變式教學(xué)是中國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)的精華，被稱為“促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式”[1]，其以在變與不變的博弈中突顯本質(zhì)的優(yōu)勢被廣泛使用于各學(xué)段的數(shù)學(xué)教學(xué)中。在小學(xué)階段，由于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)、閱歷都不夠豐富，抽象思維、邏輯思維發(fā)展緩慢，變式教學(xué)如同一把雙刃劍，既給兒童的思維提供生長空間，同時(shí)也制約著這個(gè)空間。筆者近年來一直關(guān)注小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)求助問題，發(fā)現(xiàn)兒童的許多學(xué)習(xí)困難或知識(shí)錯(cuò)誤中，影響思維發(fā)展的癥結(jié)就在于變式教學(xué)的過于標(biāo)準(zhǔn)化，導(dǎo)致兒童思維的固化。主要表現(xiàn)在形態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)使兒童的思維聚焦但不夠開闊、表述的單一固化使兒童的思維樸實(shí)但缺少關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)的亦步亦趨使兒童的思維標(biāo)配但難以靈活、方法的直接優(yōu)化使兒童的思維跳躍但無法創(chuàng)新。

實(shí)踐表明，充分利用非標(biāo)準(zhǔn)變式，可以有效拓展兒童思維發(fā)展的空間，使兒童的數(shù)學(xué)思維跳出固化的藩籬，走進(jìn)本然的通道，從而獲得有效的學(xué)業(yè)求助。小學(xué)數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)變式是指在小學(xué)數(shù)學(xué)各層面教學(xué)中，相對于標(biāo)準(zhǔn)變式，一些不經(jīng)常被教師使用，但有利于拓寬知識(shí)的外延、凸顯知識(shí)的本質(zhì)、引導(dǎo)學(xué)生更深入思考的非標(biāo)準(zhǔn)形態(tài)、表述、結(jié)構(gòu)和方法。在教學(xué)中，以兒童的思維發(fā)展為指向，有效實(shí)施非標(biāo)準(zhǔn)變式，讓學(xué)生在變與不變中辨析知識(shí)的本質(zhì)屬性，自主建構(gòu)知識(shí)體系，同時(shí)形成穩(wěn)定的學(xué)習(xí)能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供主體性幫助。

一、改變形態(tài)，讓兒童思維從局部走向全面

形態(tài)主要是指空間與圖形這部分內(nèi)容?；谶\(yùn)動(dòng)和構(gòu)造的觀點(diǎn)，圖形的非標(biāo)準(zhǔn)變式可以從平面與立體、感知與辨析、位置與變換來設(shè)計(jì)，通過變換外形的變異維度，以突顯本質(zhì)特征，從而使學(xué)生對圖形有更為全面的認(rèn)知。

例如蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)上冊“正方形的認(rèn)識(shí)”可分這樣三步教學(xué)：首先展示師生課前搜集的各種幾何物體，實(shí)現(xiàn)從體到面的圖形引入；接著利用正方形與其他圖形的對比明晰正方形角與邊的特點(diǎn)；最后從大小、位置、方向的變式和反例性變式達(dá)成圖形認(rèn)知的鞏固。

1.基于平面與立體的角度設(shè)計(jì)認(rèn)識(shí)度與變式度的對接

當(dāng)知識(shí)的某一個(gè)方面不變而其他發(fā)生變化時(shí)，變式的一個(gè)維度就產(chǎn)生了。在“正方形的認(rèn)識(shí)”這個(gè)內(nèi)容中，從實(shí)物抽象出正方形圖形，正方形邊的特點(diǎn)，正方形角的特點(diǎn)這三個(gè)認(rèn)識(shí)度可以對接這樣的變式度：立體圖形的變式，邊長度、條數(shù)的變式，角大小的變式和圖形的大小變式。

2.基于感知與辨析的角度進(jìn)行教學(xué)度與變式度的實(shí)施

首先利用多個(gè)幾何形體讓學(xué)生進(jìn)行觀察、感知表面的不同，接著聚焦到表面是正方形的立體圖形，抽象出正方形圖形，讓學(xué)生初步感知形來自于體，這里通過多個(gè)形體的變式教學(xué)解決第一個(gè)認(rèn)識(shí)度；第二、三個(gè)認(rèn)識(shí)度同樣也不直接給出結(jié)論，而通過多種四邊形和其他圖形變式進(jìn)行邊與角的對比，讓學(xué)生在非本質(zhì)屬性的變化中感知正方形較為穩(wěn)定的本質(zhì)特征。

3.基于位置與變換的角度完成知識(shí)系統(tǒng)的整體建構(gòu)

