◇ 華應(yīng)龍

真空妙有，『面』上生花
——以『認(rèn)識(shí)面積』一課為例

◇ 華應(yīng)龍

編者按：

“人生自古誰(shuí)無(wú)‘錯(cuò)’？學(xué)生尤甚”“有‘化錯(cuò)’，才有真正的學(xué)習(xí)”“教育就是教己育人，正己化人，以人育人”……在從“知識(shí)核心時(shí)代”走向“素養(yǎng)核心時(shí)代”的歷程中，全國(guó)著名特級(jí)教師華應(yīng)龍基于“融錯(cuò)教育”“化錯(cuò)教學(xué)”等研究，進(jìn)一步提出了“化錯(cuò)教育”的新主張，并帶領(lǐng)他的團(tuán)隊(duì)在教學(xué)中積極探索、實(shí)踐。本專輯從多角度、多方面記錄華老師及其團(tuán)隊(duì)最新的研究成果，以饗讀者。

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)“什么是面積”。

【課前慎思】

一、怎么理解“面積”

什么是面積？什么是面？什么是積？學(xué)生最不好理解的是“面”還是“積”？“面”和“積”又是怎么聯(lián)系起來(lái)的？面積具有可加性，那么面積為什么不叫“面和”？

一張撲克牌有正反兩面，撕去一面還有兩面，再撕去一面還有兩面，可否理解為面是很薄很薄且只有長(zhǎng)寬沒(méi)有厚度的？

不同的教材都有類似的“物體的表面或平面圖形的大小就是它們的面積”，我不禁要問(wèn)：那么，“物體的表面”和“平面圖形”是什么關(guān)系？為什么到面積了，要這樣正式？而三年級(jí)上學(xué)期剛剛學(xué)的“什么是周長(zhǎng)”不是這樣正式，就沒(méi)有這樣的學(xué)究味，只是借小螞蟻的嘴說(shuō)“我爬過(guò)一周的長(zhǎng)度就是樹葉的周長(zhǎng)”，借小鳥圖說(shuō)“圖形一周的長(zhǎng)度就是圖形的周長(zhǎng)”。

什么活動(dòng)才能幫助學(xué)生更好地理解“面積”？有的老師認(rèn)為“相比長(zhǎng)度，面積更為抽象”。好像面積不抽象吧？臺(tái)灣地區(qū)的呂玉英老師說(shuō)：“面積這個(gè)量的屬性是可以通過(guò)感官掌握的，可以用手比畫或目視大小的?！泵娣e也是具象的，線段只有長(zhǎng)度，也就是只有一個(gè)向度，而面積不僅有長(zhǎng)短而且有寬窄，也就是有兩個(gè)向度，學(xué)生對(duì)面積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)少些罷了。我們能設(shè)計(jì)出有針對(duì)性的活動(dòng)，幫助學(xué)生從一維發(fā)展到二維，就可能降低認(rèn)識(shí)面積的難度。

以“積”開頭的成語(yǔ)有：積少成多、積露為波、積沙成塔、積水成淵……那么，從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，是積點(diǎn)成線、積線成面嗎？可以這么說(shuō)嗎？

牛頓在其名著《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》的前言中說(shuō)：“可以把數(shù)學(xué)中的量看作是連續(xù)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生出來(lái)的?！边@句話是不是告訴我們，幾何形體不僅可以從形狀上看成是運(yùn)動(dòng)生成的，其求積問(wèn)題也可以用運(yùn)動(dòng)的方式加以研究呢？

