胡星宇，燕鵬飛

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

廣義拓?fù)渲械陌雽涌臻g和函數(shù)插入

胡星宇，燕鵬飛

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門(mén) 529020）

引入了μ-半層空間的概念，給出了μ-半層空間的若干刻畫(huà)，且從函數(shù)插入角度給出了該類空間刻畫(huà).

廣義拓?fù)?；廣義g函數(shù)；μ-半層空間

匈牙利數(shù)學(xué)家á.Császár在1997年提出了廣義拓?fù)淇臻g的概念[1]. 作為經(jīng)典一般拓?fù)鋵W(xué)的推廣，廣義拓?fù)淅碚摻陙?lái)得到了快速發(fā)展，很多一般拓?fù)鋵W(xué)的重要概念被應(yīng)用于廣義拓?fù)淅碚?

á.Császár在文獻(xiàn)[2-3]中分別引入了廣義分離公理、廣義緊等廣義拓?fù)湫再|(zhì). 最近，M.M.ARAR[4]引入了廣義可數(shù)亞緊的概念. 由于廣義度量空間類在拓?fù)鋵W(xué)理論中占有重要的地位，一個(gè)自然的問(wèn)題是：如何將一些重要的廣義度量空間（包括層空間和半層空間）推廣到廣義拓?fù)渲?？本文將在廣義拓?fù)渲幸刖哂邪雽咏Y(jié)構(gòu)的空間，并討論它們的相關(guān)性質(zhì)，以期得到一系列與半層空間相對(duì)應(yīng)的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[4]1設(shè)X是一非空集合，如果X的子集構(gòu)成的集族μ滿足下面兩個(gè)條件，那么稱μ為X上的廣義拓?fù)洌?X,)μ稱為廣義拓?fù)淇臻g.

1）?∈μ；

2）μ的任意多個(gè)元素的并屬于μ.

令β?exp(X)和?∈β，如果μ={∪β′∶β′?β}，那么β被稱作μ的基，我們也可以說(shuō)μ是通過(guò)β生成的. 如果X∈β，那么廣義拓?fù)淇臻g(X,μ)被稱作μ-空間. 如果X的子集B∈μ（XB∈μ)，則B被稱作μ-開(kāi)集（μ-閉集），μc表示X的全體μ-閉集構(gòu)成的集族. 所有包含點(diǎn)x∈X的μ-開(kāi)集都將用μx表示，用公式表達(dá)就是μx={U∈μ∶x∈U}.

定義2[4]1設(shè)(X,μ)是μ-空間，X被稱作μ-T1空間. 如果對(duì)任意x,y∈X(x≠y)，都存在Ux∈μx和Uy∈μy使y?Ux和x?Uy.

定義3[5]設(shè)(X,μ)是廣義拓?fù)淇臻g，R是賦予通常拓?fù)涞膶?shí)直線.f∶X→R是廣義上半連續(xù)函數(shù)（廣義下半連續(xù)函數(shù)），若對(duì)每一a∈R集合{x∈X∶f(x)＜a}({x∈X∶f(x)＞a})是μ-開(kāi)集.

對(duì)廣義拓?fù)淇臻gX，用R(X)代表X上所有的廣義實(shí)值函數(shù). 我們將X上廣義下（上）半連續(xù)函數(shù)的集合寫(xiě)作GLSC(X（)GUSC(X)). 映射φ∶R(X)→R(X)稱為單調(diào)算子，若對(duì)h1≤h2有φ(h1)≤φ(h2).

2 主要結(jié)果

首先我們引入μ-半層空間的概念.

定義4μ-空間X被稱作μ-半層空間，如果存在映射ρ∶?×μ→μc滿足：

1）對(duì)于U∈μ和n∈?，ρ(n,U)?ρ(n+1,U)且∪n∈?ρ(n,U)=U；

2）對(duì)于任意U,V∈μ，如果U?V，那么對(duì)于所有的n∈?都有ρ(n,U)?ρ(n,V).

