柳艷秋

[摘 要] 例題在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著銜接數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的作用，是學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)平臺. 例題的設(shè)計(jì)需要本著“輕負(fù)”的思想，以讓不同學(xué)生在自己的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)有所收獲；例題的改編需要堅(jiān)持以學(xué)生的思維為主線，讓學(xué)生的思維驅(qū)動例題形式的變化. 無論是設(shè)計(jì)還是改編，對“輕負(fù)”與“高質(zhì)”的追求，都是建立在數(shù)學(xué)知識、學(xué)生與考試關(guān)系平衡的基礎(chǔ)之上的.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；例題設(shè)計(jì)；輕負(fù)；高質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)中，例題發(fā)揮的作用堪稱巨大，其上承數(shù)學(xué)新學(xué)知識，下啟數(shù)學(xué)知識運(yùn)用能力的培養(yǎng). 傳統(tǒng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)例題更多來自于教材或高考原卷，這樣選擇例題的最大好處是指向性強(qiáng)、科學(xué)性強(qiáng)，既可以有效深化所學(xué)知識，同時又不至于出現(xiàn)各種各樣的問題. 近年來，隨著高考評價(jià)的靈活性不斷增強(qiáng)以及考試試題的情境不斷豐富，“拿來主義”已經(jīng)適應(yīng)不了新的評價(jià)要求，于是高中數(shù)學(xué)教師就面臨著例題設(shè)計(jì)與改編的挑戰(zhàn). 盡管從邏輯上來說，例題設(shè)計(jì)與改編應(yīng)當(dāng)是教師的分內(nèi)之事，但考慮到知識的覆蓋面與對學(xué)生的導(dǎo)向性，試題的編與改還是要高度重視的. 考慮到教學(xué)的效益，筆者在例題設(shè)計(jì)與改編中提出“輕負(fù)”與“高質(zhì)”的思路，形成了一些心得.

“輕負(fù)”設(shè)計(jì)，源自對學(xué)生認(rèn)知水平的準(zhǔn)確把握

輕負(fù)之“負(fù)”，自然是指學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而“輕負(fù)”自然是指學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān). 凸顯學(xué)生意味著抓住了“輕負(fù)”之根本，而“輕負(fù)”的關(guān)鍵則在于對學(xué)生已有認(rèn)知水平的精確把握，這里不妨借助于最近發(fā)展區(qū)來理解例題設(shè)計(jì)之“輕負(fù)”：能夠讓學(xué)生在例題解答過程中，通過自身的努力“跳一跳”而“摘得到”的思維負(fù)擔(dān)，是最恰當(dāng)?shù)乃季S負(fù)擔(dān). 當(dāng)然，這里還要注意不同層次學(xué)生的思維能力. 通常情況下，我們都會根據(jù)學(xué)生的考試成績而將學(xué)生分成學(xué)優(yōu)生、中間生、學(xué)困生三個層次，這樣的分層簡單易行，但其容易掩蓋部分學(xué)生的思維能力，有些學(xué)生并不是因?yàn)樗季S能力差而學(xué)困的，而有些學(xué)生則是因?yàn)閷W(xué)習(xí)習(xí)慣好、下的功夫多而躋身中間生或?qū)W優(yōu)生的，這里要注意區(qū)別對待.

總體而言，在例題設(shè)計(jì)的過程中，輕負(fù)目標(biāo)的達(dá)成可以借助于新課教學(xué)中的教學(xué)觀察來較為準(zhǔn)確地判斷. 譬如教“圓錐曲線的統(tǒng)一定義”這一內(nèi)容時，分析知識呈現(xiàn)的順序可以發(fā)現(xiàn)，其是在拋物線定義的基礎(chǔ)上向橢圓和雙曲線延伸的，是在“平面內(nèi)到一個定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點(diǎn)P的軌跡”的基礎(chǔ)上提出的問題：當(dāng)這個比值是一個不等于1的常數(shù)時，動點(diǎn)P的軌跡又是什么呢？從學(xué)生的思維角度來看，這個問題的提出屬于數(shù)學(xué)上的變式思想，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)可以通過演繹思維的方式來完成.