這樣教學(xué)的前提是，現(xiàn)實(shí)地認(rèn)為線是有寬度的。這就與人們常說(shuō)的 “點(diǎn)沒(méi)有大小、線沒(méi)有粗細(xì)、面沒(méi)有厚薄”相沖突了，怎么辦？怎么解釋？現(xiàn)實(shí)中哪條線沒(méi)有寬度呢？為什么要說(shuō)“線沒(méi)有粗細(xì)”？我請(qǐng)教了三位研究數(shù)學(xué)教育的教授。第一位教授說(shuō)：“數(shù)學(xué)上，點(diǎn)沒(méi)有大小、線沒(méi)有粗細(xì)、面沒(méi)有厚薄是歐幾里得的《幾何原本》中的規(guī)定，它們是原始概念，沒(méi)有理由。”第二位教授說(shuō)：“線是一維的，只有長(zhǎng)度，沒(méi)有粗細(xì)；點(diǎn)是零維的，如果有大小，就是二維的圓了?！钡谌唤淌诟嬖V我：“那是因?yàn)辄c(diǎn)和線是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，因此與具象有關(guān)的大小、粗細(xì)，對(duì)抽象的點(diǎn)和線沒(méi)有實(shí)際意義，大點(diǎn)或小點(diǎn)、粗些或細(xì)些都不影響我們討論問(wèn)題?！蹦鞘欠窨梢赃@樣理解：“線沒(méi)有粗細(xì)”是說(shuō)在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，線的粗細(xì)被有意忽略了。你說(shuō)有還是沒(méi)有，它都在那里。在這節(jié)課上，線的粗細(xì)被我重視了。

二、怎么比較面積的大小

“比一比，誰(shuí)圍的面大？”這是老師常常采用的教學(xué)活動(dòng)。怎么比較大?。勘容^什么圖形的面積大??？生活中常見的是不規(guī)則的圖形，學(xué)生掌握不好的也是不規(guī)則圖形的面積。一開始就比較不規(guī)則的圖形，是否太難了？看不出來(lái)的又怎么辦？可不可以用涂滿的方法來(lái)比？畫線來(lái)比行不行呢？好像有些荒唐，不過(guò)這樣比可以很好地突出面積的意義啊。畫出的線是有粗細(xì)的，是不是就是用長(zhǎng)方形來(lái)比的呢？我們的祖先就是將假定圖形化為寬邊為一個(gè)單位長(zhǎng)度的長(zhǎng)方形，以這個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度來(lái)表示面積大小的。

比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，可以重疊的，不用畫線了；重疊也比不出的，可以提供印泥，用大拇指來(lái)蓋，再用小拇指來(lái)蓋……剪下來(lái)稱？用天平稱？2011版數(shù)學(xué)課標(biāo)及相應(yīng)的教材，為什么刪掉了“能用自選單位估計(jì)和測(cè)量圖形的面積”的要求？

三、追求怎樣的課堂愿景

以前的教學(xué)設(shè)計(jì)，常常移步換景，一節(jié)課要出現(xiàn)15個(gè)左右的情境素材，是不是太多、太碎、太雜？能否簡(jiǎn)單些、豐富點(diǎn)？抓住一個(gè)素材好好品味？

搜索馬航失聯(lián)客機(jī)MH370的報(bào)道，學(xué)生一定聽到不少。原本感覺地球是個(gè)很小很小的地球村的人們一下子醒悟過(guò)來(lái)，原來(lái)地球還是很大很大的?！八阉髅娣e”可否拿來(lái)教學(xué)？是否人道？

數(shù)學(xué)是講道理的。數(shù)學(xué)課是不是可以讓學(xué)生借著數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，來(lái)初步學(xué)會(huì)怎樣講道理？小學(xué)生能夠接受的講道理是怎樣的？舉正例、想反例？這對(duì)三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，是否太高了？

保羅·洛克哈特在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息》一書中說(shuō)：“數(shù)學(xué)是一門‘藝術(shù)’?！蔽覀兊男W(xué)數(shù)學(xué)是否應(yīng)該更加藝術(shù)？可以試一試。

基于以上的思考，我制定的本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：（1）理解面積的含義，會(huì)比較面積的大小，進(jìn)一步建立空間觀念。（2）初步學(xué)會(huì)“舉例子，講道理”。（3）感受到思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣。

【課堂實(shí)錄】

一、創(chuàng)成語(yǔ)，解讀“面”