定義5設(shè)X為μ-空間，函數(shù)g∶?×X→μ稱為X上的廣義g函數(shù)，如果對(duì)x∈X和n∈?，x∈g(n+1,x)?g(n,x).

本文中，對(duì)于A?X，記g(n,A)=∪x∈Ag(n,x). 下面分別利用廣義g函數(shù)和μ-閉集列給出μ-半層空間刻畫(huà).

定理1對(duì)于μ-T1空間

X X，下列陳述等價(jià)：

1）X是μ-半層空間；

2）X有廣義g函數(shù)滿足：對(duì)X的點(diǎn)x及序列{xn}，若x∈g(n,xn)，則xn→x；

3）存在函數(shù)G∶?×μc→μ滿足：i）；ii）L?F?G(n,L)?G(n,F)；iii）對(duì)于任意F∈μc和n∈?都有G(n,F)?G(n+1,F)成立.

證明由DeMorgen法則易知1）?3），這里只需X是μ-空間即可，下證2）?3）.

設(shè)g∶?×X→μ為廣義g函數(shù). 定義G∶?×μc→μ使對(duì)每一F∈μc有G(n,F)=∪g(n,x)，則顯然

x∈F有G(n+1,F)?G（n,F)，且若L?F，有G(n,L)?G(n,F).

下證F=∩G（n,F)，由于F?∩G(n,F)，我們只需要證明∩G（n,F)?F. 如果不成立，則存在x∈∩G（n,F)-F，這樣有xn∈F使x∈g（n,xn)，由條件2知xn→x，這和F是μ-閉集矛盾.

3）?2）. 設(shè)G是滿足條件3的函數(shù). 對(duì)每一x∈X，令g(n,x)=G(n,{x})，則x∈g(m+1,x)?g(m,x)，因此g是X上的廣義g函數(shù). 設(shè)x∈g(n,xn)，U是x的一個(gè)開(kāi)鄰域，由于x?X-U，故存在m使得x?G(m,X-U)，這樣，當(dāng)k≥m時(shí)，有xk∈U成立，否則，g(k,xk)?G(k,X-U)?G(m,X-U). 這與x∈g(k,xk）矛盾，故xn→x.

定理2對(duì)于μ-空間X，下列陳述等價(jià)：

1）X是μ-半層空間；

2）存在一算子U，將每一遞減的μ-閉集列(Fj)j∈?對(duì)應(yīng)到一個(gè)遞減的μ-開(kāi)集列U(n,(Fj))n∈?，滿足如下性質(zhì)：i）對(duì)于每一個(gè)n∈?，都有iii）若(Fj)j∈?和(Ej)j∈?是兩個(gè)遞減的μ-閉集列，滿足對(duì)于每一n∈?，有Fn?En，則U(n,(Fj))?U(n,(Ej)).

證明1）?2）. 設(shè)G是給定的滿足定理1條件3的算子. 對(duì)于給定的遞減μ-閉集列(Fj)j∈?，令則Fn?U(n,(Fj))，因此i）成立. 對(duì)每一個(gè)所以又因?yàn)镕n?U(n,(Fj))，所以所以這樣ii）成立. 由定理1易知，若Fn?En，則U(n,(Fj))?U(n,(Ej))，iii）成立.

2）?1）. 設(shè)U是滿足條件2的算子，定義使G(n,F)=U(n,(Fj))，這里對(duì)每一j∈?，F(xiàn)j=F，則G滿足定理1的條件3，因此X是μ-半層空間.

最后，我們利用上述定理刻畫(huà)給出μ-半層空間和函數(shù)插入之間的聯(lián)系.

定理3設(shè)X是μ-空間，則下列等價(jià)：

1）X是μ-半層空間；

2）存在單調(diào)算子φ∶GLSC(X)→GUSC(X)使得對(duì)每一h∈GLSC(X)，都有0≤φ(h)≤h成立，而且當(dāng)h(x)＞0的時(shí)候，φ(h)(x)＞0.