通過多種非標(biāo)準(zhǔn)變式學(xué)生已經(jīng)對正方形建立了表象，對其特征也有了深刻的認(rèn)知。最終利用位置的多種變式、大小的多種變化強(qiáng)化學(xué)生的整體認(rèn)知，在運(yùn)用中形成知識(shí)的整體建構(gòu)。比如邊長不同的正方形、位置變化的正方形、反例性變式。在這一步，非標(biāo)準(zhǔn)變式已經(jīng)由外延空間的變化轉(zhuǎn)為知識(shí)本身的非本質(zhì)屬性變化。

對于形象思維慢慢向抽象思維過渡的小學(xué)階段，圖形適合兒童的認(rèn)知與識(shí)記，但空間觀念卻是兒童須要加強(qiáng)的方面，如果在教學(xué)中一味呈現(xiàn)一些標(biāo)準(zhǔn)模型或是標(biāo)準(zhǔn)變式，當(dāng)學(xué)生遇到并不標(biāo)準(zhǔn)的圖形和變式時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生學(xué)業(yè)困難。因此在此類教學(xué)中，應(yīng)引入外形的非標(biāo)準(zhǔn)變式，盡量豐富表征、圖形的外延空間，有層次地 拓寬變異維數(shù)。

二、改變表述，讓兒童數(shù)學(xué)思維從淺層走向深度

表述主要指教學(xué)示例、條件和問題的呈現(xiàn)方式。表述的非標(biāo)準(zhǔn)變式通過數(shù)形結(jié)合、圖文轉(zhuǎn)換、文字?jǐn)⑹鰧⒗}多方面、多角度地進(jìn)行相應(yīng)的變化，讓學(xué)生在變化中剔除非本質(zhì)屬性，指向更深層次的理解。

例如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》一年級(jí)下冊“兩位數(shù)加減兩位數(shù)的進(jìn)位加和退位減”這一難點(diǎn)時(shí)，可利用圖形結(jié)合等變式設(shè)計(jì)如下表述，將零散的知識(shí)組合在一起：

填空題： □+3=70 80-□=7

文字題：小明要寫30個(gè)大字，已經(jīng)寫了9個(gè)，還要寫多少個(gè)？

變化的是表述路徑，不變的是知識(shí)本身，這樣一組練習(xí)在強(qiáng)化算理的同時(shí)將不同的題型串起來，讓學(xué)生的認(rèn)知形成一個(gè)完整而又四通八達(dá)的體系。

1.利用數(shù)形結(jié)合搭建理解的橋梁

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，通常數(shù)形結(jié)合分為以形助數(shù)和以數(shù)解形。在變式教學(xué)中，主要通過數(shù)形的相互轉(zhuǎn)換完成教學(xué)目標(biāo)。例如低年級(jí)可借助直線認(rèn)識(shí)數(shù)的順序和大小，高年級(jí)可畫線段圖幫助理解實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系。

2.善用圖文轉(zhuǎn)換打通知識(shí)的鏈接

圍繞“40-5=”這一核心設(shè)計(jì)表述不同的兩層變式：表述形式變式和表述內(nèi)容變式。表述形式變式為：全圖→半圖半文→全文，遵循兒童的思維特點(diǎn)從形象向抽象過渡。在表述內(nèi)容上首先將“40-5=”作為本質(zhì)（不變）放在買書包的情境（變化）中，幫助兒童理解“商品價(jià)錢、找回的錢和付出的錢”之間的關(guān)系；接著再將買東西的數(shù)量關(guān)系作為本質(zhì)（不變）進(jìn)行商品和數(shù)字的變式。

3.巧用文字?jǐn)⑹雒魑季S的指向

在掌握上述兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)后，從式子（符號(hào)）和文字表述兩方面進(jìn)行非標(biāo)準(zhǔn)變式。像“□+3=70”和“80-□=7”這樣的題型有利于學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握加減法各部分間的關(guān)系，為高年級(jí)的方程教學(xué)打基礎(chǔ)。在利用文字進(jìn)行問題的表述時(shí)，可以進(jìn)行不同層次的轉(zhuǎn)換，如情境不變變數(shù)字，指向數(shù)學(xué)情境的熟悉和利用；數(shù)字不變變情境，指向在不同的情境中理解知識(shí)的本質(zhì)；數(shù)字情境均變，指向更高層次的數(shù)學(xué)理解。