1.講故事，創(chuàng)成語(yǔ)。

師：暑假，我去聞名遐邇的鳳凰城旅游（幻燈片播放旅游照片），領(lǐng)略了那里的美景，有一處景色讓我記憶猶新（播放手工織布視頻），看到這個(gè)過(guò)程，我想到一個(gè)成語(yǔ)（板書：積 成 ）。你能說(shuō)出關(guān)于“積 成 ”的成語(yǔ)嗎？

（生答：積少成多、積土成山、積勞成疾、積非成是、積善成德……）

師：是啊，關(guān)于這樣的成語(yǔ)還真不少。（幻燈片出示：積土成山、積水成淵、積善成德）這些成語(yǔ)有什么共同點(diǎn)？

生1：都是一點(diǎn)一點(diǎn)積累的。

生2：都是越積累越多的。

師：是啊，都是“積小成大”（補(bǔ)充板書）。回過(guò)頭來(lái)再看看織布的過(guò)程，我們能不能創(chuàng)造一個(gè)關(guān)于“積 成 ”的成語(yǔ)呢？

生：積線成布。

師：布就成一個(gè)面了，是不是可以說(shuō)“積線成面”呢？

2.舉例子。

師：生活中還有積線成面的現(xiàn)象嗎？

（生有些茫然。師微笑并用課件播放圖片：涼席上睡一個(gè)小孩、吊簾等）

生1：（著急地）涼席中有積線成面。

生2：簾子中也有積線成面。

生3：衣服中也有積線成面。

師：（對(duì)生3笑）你是我的托兒！今天我有意穿了這件衣服（指著自己衣服上的豎條）。積線成面，有的是平面，有的是曲面。

生4：我褲子上破了個(gè)洞，媽媽幫我用線補(bǔ)上了一朵花！

師：你媽媽有一雙積線成面的巧手！

……

師：（平端起一本厚書）這本書有幾個(gè)面？

生：6個(gè)。

師：它的前面是怎么形成的？

生：積線成面。

師：（課件播放書本的前面積線成面的過(guò)程。再平端起兩本薄厚不同的書）這兩本書的前面都是積線成面，哪個(gè)面大？

生1：左邊這本大。

生2：右邊這本大。

生3：不對(duì)不對(duì)，我們的右邊是老師的左邊。

師：（大笑）我以為我們班的孩子是左右不分呢，開個(gè)玩笑。（將兩本書一本舉高，一本舉低，如圖1）這樣呢？

圖1

生：高的那本面大。

師：如果一個(gè)人在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地方，看不清哪個(gè)面大。但可以問(wèn)我一個(gè)問(wèn)題。我一答，他就知道哪個(gè)面大了。你覺得我可以問(wèn)什么問(wèn)題？

生：頁(yè)數(shù)。

師：哦，我們來(lái)看一下，左邊這本是478頁(yè)，右邊這本是325頁(yè)。

生：（齊）左邊的面大。

師：看來(lái)同學(xué)們都明白——同樣粗細(xì)的線，積得越多，面就越大。

3.總結(jié)。

師：今天我們一起創(chuàng)造了一個(gè)“成語(yǔ)”——

生：積線成面。

師：這樣，我們以后再看到面的時(shí)候，你就能看到別人可能看不到的——面的里面有許許多多的線。

二、聽故事，比較“面”

1.看動(dòng)畫，比大小。

師：面的里面除了線，還有什么呢？來(lái)，我們一起看動(dòng)畫《白雪公主要來(lái)了》，邊看、邊想、邊交流。

（課件播放白雪公主的故事，拋出第一個(gè)問(wèn)題：白雪公主要選擇兩張床中的一張，哪張床大呢）

師：表達(dá)床面的大小，有個(gè)詞是兩個(gè)字的，你知道嗎？

生1：周長(zhǎng)。

生2：面積吧。

師：面積，聽說(shuō)過(guò)這個(gè)詞兒?jiǎn)幔浚ㄒ淮蟀雽W(xué)生舉手表示聽說(shuō)過(guò)）在哪兒聽說(shuō)過(guò)？