證明1）?2）. 取任意的h∈GLSC(X)，令，則是遞減μ-閉集列，由定理2存在遞減μ-開(kāi)集列使得且現(xiàn)構(gòu)造如下的廣義函數(shù)，令：

則gh(x)∈GUSC(X)，定義算子φ∶GLSC(X)→GUSC(X)使φ(h)=gh，對(duì)任意的x∈X，當(dāng)x∈X-U(1,(Fj)),h(x)=1. 又因?yàn)棣?h)(x)=1，所以φ(h)(x)=h(x). 當(dāng)x∈U(n,(Fj))-U(n+1,(Fj))，此時(shí)此時(shí)h(x)=0，所以φ(h)(x)=h(x). 這樣0≤φ(h)≤h，由于又因?yàn)樗驭?h)(x)≤h(x）. 當(dāng)因此當(dāng)h＞0時(shí)，φ(h)＞0.

下面驗(yàn)證φ的單調(diào)性，設(shè)h1,h2∈GLSC(X)且h1＜h2，則對(duì)每一個(gè)j∈?，都有成立，在這里根據(jù)定理2，對(duì)于每一個(gè)n∈?，都有成立.若存在n0∈?使（在這里令），則這樣若則φ(h1)(x) =0，因此φ(h1(x))≤φ(h2(x)). 綜上所述，φ是滿足條件2的單調(diào)算子.

2）?1）. 設(shè)算子φ∶GLSC(X)→GUSC(X)滿足條件2，對(duì)每一遞減的μ-閉集列{Fj}j∈?，定義廣義下半連續(xù)函數(shù)h(Fj)∶X→R如下：

據(jù)假設(shè)所知，φ（h(Fj))是滿足條件1的廣義上半連續(xù)函數(shù)，令則U將每一遞減μ-閉集列(Fj)j∈?對(duì)應(yīng)到一個(gè)遞減μ-開(kāi)集列(U(n,(Fj))n∈?，下面驗(yàn)證U滿足定理2的條件2.

i）對(duì)每一n∈?，若x∈Fn，則因此，故x∈U(n,(Fj))，這樣Fn?U(n,(Fj)).

iii）設(shè)兩個(gè)遞減的μ-閉集序列（Fj)j∈?和(Ej)j∈?滿足Fn?En，則這樣φ(h(Fj))≥φ(h(Ej))，由定理2知X是μ-半層空間.

本文結(jié)論不僅能豐富和完善廣義拓?fù)淅碚?，而且?duì)更深層次理解層型結(jié)構(gòu)有著重要的意義.

[1] CSáSZáR á. Generalized open sets [J]. Acta Mathematica Hungarica, 1997, 75(1-2)∶ 65-87.

[2] CSáSZáR á. Separation axioms for generalized topologies [J]. Acta Mathematica Hungarica, 2004, 104(1-2)∶63-69.

[3] CSáSZáR á.γ-compact spaces [J]. Acta Mathematica Hungarica, 2000, 87(1-2)∶ 99-107.

[4] ARAR M M. On countablyμ-paracompact spaces [J]. Acta Mathematica Hungarica, 2016, 149(1)∶ 50-57.

[5] YAN Pengfei, YANG Erguang. Semi-stratifiable spaces and the insertion of semi-continuous functions [J].Journal of Mathematical Analysis & Applications, 2007, 328(1)∶ 429-437.

[責(zé)任編輯：熊玉濤]

Semi-stratifiable Spaces and the Insertion of Function in Generalized Topology

HU Xing-yu, YAN Peng-fei
(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the concept ofμ-semi-stratifiable spaces is introduced, and some characterizations ofμ-semi-stratifiable spaces are obtained. Finally, we characterize this kind of spaces from the insertion angle of functions.

generalized topology; generalizedg-function;μ-semi-stratifiable spaces

O189.1

A

1006-7302（2017）04-0001-04

2017-07-11

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11526158）

胡星宇（1991—），男，安徽合肥人，在讀碩士生，從事一般拓?fù)鋵W(xué)的研究；燕鵬飛，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，主要從事一般拓?fù)鋵W(xué)的研究.