在實(shí)際教學(xué)中，如果觀察到學(xué)生在此環(huán)節(jié)上沒有太大的問題，那在給學(xué)生提供例題的時候，就可以借助于這樣的例題來實(shí)施教學(xué)：

例1：已知動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)F（0，1）的距離等于它到定直線l：y+1=0的距離. （1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)F，傾斜角為30°的直線m交M的軌跡于A，B兩點(diǎn)，求AB；（3）設(shè)過點(diǎn)G（0，4）的直線n交M的軌跡于C（x1，y1），D（x2，y2），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OC⊥OD.

變式：已知動點(diǎn)P（x，y）（y≥0）到定點(diǎn)F（0，1）的距離和它到直線y=-1的距離相等，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C. （1）求曲線C的方程；（2）設(shè)圓M過點(diǎn)A（0，2），且圓心M（a，b）在曲線C上，若圓M與x軸的交點(diǎn)分別為E（x1，0），G（x2，0），求線段EG的長度.

這兩個例題中分別有兩至三個問題，但要注意的是第一個問題都是面向拋物線的，這與教學(xué)中知識呈現(xiàn)的順序是吻合的. 也就是說，圓錐曲線的統(tǒng)一定義生成的過程中，是以拋物線為基礎(chǔ)的，而在解題過程中仍然是從這一基礎(chǔ)出發(fā)的. 在此基礎(chǔ)上，拋物線知識可以進(jìn)一步向其他的知識延伸，那么學(xué)生在構(gòu)建相關(guān)知識的時候，知識體系就將更為完善. 基于這樣的思考，這里的兩個例題的設(shè)計(jì)與應(yīng)用思路應(yīng)當(dāng)是：第一題教師可選擇一重點(diǎn)講授第一問，然后讓學(xué)生就另兩個問題向其他知識體系延伸；另一題則可以作為鞏固性訓(xùn)練. 如果從分層的角度來看，那么第一個問題無疑是基礎(chǔ)題，而后面的問題則可以面向中上兩個層次的學(xué)生. 通過教學(xué)實(shí)踐來看，基本不會給學(xué)生形成太大的負(fù)擔(dān)，放在這里是合適的.

研究這個例題可以發(fā)現(xiàn)，其與教材上通常提供的例題的區(qū)別在于其是用具體的數(shù)據(jù)代替符號表示的，這可以給部分中等生及學(xué)困生帶來好處，而在此基礎(chǔ)上向符號表示的例題過渡，往往可以取得更好的教學(xué)效果.

“高質(zhì)”改編，需要對考試評價(jià)思路進(jìn)行精加工

改編題已經(jīng)成為當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的一個重要方式，通過試題的改編，可以讓教師更好地感知命題意圖，從而向?qū)W生傳遞更準(zhǔn)確的考查要求. 因此，對試題改編提出“高質(zhì)”的要求，顯然是恰當(dāng)?shù)? 而高質(zhì)與否，就要看教師對考試評價(jià)思路的把握了.

舉個例子，直線方程是高中數(shù)學(xué)中最簡單的知識，不同層次的考試中此知識點(diǎn)相關(guān)的試題都是以最簡單的形式存在的. 在復(fù)習(xí)的過程中，這個知識其實(shí)是可以不斷拓展的. 如以下三個例題：

例1：已知三條直線ax+3y+8=0，4x+3y-10=0，2x-y=10相交于一點(diǎn)，那么a的值是多少？

例2：已知三條直線ax+3y+8=0，4x+3y-10=0，2x-y=10將坐標(biāo)系分成六部分，那么a的值是多少？分成七部分呢？

例3：已知實(shí)數(shù)x，y，滿足x+3y+8>0，4x+3y-10>0，2x-y<10，那么x2+y2的取值范圍是多少？

這三個例題中，第一個例題是直接呈現(xiàn)給學(xué)生的；第二、三個例題可以在教師的引導(dǎo)下，通過一點(diǎn)點(diǎn)地改動形式呈現(xiàn)在學(xué)生的面前：比如在向例2過渡的時候，教師可以提出“同一個問題有沒有不同的問法呢”的問題，通過這個問題驅(qū)動改后的試題出現(xiàn)；在向例3過渡的時候，教師可以提出“有時候，同一個問題會通過‘面目全非的形式出現(xiàn)在我們的面前”的觀點(diǎn)，在學(xué)生思考“何以‘面目全非的情況下還能有相同的解題思路”的時候，推出改后的例3.endprint