生：一個(gè)新房子的面積有多大？

師：家中買房了嗎？一般地，新房子的面積比舊房子的面積——

生 1：大。

生2：老師剛剛說(shuō)過(guò)這個(gè)詞。

生3：工地的面積或者公園的面積。

師：是啊，它們都有面積。（課件出示兩個(gè)長(zhǎng)方形床面）哪個(gè)床面的面積大呢？

（學(xué)生意見不一）

師：怎樣才能沒(méi)有爭(zhēng)論？

生：把那張長(zhǎng)的割一下，補(bǔ)過(guò)來(lái)。

師：好！還有不同的辦法嗎？

生：用下面的墊子擺。

師：心有靈犀?。ㄕn件播放往床上擺一模一樣墊子的過(guò)程）現(xiàn)在有辦法比較大小了嗎？

生：可以數(shù)。

師：快數(shù)一數(shù)。

生：左邊的床擺了12個(gè)墊子，右邊的床擺了14個(gè)墊子，右邊的床大。

師：還有不同意見嗎？（生：沒(méi)有）左邊床面的面積是——12個(gè)墊子，右邊床面的面積是——14個(gè)墊子。誰(shuí)大誰(shuí)小，不會(huì)再爭(zhēng)論了，這就是數(shù)據(jù)的力量。哦，借助一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)參照，數(shù)一數(shù)，就能比較出面積大小了。

（課件繼續(xù)播放故事，拋出第二個(gè)問(wèn)題：有3塊鏡子，哪塊鏡面大？讓學(xué)生自己想辦法比較大小）

師：是不是感覺不好比較？我們繼續(xù)聽故事。（課件播放在鏡面上鋪手帕的過(guò)程，如圖2，前兩塊鏡面上鋪的手帕一樣大，第三塊鏡面上鋪的手帕比較?。┈F(xiàn)在可以比出來(lái)嗎？為什么？同桌之間說(shuō)一說(shuō)。

圖2

生：不行，最后那塊鏡面上的手帕不一樣大。

師：怎樣才好比較？（生說(shuō)手帕大小要一樣。課件播放第三塊鏡面上鋪與前兩塊鏡面上一樣大的手帕）現(xiàn)在能比出大小嗎？

生：（開始，有的說(shuō)能，有的說(shuō)不能。最后，都認(rèn)為能）3塊鏡面上鋪的都是4塊同樣大小的手帕，第三塊鏡面上還有一小塊沒(méi)有鋪上，所以第三塊鏡面的面積大。

師：哦，比較面積大小時(shí)，選的標(biāo)準(zhǔn)要一樣。（課件繼續(xù)播放故事，拋出第三個(gè)問(wèn)題：兩張餐桌，哪張餐桌的桌面大）有辦法比嗎？4人小組討論討論，拿出一個(gè)方案。

生：擺盤子。

師：（微笑）是啊，我們可以在餐桌上擺餐具。

（課件出示在長(zhǎng)方形桌面上擺盤子的過(guò)程：如圖3，第一個(gè)桌面上每列擺5個(gè)，擺3列，前兩列擺滿，第三列只擺了2個(gè)盤子；第二個(gè)桌面上每列擺7個(gè)，擺2列，第一列擺滿，第二列只擺了1個(gè)盤子?？赐旰螅械膶W(xué)生不解地“啊”了一聲）