語言文字通俗易懂、圖形式子直觀形象，兩者結(jié)合或相互轉(zhuǎn)換可以將數(shù)學(xué)知識(shí)靈動(dòng)地串成一個(gè)整體，也是兒童數(shù)形結(jié)合思想形成的有效途徑。對于還處在以具體形象思維為主，逐步向抽象思維過渡的小學(xué)生來說，利用數(shù)形結(jié)合、圖文轉(zhuǎn)換、文字?jǐn)⑹龅确绞皆O(shè)計(jì)一些表述不同的概念辨析題組，尤其是非標(biāo)準(zhǔn)變式的練習(xí)，可以幫助兒童在學(xué)習(xí)中去除非本質(zhì)屬性，指向更深層次的理解。endprint

三、改變結(jié)構(gòu)，讓兒童數(shù)學(xué)思維從連續(xù)走向非連續(xù)

結(jié)構(gòu)包括外顯的知識(shí)學(xué)習(xí)進(jìn)程和內(nèi)部的知識(shí)建構(gòu)過程。結(jié)構(gòu)的非標(biāo)準(zhǔn)變式是將二者相結(jié)合，以關(guān)注兒童更加靈活的探究為設(shè)計(jì)原則，通過改變既定而又被動(dòng)的學(xué)習(xí)過程，從而達(dá)到兒童內(nèi)部知識(shí)建構(gòu)的優(yōu)化。

例如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，可以首先從對購物清單上的數(shù)據(jù)分類來引出小數(shù)，通過整數(shù)與小數(shù)的對比初步認(rèn)識(shí)小數(shù)；接著引導(dǎo)學(xué)生探索如何在代表1元的長方形中表示出0.4元，從而認(rèn)識(shí)0.4的意義，同時(shí)建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系；最后利用課件將長方形紙變成尺子和數(shù)軸進(jìn)行小數(shù)知識(shí)的變式建構(gòu)。

1.利用反例突顯，在對比辨析中觸摸知識(shí)

新知為什么是新知？和舊知有什么不同和聯(lián)系？在課初，設(shè)計(jì)利用消費(fèi)清單上金額的不同，讓學(xué)生進(jìn)行分類。學(xué)生在分類中明白了我們之前學(xué)習(xí)的數(shù)是整數(shù)，而今天學(xué)習(xí)的數(shù)和整數(shù)不一樣，它有小數(shù)點(diǎn)，由三部分構(gòu)成……分類的過程就是一個(gè)對比、分析的過程，分類的結(jié)果也是一個(gè)總結(jié)、提升的過程。非標(biāo)準(zhǔn)反例變式可以提供有利于辨別的信息，讓學(xué)生在對比、反思中辨析，突出知識(shí)的本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地形成模型。

2.改變構(gòu)建方式，在原有體系上衍生新知

如何建立小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系？如何讓學(xué)生體會(huì)到十進(jìn)制分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示？改變例題的常規(guī)教學(xué)，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)操作的條件：把長方形紙當(dāng)作1元，表示其中的4角，學(xué)生自然想到平均分成十份，涂其中的4份，這個(gè)操作過程成功地喚醒了學(xué)生原有的知識(shí)儲(chǔ)備（），水到渠成地將小數(shù)與分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來。

3.轉(zhuǎn)換練習(xí)視角，在層層變式中擴(kuò)大視野

在練習(xí)環(huán)節(jié)中利用非標(biāo)準(zhǔn)變式將不同系統(tǒng)模型（貨幣模型→米制模型→數(shù)軸）聯(lián)結(jié)在一起，變化的是模型的外形和表述形式，不變的是小數(shù)的意義本質(zhì)。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在通過自主探究發(fā)現(xiàn)“零點(diǎn)幾就是十分之幾”后，對后面的變式練習(xí)完成得很好，特別是數(shù)軸的變式，讓學(xué)生避免產(chǎn)生小數(shù)就是比1小的數(shù)這樣的錯(cuò)覺。學(xué)生學(xué)習(xí)過程的優(yōu)化直接影響學(xué)生內(nèi)部知識(shí)體系的建構(gòu)。

改變被動(dòng)的學(xué)習(xí)方式，適時(shí)創(chuàng)設(shè)有效的非標(biāo)準(zhǔn)變式活動(dòng)及練習(xí)，給學(xué)生提供觀察、猜想、操作、驗(yàn)證、歸納等機(jī)會(huì)，能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲，促進(jìn)學(xué)生更積極地參與活動(dòng)，學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化同時(shí)也促進(jìn)了兒童內(nèi)部知識(shí)體系的優(yōu)化建構(gòu)。

四、改變方法，讓兒童數(shù)學(xué)思維從套路走向多元

方法具體包括探索的方法、計(jì)算的方法和解決問題的方法。在此類教學(xué)中，方法的優(yōu)化固然重要，但方法的多樣卻可以給兒童的思維帶來一份不一樣的理解和生長。