而從例題本身來看，例1、例2顯然是一種形式變換的關(guān)系，但學(xué)生的思維方式并不完全相同：例1是純粹的數(shù)學(xué)思考，而例2實(shí)際上是一種數(shù)形結(jié)合. 不同思維方式下對同一例題進(jìn)行研究，這也是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本思路. 而第三個例子算不算改呢？這要看從哪個角度進(jìn)行理解. 如果從知識點(diǎn)的角度來看，似乎有些牽強(qiáng)；但從學(xué)生的思維角度來看，從數(shù)學(xué)知識考試評價(jià)的跨度來看，這其實(shí)是一個很好的示例. 例3的解題思路是可以通過將三個不等式轉(zhuǎn)換成同一直角坐標(biāo)系上的三根直線圍成的圖形來獲得解題思路的，而這一點(diǎn)與例2是有相通的地方的.

更進(jìn)一步，實(shí)際上在教學(xué)中是可以引導(dǎo)學(xué)生去“改編”題目的，這個改編的過程依然是學(xué)生思維的逐步深入. 比如在例1和例2解決好了之后，讓學(xué)生稍加總結(jié)，以發(fā)現(xiàn)此類問題解決的一般思路. 當(dāng)學(xué)生意識到數(shù)形結(jié)合的時候，再引導(dǎo)學(xué)生思考：不等式解題中是否存在類似的解題思路？此時學(xué)生一般是茫然無措的，教師則需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生的思路以發(fā)現(xiàn)同一解題思路下新的題目呈現(xiàn)方式.

在這個改編試題的思路中，教師對考點(diǎn)的把握是一條隱性線索，因?yàn)橹挥薪處煵拍芮逦刂肋@三者之間的聯(lián)系，在實(shí)際教學(xué)中如果直接告訴學(xué)生這樣的聯(lián)系，學(xué)生有時并不能形成深刻的記憶；反之，如果引導(dǎo)學(xué)生在對教師所提供的例題進(jìn)行遞進(jìn)式的理解，那么學(xué)生可以在例題的變式中使得思維步步深入，相對于教師的隱性線索而言，學(xué)生對三個例題的感知是一條顯性線索. 在這兩條線索之下，學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握是牢固的，結(jié)果是“高質(zhì)”的.

例題設(shè)計(jì)與改編，追求的是知識與學(xué)生的適切性

在筆者對例題的設(shè)計(jì)與改編的研究中，發(fā)現(xiàn)研究思路并不是唯一的，有什么樣的研究思路也就有了什么樣的研究結(jié)果，有了什么樣的教學(xué)過程. 筆者認(rèn)為，“輕負(fù)”與“高質(zhì)”一定必須是相對于學(xué)生而言的，而不是相對于教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)而言的. 如果從教師的經(jīng)驗(yàn)尤其是應(yīng)試經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，那例題的設(shè)計(jì)與改編極有可能脫離學(xué)生的實(shí)際，從而造成適切度不夠的問題. 而一旦造成這種情形，“輕負(fù)”與“高質(zhì)”就會落空.

同時應(yīng)當(dāng)認(rèn)識到的是，例題的適切性實(shí)際上就是學(xué)生與知識之間的適切性，是學(xué)生理解知識并將知識運(yùn)用到具體問題情境中這一過程的適切性. 如文章開頭所說，只有例題表現(xiàn)出來的難度在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)之內(nèi)時，才是適切的. 而這離不開教師對學(xué)生學(xué)習(xí)情形的觀察與把握.

當(dāng)然，適切性還有另一層含義不可忽視，即對考試要求的把握. 基于學(xué)生實(shí)際并不是脫離考試需要，總的來說，輕負(fù)與高質(zhì)還是數(shù)學(xué)知識、學(xué)生、考試之間平衡基礎(chǔ)上的輕負(fù)與高效，個中技巧，需要在教學(xué)實(shí)踐中具體把握.endprint