圖3

師：對(duì)啊，沒(méi)鋪滿，能比出來(lái)嗎？

（4人小組交流后）

生1：左邊可以擺15個(gè)盤子，右邊可以擺14個(gè)盤子。所以，左邊的餐桌面積大。

師：（疑惑的樣子）左邊可以擺15個(gè)盤子？為什么加“可以”兩個(gè)字？

生1：左邊擺了12個(gè)，空3個(gè)，一共可以擺15個(gè)盤子。

師：哦，沒(méi)擺的3個(gè)盤子我們可以用想象給擺上，“可以”這個(gè)詞用得好，嚴(yán)謹(jǐn)。

師：現(xiàn)在沒(méi)意見了吧？左邊餐桌面的面積大，對(duì)吧？（生：對(duì)）有沒(méi)有疑問(wèn)？

（生無(wú)聲）

師：（意味深長(zhǎng)地）這個(gè)可以有。

生：盤子的個(gè)數(shù)能比，但是中間還有空隙，怎么比呢？

師：你看，這個(gè)問(wèn)題提得多好，真是個(gè)好問(wèn)題，掌聲！空隙要不要算？

（生有的說(shuō)“要”，空隙是餐桌面積的一部分；有的說(shuō)“不要”，都有空隙，抵消了）

師：中間的空隙到底要不要算？實(shí)際上，我們可以想象，盤子的外面是套著一個(gè)正方形的。（課件顯示盤子上“套”正方形的過(guò)程，學(xué)生看后恍然大悟）這樣，這些空隙都可以用想象鋪滿。

2.比較共同點(diǎn)。

師：（課件播放故事的結(jié)尾）故事講完了，大家似乎還沒(méi)聽夠?；仡^看看（課件展示比較床面的面積、鏡面的面積、餐桌面的面積圖案），從中我們有收獲嗎？比較一下，有什么共同點(diǎn)？

生：我們都擺了東西，從而比出了大小。

……

師：同學(xué)們很會(huì)總結(jié)！從這個(gè)故事中，我們知道了比較面積大小的時(shí)候，第一，選一個(gè)小面做標(biāo)準(zhǔn)，做參照，做單位；第二，在比較的時(shí)候，選的標(biāo)準(zhǔn)要相同；第三，盡量鋪滿，但不一定能鋪滿，可以用想象來(lái)鋪滿。

3.做出創(chuàng)意。

師：剛才比的是床面、鏡面、桌面的大小，如果請(qǐng)你比較正方形和長(zhǎng)方形的房間哪個(gè)大，你打算怎么比較房間地面的大小？

師：作為學(xué)生，不僅能動(dòng)腦，還能動(dòng)手。動(dòng)手畫一畫，比一比。

（課件出示：比一比，誰(shuí)更會(huì)創(chuàng)造。①看一看：是正方形的面積大，還是長(zhǎng)方形的面積大？②想一想：想想面的里面有什么，就好比較它們的大小了。③畫一畫：畫出你所想的，并借助它比出誰(shuí)大誰(shuí)小）

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前老師發(fā)的練習(xí)紙（練習(xí)紙上有一個(gè)正方形和一個(gè)長(zhǎng)方形，且課前交流時(shí)學(xué)生已在練習(xí)紙上寫好名字）。不著急，優(yōu)秀的人三思而后行，想好了再動(dòng)筆。怎么畫，既能比出大小，又可以節(jié)省時(shí)間，還好玩？

（倒計(jì)時(shí)3分鐘，學(xué)生獨(dú)立創(chuàng)作。教師巡視，并用紙、筆記錄學(xué)生的比較方法）

師：我們來(lái)交流一下吧。

（實(shí)物展臺(tái)展示生1的作品：兩個(gè)圖形上各畫一個(gè)白雪公主，如圖4）

生1：讓白雪公主直接躺在床上。

生2：你的兩位白雪公主畫得大小不一樣。生1：那是我沒(méi)畫好。

師：看上去確實(shí)不一樣大，不過(guò)你心里知道是一樣大的，真好玩?。ㄎ⑿?、善意提醒：現(xiàn)在是比房間地面大小，不是比床面大?。┱坡暩兄x他提醒我們。能動(dòng)手畫出心中想的，是一種能力。

