據(jù)兩個對稱點到對稱軸的方格數(shù)（距離）相等的特征。接著讓學(xué)生以虛線為對稱軸，在方格紙上畫出圖形（小樹）的另一半，鞏固理解“兩個對稱點到對稱軸的方格數(shù)（距離）相等”的本質(zhì)特征。第二個問題是：在方格紙上畫出某個圖形的軸對稱圖形。讓學(xué)生以虛線為對稱軸，畫出圖形（數(shù)字）“2”和“6”的軸對稱圖形，并在操作中感悟兩個大問題的異同，同即畫法相同，軸對稱圖形的核心本質(zhì)相同，不同即前者給的是軸對稱圖形的一部分，對稱軸在圖形上，而后者給的是一個完整圖形，對稱軸在圖形之外。

然而，教學(xué)前我們對兩個班的80名學(xué)生進行了前測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：98%的學(xué)生對于教材“問題串”中的三個題目都能畫對。于是我們思考：在絕大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)會了的前提下，這節(jié)課該學(xué)什么？對于那些表面會畫但實際對問題一知半解的學(xué)生，如何達(dá)到對軸對稱圖形本質(zhì)的深入理解？對于那些已經(jīng)真正理解了問題本質(zhì)的學(xué)生，如何創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突發(fā)展他們的高階思維？于是筆者決定重新整合教材資源，重新設(shè)計學(xué)習(xí)活動、改編問題串。endprint

環(huán)節(jié)1：這是一個軸對稱小房子的一半，你能想象出整個房子什么樣嗎？能畫出來嗎？

讓學(xué)生先想象，再畫，然后借助典型錯例，初步對軸對稱的特點進行審視，通過生生交流，對形狀、距離這些圖形元素逐漸明晰，知其然也知其所以然。

環(huán)節(jié)2：軸對稱圖形在我們身邊非常常見，也很有意思。比如數(shù)字“9”的軸對稱圖形可能是什么樣？

這個問題的設(shè)計來自于教材課后習(xí)題第24頁第4題（見下圖）。這個環(huán)節(jié)同樣是先想象，再交流，然后才是操作。操作不再是機械的操作，是對軸對稱數(shù)學(xué)概念的再反思。其次是這個問題的開放性，引起學(xué)生對“軸”的重視（第一個活動無法達(dá)到這個效果），激發(fā)學(xué)生的多角度數(shù)學(xué)思考與空間想象，讓學(xué)生在思維的開闊性中提煉畫法，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

環(huán)節(jié)3：以虛線為對稱軸，試著畫出這個圖形的軸對稱圖形。

這個環(huán)節(jié)的設(shè)計是聚焦平行四邊形，對稱軸也不是水平或豎直的軸。選材的來源除了平行四邊形這個軸對稱研究中不能繞開的難點外，對稱軸方向的設(shè)計來自于教材課后習(xí)題第1題的最后一圖（見下圖）：以虛線為對稱軸，分別畫出下面各點的對稱點，說說你是怎么畫的。

此活動聚焦學(xué)生的問題，在認(rèn)知沖突中再次明晰軸對稱的本質(zhì)特征。學(xué)生在矛盾爭辯的過程中，對軸對稱特征有了更深一層的認(rèn)識，甚至有學(xué)生提到了線和軸的角度要關(guān)注，對圖形的構(gòu)成元素以及元素之間位置關(guān)系對稱性的關(guān)注，這些也是發(fā)展空間觀念的重要部分。

可見，教師基于學(xué)情，結(jié)合教材的編排意圖、課后習(xí)題資源，在尊重教材、理解教材的基礎(chǔ)上，對教材進行了適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和加工、有效的使用和創(chuàng)編，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)想象的深度及空間觀念，幫助學(xué)生收獲了非常好的學(xué)習(xí)效果。

四、模型支撐，生成數(shù)學(xué)理解的厚度

誠然，基于學(xué)情，教師往往要對教學(xué)內(nèi)容的一些素材需因時、因地作出適當(dāng)調(diào)整。而有時，除了學(xué)情，聽一聽教材編者的建議，在對教材進行科學(xué)、有價值的加工和補充，會收到意想不到的效果。

五年級上冊《小數(shù)除以整數(shù)（精打細(xì)算）》一課（教材第2頁）。教材的設(shè)計意圖是：列出算式后，學(xué)生先自主試算，借助元角人民幣單位將小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法，再用豎式計算，由直觀背景到一般意義，由計量到計數(shù)，理解豎式的計算過程和每一步的意思。

