張 培，武芳勤

（宿州學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000）

一類隨機環(huán)境中單邊二重隨機游動的常返性

張 培，武芳勤

（宿州學院 數學與統(tǒng)計學院，安徽 宿州 234000）

隨機環(huán)境中的單邊二重隨機游動是隨機環(huán)境中隨機游動的推廣，討論了隨機環(huán)境中單邊二重隨機游動的常返性.在環(huán)境滿足一定的條件下給出二重隨機游動的常返、正常返、零常返和非常返的判別準則.

隨機環(huán)境；單邊二重隨機游動；非常返；正常返；零常返

0 引言

20世紀70年代，kozlov[1]首次提出隨機環(huán)境中的隨機游動（RWRE）模型，隨后Solomon[2]討論了全直線上的RWRE的性質，諸多概率論工作者研究了隨機環(huán)境中的隨機游動，并且取得豐富的結果[3-5].作為隨機環(huán)境中隨機游動的推廣的隨機環(huán)境中的二重隨機游動卻很少有人研究.隨機環(huán)境中的二重隨機游動是物理學中的一個很重要的模型，具有很強的實用意義，Szase等[6]和Alili[7]比較系統(tǒng)地研究了二重隨機游動，鄭希民[8]研究了獨立同分布隨機環(huán)境中的單邊二重生滅鏈的常返性，汪榮明[9]研究隨機環(huán)境中二重生滅鏈的馬氏性.本研究主要討論在0點上具有反射壁的一類隨機環(huán)境中單邊二重隨機游動的常返性，給出該模型的正常返和零常返的判別準則.

1 定義與符號

定義1 稱取值于Z+={0,1,2，…}的隨機過程{Xn，n≥0}是隨機環(huán)境中的單邊二重隨機游動.如果：

且

其中 βj＞0，αj＜1（j≥1）；{βj}j≥1和{αj}j≥1是隨機變量序列. 稱隨機變量序列 e={βj，αj，j≥0}是隨機環(huán)境，它的每個現實稱為環(huán)境.

由于Xn是不可約的二重馬氏鏈，討論此二重隨機游動的常返性，只需要討論某一點的常返性.不失一般性可以討論0點的常返性.

2 主要結果及其證明

引理1[2]如果對幾乎所有的環(huán)境{Xn，n≥0}某一性質都成立，則此隨機環(huán)境下的馬氏鏈{Xn，n≥0}也具有此性質.

引理2[9]{Xn，n≥0}為固定環(huán)境中的二重隨機游動，則：

引理3 設Y1，Y2，…，Yn，…是一列兩兩不相關的隨機變量且方差一致有界，即存在M＞0使得DYn≤M，

則：

1）當 c＜0 時，

2）當 c≥0 時，

證明：因為{Yn，n≥1}是一列兩兩不相關的隨機變量序列，方差存在且一致有界，故有：

所以對上述 ε＞0 存在 N0∈N+，當 n＞N0時有綜上對上述 ε＞0 存在 N1∈N+，當 n＞N1時有乎處處成立.

1）當 c＜0 時，存在 N2∈N+，當 n＞N2時有乎處處成立.

2）當 c＞0 時，存在 N3∈N+，當 n＞N3時有幾乎處處成立.

定理1設{Xn，n≥0}是隨機環(huán)境e={（αn，βn），n≥1}中的單邊二重隨機游動，若{lnσn，n≥1}兩兩不相關，D（lnσn）存在且一致有界

1）若 c≥0，則{Xn，n≥0}常返；

2）若{Xn，n≥0}非常返，則 c＜0；

3）若 c＞0，則{Xn，n≥0}正常返；

4）若 c=0，則{Xn，n≥0}零常返.

證明：令

下證（3）和（4）：當 c＞0時，有：

定理2設{Xn，n≥0}是隨機環(huán)境e={（αn，βn），n≥1}中的單邊二重隨機游動，若αj=1-βj，{lnσn，n≥1}兩兩不相關，D（lnσn）存在一致有界

1）c≥0?{Xn，n≥0}常返；

2）c＜0?{Xn，n≥0}非常返；

3）c＞0?{Xn，n≥0}正常返；

4）c=0?{Xn，n≥0}零常返.

證明：先證明（1）、（2）的充分性，由定理 1（1）知（1）的充分性成立.

故有：

由定理1知（2）的充分性成立.

下證必要性，對于（1）如果{Xn，n≥0}常返，則必有 c≥0，反之如果 c＜0，由（2）的充分性知{Xn，n≥0}非常返矛盾.

同理可得（2）的必要性成立.由定理 2（1）和定理 1知（3）、（4）成立.

[1]KOZLOVMV.RandomWalk ina One Dimensional Random Medium[J].Physica AStatistical Mechanicsamp;Its Applications，1990，164（1）：52-80.

[2]SOLOMONF.Random Walk ina Random Environment[J].Annals of Probability,1975，3（1）：1-31.

[3]COGBURNR.Markov Chains in Random Environments:the Case of Markov Environments[J].Annals of Probability，1980，8（5）：908-916.

[4]COGBURNR.The Ergodic Theory of Markov Chains in Random Environments[J].ZWahrach Verw Gebiete，1984，66（1）：109-128.

[5]COGBURNR.On Direct Convergenceand Periodicity for Transition Probabilities of Markov Chainsin Random Environments[J].Annals of Probability，1990，18（2）：642-654.

[6]SZASED，TOTHB.Peresist Random Walksin One-dimensional Random Environment[J].Journal of Statistical Physics，1984，37（1）：28-38.

[7]ALILIS.Peresistent Random Walksin Stationary Environment[J].Journal of Statistical Physics，1999，94（3）：469-494.

[8]鄭希民.隨機環(huán)境中單邊二重生滅鏈的常返性[J].武漢大學學報（理學版），2007，53（1）：17-20.

[9]汪榮明.關于隨機環(huán)境中二重生滅鏈的馬氏性[J].安徽師范大學學報，1992，（2）：11-18.

Recurrence of Single Side Random Walks of Order 2 in Random Environment

ZHANG Pei,WU Fang-qin
(School of Mathematicsamp;Statistics,Suzhou University,Suzhou,Anhui 234000,China)

Single side random walks of order 2 in random environment is the extension of random walk in random environment.In this paper,the recurrence of single side random walks of order 2 in random environment is discussed.The criterion of recurrence,positive recurrence,null recurrence and transience of single side random walks of order 2 is given under the environment that satisfies certain condition.

random environment;single side random walks of order 2;non-recurrence;positive recurrence;null recurrence

O211.62

A

1673-1972（2017）06-0053-04

2017-10-11

國家自然科學基金面上項目（11371029）；宿州學院重點科研項目（2016yzd05）；宿州學院校級一般科研項目（2014yyb01）

張培（1988-），女，安徽宿州人，助教，主要從事隨機分析研究.

（責任編輯 鈕效鹍）