師：我們?cè)倏聪乱晃煌瑢W(xué)的作品。

（展示生2的作品，如圖5）

圖4

圖5

生2：第一個(gè)圖形分成了4個(gè)正方形，第二個(gè)分出2個(gè)正方形，還留下一些。

師：你知道畫一樣大小的正方形，非常棒！留下的部分怎樣更好比？看看這個(gè)作品。

（出示老師的畫法，如圖6）

圖6

師：（對(duì)生2笑）你看，你是不是我的托兒？這樣能比出來(lái)嗎？

生2：左邊是4個(gè)正方形，右邊先有2個(gè)，上面又可以組成1個(gè)，右邊……

生3：反正右邊剩下的部分不夠一個(gè)正方形，所以原來(lái)正方形的面積大。

（全班學(xué)生頻頻點(diǎn)頭）

師：（微笑）我們?cè)賮?lái)看生4的作品（如圖7）。

圖7

生4：左邊20個(gè)盤子，右邊28個(gè)盤子。

師：可是剛才不是正方形的面積大嗎？怎么現(xiàn)在成了長(zhǎng)方形的面積大？

生：盤子的大小不一樣。

師：（微笑）看來(lái)是因?yàn)楸P子大小不一樣造成的，不過(guò)這位同學(xué)的作品里有沒(méi)有值得我們學(xué)習(xí)的地方呢？我們看別人的作品要看到好的地方。

生：用圓圈畫比較好。

師：剛才有同學(xué)拿筆帽去圈，那樣圈出的圓是不是就一樣大了？還有什么好的地方？

生：在圖形的下面寫出了個(gè)數(shù)。

師：我覺得生4是一個(gè)很了不起的同學(xué)，她寫出的個(gè)數(shù)，告訴我們她知道了面積就是面里面的小面的個(gè)數(shù)。而且她只畫出了一部分，留了空白，是不是可以節(jié)省時(shí)間呀？真了不起！

師：我們看看這位同學(xué)又是怎么創(chuàng)作的。（展示學(xué)生的作品，如圖8所示）誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下他的作品？

圖8

生1：這位同學(xué)是用尺子畫的。

生2：他畫滿了。

生3：他比出了結(jié)果。

師：這會(huì)兒大家都能看到別人的長(zhǎng)處了，給自己鼓掌！

4.小結(jié)。

師：（師生作品一屏呈現(xiàn)）誰(shuí)能總結(jié)一下，我們是怎么比較兩個(gè)面的大小的？

生1：都在圖形里畫了東西。

生2：畫的都是一樣的東西。

生3：不管畫滿還是不畫滿，都是數(shù)出里面可以擺多少個(gè)。

師：（欣賞的目光，直豎大拇指）那就是數(shù)小面?；氐介_始的成語(yǔ)上來(lái)，積小成大，在這節(jié)課上，其實(shí)就是積小面成大面。

（師把板書補(bǔ)充完整：“積小面成大面”）

師：（課件出示涼席圖片）“積線成面”的“線”是什么？是不是一個(gè)小面？對(duì)，這里的“線”是一個(gè)長(zhǎng)方形。

三、總結(jié)全課

師：千金難買回頭看。現(xiàn)在你能說(shuō)說(shuō)，什么是“面積”嗎？

生1：面積就是圖形里面東西的個(gè)數(shù)。

生2：面積就是指面的大小。

師：同學(xué)們說(shuō)得非常好！有一天，我突然發(fā)現(xiàn)——面積、面積，就是說(shuō)面是積出來(lái)的。（在課題位置板書：面是積出來(lái)的）大面是用小面積出來(lái)的，面的大小是數(shù)出來(lái)的。面的里面有什么呢？

生1：面的里面有線。

生2：面的里面有面。

師：面的里面有什么，是一個(gè)很有意思的問(wèn)題。面的里面長(zhǎng)著許多東西，豐富多彩。（課件出示：一個(gè)空白的長(zhǎng)方形，一條一條的黃線依次累積，最后鋪滿；再空白，接著一塊一塊鋪滿墊子；再空白，然后用餐盤鋪，有空缺；再有花朵，再空白。再飄進(jìn)“下課啦”，最后飄走）有的東西已經(jīng)長(zhǎng)出來(lái)了，有的還沒(méi)有；沒(méi)有長(zhǎng)的，那是留給我們想象的。

師：同學(xué)們，下課啦！

（學(xué)生久久不愿離去）

【課后明辨】

開始研究這節(jié)課的時(shí)候，為了直觀展現(xiàn)“積線成面”，我請(qǐng)朋友幫我做動(dòng)畫“積水成淵”。水一滴一滴滴下來(lái)，連成一條線；然后，一條一條流下來(lái)，積線成面；最后，一面一面淌下來(lái)，積面成體。那動(dòng)畫不真實(shí)，不美麗。水滴沒(méi)有那么聽話的。哪知道暑假游鳳凰城時(shí)，手工織布的場(chǎng)景讓我眼前一亮：這不就是“積線成面”嗎？我不就是要“積線成面”嗎？

改進(jìn)后的教學(xué)，自覺舒服多了。心中有一個(gè)追求，但也不能一意孤行。最好的“那一個(gè)”，有可能在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)。這也是一種“真空妙有”，總之，不要太執(zhí)著就很美好。

上完這節(jié)課，有老師疑惑地問(wèn)我：“華老師，您這樣講面積，有沒(méi)有科學(xué)性問(wèn)題？我們都知道線是沒(méi)有粗細(xì)的。”

謝謝同行的提問(wèn)，他讓我思考清楚一個(gè)問(wèn)題：小學(xué)階段的教學(xué)是不是可以浪漫一些？太嚴(yán)謹(jǐn)，太科學(xué)，反而不利于學(xué)生的發(fā)展。

懷特海在《教育的目的》一書中把學(xué)習(xí)分為了三個(gè)階段：浪漫期、精確期、綜合期，分別對(duì)應(yīng)的是小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)階段。如果我們?cè)谛W(xué)階段就追求精確到永遠(yuǎn)正確，那是不是拔苗助長(zhǎng)？請(qǐng)問(wèn)讀者朋友，您是什么時(shí)候知道“線沒(méi)有粗細(xì)”的？我大概是初三的時(shí)候。再者，孩子的生活中有沒(méi)有“沒(méi)有粗細(xì)的線”？積線成面的線無(wú)疑是有粗細(xì)的，將來(lái)再知道數(shù)學(xué)上研究的線是沒(méi)有粗細(xì)的，會(huì)有什么害處嗎？這就像開始識(shí)數(shù)時(shí)，知道最小的數(shù)是1；后來(lái)，知道最小的數(shù)是0；再后來(lái)，知道還有比0小的負(fù)數(shù)；再再后來(lái)，知道沒(méi)有最小的數(shù)。這就像開始學(xué)乘法，知道越乘越大；學(xué)了小數(shù)乘法，知道還可能越乘越小。這就像開始研究三角形，知道三角形的內(nèi)角和是180度；等到了大學(xué)，知道三角形的內(nèi)角和還可能大于180度或小于180度……

而面積這節(jié)課，最要緊的是怎么幫助學(xué)生從一維到二維。在學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)中，線是一維的。他不知道線沒(méi)有粗細(xì)，但知道線有長(zhǎng)度。上完這節(jié)課，他知道線有粗細(xì)，也就有了面積，有何不好？

哦，我能說(shuō)服我自己就好！

化錯(cuò)教學(xué)不是為了化錯(cuò)而去教學(xué)，而是教學(xué)中不可避免地遭遇差錯(cuò)，教師和學(xué)生怎么去化解，怎么為我所用，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，這需要并值得我們?nèi)ヌ剿?。本課中，特別是學(xué)生創(chuàng)作階段的“化錯(cuò)”，我是滿意的。怎樣從差錯(cuò)中發(fā)現(xiàn)正確的方向，是我要爭(zhēng)取早日說(shuō)出一二三的。

（本課實(shí)錄由陜西榆林閆彩燕老師整理）

（作者單位：北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)）