教學(xué)前，筆者對年級同一位教師平行任教的兩個班學(xué)生進行了深入的前測調(diào)研（問卷、追訪），以探尋學(xué)生真實的思維路徑。A班題目：10.2÷3等于多少？請想辦法解決，盡可能詳細(xì)地記錄下你的思考過程。B班題目：買3袋奶一共花10.2元，每袋奶多少元？可以利用學(xué)具研究，并盡可能詳細(xì)地記錄下你的思考過程。調(diào)研結(jié)果顯示：面對問題，學(xué)生由起初的“不知道”到最終的“我會做”之間，有兩個階段需要經(jīng)歷和跨越，一個是整數(shù)部分剩余的“1”和小數(shù)部分的“2”組成新的數(shù)后“還能分嗎”？這是學(xué)生認(rèn)識和理解上的“難點”。另一個是商中的“點怎么辦”？這是學(xué)生思維陷入糾結(jié)的“結(jié)點”。無論A班還是B班，A班有62.5%、B班有85%的學(xué)生在答卷中體現(xiàn)出“我會做”，豎式書寫作答完全正確，但追訪之后發(fā)現(xiàn)學(xué)生“會做”但不一定“能懂”。另外，提供模型學(xué)具（單位人民幣實物模型、單位正方形面積模型）的B班比不提供模型學(xué)具的A班，學(xué)生的理解情況要好得多。可見，直觀模型對于學(xué)生促進算理理解的效果十分明顯。

可是教材的編排中并沒有呈現(xiàn)直觀模型，這是怎么回事呢？難道直觀模型的呈現(xiàn)對五年級學(xué)生沒有必要？偶然間，看到張丹教授從教材編寫者的角度解讀教材的例子，很受啟發(fā)。以下是簡要整理：

北師大版教材五年級上冊，第一單元小數(shù)除法，新修訂后的教材中已經(jīng)加入了面積模型，是在“小數(shù)除以小數(shù)”那課時，當(dāng)然，從“小數(shù)除以整數(shù)”開始用也是可以的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的多種直觀模型，在本質(zhì)上都差不多，面積模型突出的一點是它是一個通用工具，其實它就是方格紙，隱去一些線它又是“條”，在解決圖形面積、小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及一些運算中都可以用，很廣泛。

因此，在前期學(xué)生調(diào)研的基礎(chǔ)上，又結(jié)合教材編寫者的解讀，我在教學(xué)中為學(xué)生提供了“元、角”人民幣單位的實物模型，以及方格紙面積的半抽象模型等，讓學(xué)生“因需而用”，借助模型說理，互動交流，特別是對整數(shù)部分除完后余數(shù)的處理——進一步化低一級的計數(shù)單位后與相同計數(shù)單位上的數(shù)合并，再繼續(xù)運算。如從1.5元到15角，學(xué)生借助擺分“元角”實物模型擺、分、轉(zhuǎn)換、再分來理解；從1.5到15個0.1，學(xué)生借助單位方格紙面積模型擺、分、轉(zhuǎn)換、再分，解釋說明其中的道理。最后筆者又從整體上幫助學(xué)生溝通計量單位與計數(shù)單位間的聯(lián)系（如下圖），由動作表征、模型表征到豎式表征，引導(dǎo)學(xué)生由計量單位（直觀）經(jīng)單位模型（半抽象）走向?qū)τ嫈?shù)單位（抽象）的理解，感悟位值思想，幫助學(xué)生真正從直觀走向抽象，從計量走向計數(shù)，幫助學(xué)生生成數(shù)學(xué)理解的厚度，最終促進學(xué)生思維的發(fā)展。

由此可見，教師實現(xiàn)“用教材教”，對教材有效地加工和調(diào)整，不能隨心所欲，不是簡單的“增加”和“刪除”，而要基于學(xué)生學(xué)情，基于課堂現(xiàn)場，基于教材編寫意圖，審時度勢、因時因地對教材作有價值的調(diào)整，只有尊重教材、理解教材，研究教材、讀懂教材，才能有效地使用和創(chuàng)造性改編教材，只有基于教材才能超越教材，進而以學(xué)為中心，還給學(xué)生更多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可能性。

（作者單位：北京市中關(guān)村第一小學(xué)）endprint