例如蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)上冊“平均數(shù)”一課，可以這樣設(shè)計(jì)：全課從統(tǒng)計(jì)全班同學(xué)看書的本數(shù)這一活動(dòng)展開，首先引導(dǎo)學(xué)生討論用哪個(gè)數(shù)代表，從而引出平均數(shù)；其次利用移補(bǔ)貼圖和平均數(shù)的計(jì)算進(jìn)一步理解平均數(shù)；最后在變式題組中領(lǐng)悟平均數(shù)最大值和最小值之間的關(guān)系，體會(huì)平均數(shù)的敏感性。

1.以情境的變式突顯探索的核心

需求是有效探索的前提。教學(xué)中，在分析學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上通過統(tǒng)計(jì)“看書多少”這個(gè)活動(dòng)情境，讓學(xué)生在自身的活動(dòng)中不由自主地進(jìn)入對知識(shí)的需求和探究。通過探索情境的創(chuàng)設(shè)與改變、條件的辨析與選擇、材料的選取與應(yīng)用，學(xué)生在變化中剔除非本質(zhì)屬性，聚焦本質(zhì)特征，打破原有的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的探究與理解能力。

2.以適切的方法豐富計(jì)算的空間

求平均數(shù)通常帶給學(xué)生的就是先加再除，如何讓學(xué)生打破這一思維定勢？安排操作讓學(xué)生在實(shí)際的變化中感受平均數(shù)的形成；利用不同數(shù)據(jù)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法優(yōu)化；巧設(shè)變式練習(xí)讓學(xué)生體會(huì)到計(jì)算也需“因材”。計(jì)算方法的優(yōu)化固然重要，但方法的形成、辨析、篩選需要一個(gè)過程，這個(gè)過程會(huì)因?qū)W生的思維層次不同呈現(xiàn)可變性，也會(huì)因具體的數(shù)字不同呈現(xiàn)靈活性，更會(huì)因解決問題的不同呈現(xiàn)多樣性。在教學(xué)中關(guān)注計(jì)算的這些可變因素，就不會(huì)出現(xiàn)“硬逼列豎式計(jì)算”等做法，從而關(guān)注到學(xué)生的巧算、口算、估算等多種計(jì)算方法的培養(yǎng)。

3.以多層的鋪墊提升問題的價(jià)值

問題解決的方法是多樣的。在多種解決方法中須要提取學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備也各不相同。在教學(xué)中，可以針對不同的知識(shí)點(diǎn)和訓(xùn)練點(diǎn)，以多層次的問題鋪墊引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)過程變得更有價(jià)值。上述課例中，將單一的計(jì)算彩帶平均長度的問題增加了“前估”“后變”兩個(gè)層次的問題變式：計(jì)算前先估一估平均長度，引導(dǎo)學(xué)生思考平均數(shù)的范圍；計(jì)算驗(yàn)證后又利用一根彩帶長度的增加或減少引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)每一個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)生變化都會(huì)引起平均數(shù)的變化。通過多層的變式鋪墊，使學(xué)生對知識(shí)的理解、對問題的思考更加深刻。

無論是探索的過程、計(jì)算的思路還是問題的解決都需要非標(biāo)準(zhǔn)變式在過程中進(jìn)行適當(dāng)鋪墊，變化原本已“定型”的方法，給兒童的思維提供多一份的選擇。在設(shè)計(jì)探索活動(dòng)時(shí)，可以借助變化問題的情境、條件呈現(xiàn)的形式，選擇更貼近兒童認(rèn)知的活動(dòng)；在計(jì)算的優(yōu)化前，可以提供不同數(shù)字的算式，讓兒童在不同的數(shù)字中體會(huì)到計(jì)算的靈巧和多樣；在問題的解決中，既可以改變條件的呈現(xiàn)方式來突顯數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，又可以對問題進(jìn)行多角度的衍生與提升，讓兒童的思維從既定的套路走向多元的探究。

小學(xué)數(shù)學(xué)非標(biāo)準(zhǔn)變式的實(shí)踐，為數(shù)學(xué)課堂的變化提供了可能：靈活、多元地變化非本質(zhì)屬性以突出事物的本質(zhì)屬性，學(xué)生在變與不變中進(jìn)行對比、分析、猜想、驗(yàn)證、歸納，從而明確知識(shí)的本質(zhì)特點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)全面建構(gòu)，更重要的是這個(gè)過程拓寬了學(xué)生的思維發(fā)展空間，打破了原本 “固化”的思維成長路徑，幫助學(xué)生獲得有效的學(xué)業(yè)求助，讓其思維發(fā)展走向開闊與深刻。

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[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint