李 翔 張崇偉 寧德志 蘇 朋

(大連理工大學(xué)海岸和近海國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024)

非周期波浪與直墻作用的非線性數(shù)值研究1)

李 翔 張崇偉 寧德志2)蘇 朋

(大連理工大學(xué)海岸和近海國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024)

基于時(shí)域高階邊界元方法，建立了完全非線性二維數(shù)值波浪水槽，對(duì)非周期波浪與直墻的相互作用問題進(jìn)行了模擬和研究.自由表面滿足完全非線性自由水面運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)邊界條件，采用混合歐拉--拉格朗日方法追蹤瞬時(shí)自由面流體質(zhì)點(diǎn)，采用四階Runge-Kutta法對(duì)下一時(shí)間步的波面和自由面速度勢進(jìn)行更新.采用加速度式法求解直墻表面速度勢的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，對(duì)瞬時(shí)物體濕表面上的水動(dòng)力壓強(qiáng)積分,得到作用在物體上的瞬時(shí)波浪力.首先,將全非線性與Serre-Green-Naghdi(SGN)模型的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)對(duì)于大幅值雙入射波問題，僅滿足弱色散關(guān)系的SGN模型大大低估了最大波浪爬高;其次，研究了雙入射波與直墻的非線性作用問題，發(fā)現(xiàn)線性預(yù)報(bào)對(duì)波浪最大爬高有較大低估，而波浪的非線性成分不只導(dǎo)致了自由面爬高的異常增大，也引起了局部自由面的高頻振蕩,該物理過程中，直墻所受的波浪載荷，也展示出了與波浪爬高相似的非線性特性;最后,對(duì)波浪爬升和波浪力的時(shí)間歷程進(jìn)行了頻譜分析，發(fā)現(xiàn)入射主頻波的部分能量傳遞給了更高頻的波浪成分，反映出該問題具有典型的非線性特性.

非線性波浪，波浪爬高，時(shí)域模擬，高階邊界元，GN理論

引言

近年來，由于大型海洋結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，波浪與海洋結(jié)構(gòu)相互作用的問題越來越被人們所重視，并在近年來得到了廣泛的研究[13].其中，直墻式結(jié)構(gòu)是一種常見的海岸工程結(jié)構(gòu)，其安全性和造價(jià)很大程度上取決于作用在其上的極限波浪載荷.工程實(shí)際中，人們多通過研究波浪沿直墻的爬高，來預(yù)報(bào)該極限波浪載荷.

針對(duì)波浪爬高問題，目前人們圍繞連續(xù)波浪、孤立波與直墻的相互作用已經(jīng)做了大量研究.例如，對(duì)于連續(xù)波，Isaacson和Cheung[4]提出了二階時(shí)域模擬的理論模型，研究了波浪在直壁物體上的爬高問題.Grilli等[5]基于全非線性勢流理論，建立了三維數(shù)值水槽，利用邊界元方法來模擬波浪爬高.Jamois等[6]使用基于高階Boussinesq方程的有限差分模型，對(duì)三維波浪在豎直板的爬高問題進(jìn)行了研究.Fuhrman和Madsen[7]在高階Boussinesq模型中引入了一種插值技術(shù)來捕捉非線性自由面沿壁面的爬高.Pelinovsky等[8]求解了直墻附近非線性淺水方程，并給出了直墻附近出現(xiàn)畸形波的概率分布.孫英偉[9]以Naiver-Stokes方程為基本控制方程，采用流體體積和大渦模擬方法，研究了規(guī)則波作用于直墻過程中的流場形態(tài)和波浪力.Chatjigeorgiou和Molin[10]采用了改進(jìn)型Boussinesq方程來研究波浪與直墻的相互作用問題，發(fā)現(xiàn)波浪爬升與入射波和反射波的三階非線性作用密切相關(guān).

對(duì)于孤立波，Su和 Mirie[11]通過攝動(dòng)展開法推導(dǎo)了孤立波沿直墻爬高的三階解析解.Fenton和Rienecker[12]采用譜方法研究了孤立波在直墻上的碰撞問題，發(fā)現(xiàn)該過程對(duì)反射波的波高和波速都產(chǎn)生了影響，而考慮三階非線性效應(yīng)的模擬結(jié)果可準(zhǔn)確預(yù)測最大波浪爬高，但無法準(zhǔn)確預(yù)測反射波相位的改變.Kim等[13]最早使用二維邊界元方法，模擬了考慮完全非線性自由面條件的孤立波沿直墻的爬高問題.Power和Chwang[14]對(duì)孤立波的直墻反射問題，給出了Boussinesq方程的解析解和數(shù)值解，也發(fā)現(xiàn)了反射孤立波的相位延遲現(xiàn)象.Cooker等[15]使用二維時(shí)域全非線性邊界元方法研究了大幅孤立波與直墻相互作用，發(fā)現(xiàn)孤立波碰撞直墻后能量耗散給一群色散波，降低了反射波波高和波速;同時(shí)，直墻上波浪下降要比其爬升過程消耗更多時(shí)間.Maiti和Sen[16]采用時(shí)域全非線性邊界元方法分析了孤立波與直墻非線性作用問題，他們發(fā)現(xiàn)，比起傾斜墻壁，垂直墻壁上波浪作用的非線性效應(yīng)更顯著.Liu和Al-Banaa[17]對(duì)孤立波在下方有開孔的直墻上的爬高進(jìn)行了物理模型實(shí)驗(yàn).Jian等[18]采用光滑粒子水動(dòng)力學(xué)方法，對(duì)包含波浪破碎過程的孤立波爬高問題進(jìn)行了模擬.Park和Cox[19]建立了近岸波浪和風(fēng)暴潮爬高的經(jīng)驗(yàn)公式.Chambarel等[20]采用考慮全非線性自由表面的二維邊界元方法模擬了兩相同孤立波的對(duì)撞問題(等效于孤立波與直墻的對(duì)撞問題)，觀測到了射流現(xiàn)象.宣瑞韜等[21]通過物理試驗(yàn)研究了雙孤立波的直墻爬高問題，著重分析了兩波相對(duì)波高和波距對(duì)波浪爬高的影響.

近期Carbone等[22]指出，某些特殊波浪(如非周期波浪)也值得關(guān)注.非周期波浪與直墻作用時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生比連續(xù)波浪更大的波浪爬高，導(dǎo)致更大的波浪載荷，從而威脅結(jié)構(gòu)的安全性.為了提高計(jì)算效率，他們在數(shù)值模擬中采用了基于淺水假設(shè)且僅滿足弱色散關(guān)系的Serre-Green-Naghdi(SGN)[2326]波浪模型.而Cooker等[12]提出波浪爬高問題會(huì)伴隨一群色散波.因此，本文將基于全非線性勢流模型，進(jìn)一步對(duì)文獻(xiàn)[19]中涉及到的非周期波浪與直墻相互作用的問題進(jìn)行研究，通過與SGN模型結(jié)果的對(duì)比，研究SGN模型在該問題中的適用性.另外，本文將重點(diǎn)研究直墻結(jié)構(gòu)上雙入射波爬升和載荷的非線性特性.通過頻譜分析，研究波浪爬升過程中各頻率組分的能量分布，進(jìn)而分析波與波相互作用的非線性物理特征.

1 數(shù)學(xué)模型

本文將建立如圖1所示的二維數(shù)值波浪水槽.水槽左側(cè)為造波推板，右側(cè)為直墻.水槽長度為L，平均水深為d，造波板、自由水面、直墻和水底邊界分別用Γw,Γf,Γb,Γd來表示，流域用V來表示.

圖1 波浪水槽示意圖Fig.1 Sketch of the wave fl ume

建立笛卡爾坐標(biāo)系oxz，其中o位于造波板與自由水面平均位置的交點(diǎn)處，ox指向右側(cè)水平方向，oz豎直向上.假定流體為理想流體且其運(yùn)動(dòng)無旋，則可采用勢流理論模型來描述水槽內(nèi)水體運(yùn)動(dòng)，并得到下述初邊值問題

其中，速度勢?(x,y,z)為標(biāo)量，其空間梯度為流體的速度，η表示自由面波高，g為重力加速度，??/?n表示速度勢在物面法線方向的偏導(dǎo)數(shù).造波板的速度u(t)設(shè)為

式中，a和ω分別為波浪的幅值和頻率，T為波浪周期，H(t)為Heaviside函數(shù)

作用在直墻上的水平波浪力可通過對(duì)Bernoulli方程得到的壓力進(jìn)行積分求得

式中?t為速度勢對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù).可通過求解下列邊值問題得到

2 數(shù)值方法

根據(jù)格林第二定理，方程(1)可轉(zhuǎn)換為下述邊界積分方程[27]

式中，p={x0,z0}為配置點(diǎn)坐標(biāo)，q={x,z}為邊界上一點(diǎn)的坐標(biāo)，C為固角系數(shù)[27]，Γ為全部流域邊界，G為簡單格林函數(shù).對(duì)于該二維問題，G(p,q)可定義為

進(jìn)一步采用邊界單元來離散流域邊界.為了更準(zhǔn)確地描述流域邊界，這里采用曲線單元，即用二次曲線來逼近真實(shí)的幾何邊界，它比直線單元具有更強(qiáng)的適應(yīng)性.單元上任一點(diǎn)的坐標(biāo)和速度勢等物理量可通過如下插值得到

式中，M為單元上節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，S用來表示x，z，φ和?φ/?n等物理量，Sn為單元上第n個(gè)節(jié)點(diǎn)處物理量的值，ξ∈[?1.0,1.0]為固有坐標(biāo)，hn表示第n個(gè)形狀函數(shù)

這里采用三節(jié)點(diǎn)二次高階單元來離散流域邊界，即M=3.該方法比常數(shù)單元和線性單元具有更高的精度.

式中，d(e,m)表示第e個(gè)單元上第 m個(gè)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)，Ne為邊界單元的數(shù)量.J(ξ)是雅可比(Jacobian)行列式，可寫為如下形式

積分方程經(jīng)過離散后，可通過求解線性方程組得到未知量.

在每一個(gè)時(shí)間步，自由面上的速度勢和其他物面上的速度勢法向?qū)?shù)是已知的，通過求解線性方程組(20)，可以得到物面上速度勢和自由面上速度勢法向?qū)?shù)的值.通過差分可以得到邊界上速度勢的切向?qū)?shù)，并通過下列關(guān)系求得速度勢的空間導(dǎo)數(shù)值

其中，n={nx,nz}為單位法向量.

根據(jù)自由面邊界條件，可得到速度勢和波高的時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)，可應(yīng)用數(shù)值積分的方法，進(jìn)行時(shí)間步進(jìn)，計(jì)算得到下一時(shí)刻自由面上的速度勢和波高.本文選用四階Runge-Kutta法對(duì)自由面條件進(jìn)行時(shí)間積分.為了敘述方便，將自由面邊界條件寫成如下常微分方程的形式

則t+?t時(shí)刻波面高度η(t+?t)和速度勢?(t+?t)可寫為

其中

3 計(jì)算結(jié)果及分析

下面，我們將利用前面建立的數(shù)值波浪水槽，研究不連續(xù)波對(duì)直墻的作用.在本文中，以d,g和ρ作為無量綱基準(zhǔn)，其他參數(shù)均為無量綱數(shù).為防止反射波在造波板處發(fā)生二次反射，對(duì)計(jì)算域長度和模擬時(shí)間進(jìn)行如下控制

其中，Nw為非周期波浪數(shù)，λ為入射波波長.

在本文的數(shù)值模擬中，設(shè)置自由面上單元的長度為?x=λ/600，水深方向布置10個(gè)單元，時(shí)間步長取?t=T/200.該模型的收斂性和精度等已在此前的工作[28]中得到驗(yàn)證，故此處不再贅述.

3.1 單入射波作用的情況

首先考慮單個(gè)入射波(Nw=1)的情況.為與文獻(xiàn)[19]中的SGN模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，設(shè)定入射波的頻率為ω0=0.145，幅值為a=0.05.圖2給出了直墻處自由面爬升的時(shí)間歷程.本文數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)[19]中的SGN模型的結(jié)果非常吻合，驗(yàn)證了本模型計(jì)算結(jié)果的可靠性.圖3顯示了自由面沿直墻爬高達(dá)到最大值時(shí)(t=1.67T)的自由表面形狀，本文的模擬結(jié)果同樣與SGN模型的結(jié)果相吻合.

圖4進(jìn)一步測試了不同入射頻率下單入射波沿直墻的最大波浪爬高R，本模型結(jié)果和SGN模型結(jié)果吻合得依然很好.從圖中可以看出，低頻入射波的最大波浪爬高約是入射波波幅的2倍，接近線性波浪理論的預(yù)測結(jié)果.而頻率在ω0附近的單入射波可產(chǎn)生達(dá)到2.3倍入射波波高的自由面爬高，表現(xiàn)出了明顯的非線性特征.

圖2 單入射波在直墻上爬高的時(shí)間歷程Fig.2 History of wave run-up along the vertical wall for the single incident wave

圖3 單入射波在t=1.67T時(shí)刻的波面形狀Fig.3 Free surface pro fi le at t=1.67T for the single incident wave

圖4 不同頻率的單入射波沿直墻的最大爬高Fig.4 Maximum wave run-up along the vertical wall for single incident wave of di ff erent frequencies

3.2 雙入射波作用的情況

接下來考慮雙入射波(Nw=2)的情況.入射波頻率設(shè)為ω0=0.02.圖5給出了不同波幅(a=0.048,a=0.049和 a=0.05)的雙入射波撞擊直墻后，自由面沿直墻爬升的時(shí)間歷程.與單入射波的情況相比，雙入射波的兩個(gè)波峰撞擊直墻時(shí)，自由面爬高均顯示出高頻振蕩的特征.該高頻振蕩在直墻反射波與第二個(gè)入射波相遇時(shí)尤為明顯.通過與SGN模型結(jié)果的對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)入射波波幅較小時(shí)(即a=0.048)，本模型結(jié)果與SGN模型的結(jié)果有很好的吻合.隨著入射波波幅的增大，本文與SGN模型的結(jié)果，在第一個(gè)入射波爬高、回落和第二個(gè)入射波回落階段，比較吻合;但在第二個(gè)入射波的爬高階段，二者的差別隨入射波波高的增大而增大.對(duì)于幅值為a=0.05的入射波，本文模型得到的最大波浪爬高可達(dá)到4.4倍入射波波高，而SGN模型預(yù)報(bào)的最大爬高為入射波波高的3.8倍.同時(shí)，本文波浪爬高歷程的震蕩也更加劇烈.

圖5 不同波幅下雙入射波直墻上爬高的時(shí)間歷程Fig.5 History of wave run-up along the vertical wall for double incident waves with di ff erent amplitudes

本文進(jìn)一步考慮了其他頻率的情況.圖6給出了不同入射波頻率下雙入射波沿直墻的最大爬高.從圖中可以看出，隨著入射波波幅的增大，本文模型得到的最大波浪爬高越來越高于SGN模型的預(yù)報(bào)值.對(duì)于幅值為a=0.05的入射波，兩個(gè)模型結(jié)果的差別隨頻率的增大而逐漸減小，并最終趨于穩(wěn)定.本文的非線性數(shù)值結(jié)果顯示，波浪沿直壁的最大爬高可達(dá)到5倍入射波幅，大于SGN模型預(yù)報(bào)的3.8倍入射波幅.非線性結(jié)果中激發(fā)最大波浪爬高的入射波的頻率，則略小于SGN結(jié)果中最大爬高對(duì)應(yīng)的入射波頻率.在圖6中可以發(fā)現(xiàn)，入射波頻率越小，兩種模型的差別越大，說明波浪頻率越低，產(chǎn)生的非線性越強(qiáng).

圖6 不同波幅下不同頻率的雙入射波沿直墻的最大爬高Fig.6 Maximum wave run-up along the vertical wall for double incident waves of di ff erent frequencies and amplitudes

由于SGN模型是基于淺水假設(shè)且僅滿足弱色散關(guān)系，而本文所采用的完全非線性模型并不受SGN模型假設(shè)的限制，因此有理由相信本文模型能更準(zhǔn)確地反映本文所涉及的非線性問題.進(jìn)一步聯(lián)系到3.1節(jié)單入射波的情況，可以得知SGN模型可對(duì)單個(gè)非線性入射波進(jìn)行準(zhǔn)確模擬，而對(duì)于雙入射波情況下的非線性波與波相互作用，SGN模型的模擬精度是有限的，其結(jié)果低估了可能的最大波浪爬高.

3.3 雙入射波作用的非線性分析

下面將基于本文模型，對(duì)幅值為a=0.05的雙入射波與直墻相互作用的非線性特性做更進(jìn)一步研究.圖7給出了不同頻率(ω=0.02，ω=0.1和ω=0.2)的雙入射波撞擊直墻后，自由面沿直墻爬升的時(shí)間歷程.其中，線性結(jié)果可通過將非線性自由面條件(方程(2)和方程(3))線性化得到的.圖中各非線性結(jié)果明顯不同于相應(yīng)的線性結(jié)果.一方面，波浪的非線性成分導(dǎo)致了自由面爬高的異常增大，使得線性預(yù)報(bào)明顯低估了波浪的最大爬高.另一方面，在第二個(gè)波浪的爬升階段，非線性結(jié)果顯示出大幅的高頻振蕩，該振蕩的頻率隨著入射波頻率的增加而減小.這反映出，隨著入射波頻率的增大，第二個(gè)波與前一個(gè)波的反射波發(fā)生相互作用的非線性效應(yīng)在減弱，同時(shí)也導(dǎo)致其最大爬高減小.

圖7 不同頻率的雙入射波在直墻上爬高的時(shí)間歷程Fig.7 History of wave run-up along the vertical wall for double incident waves of di ff erent wave frequencies

圖8 雙入射波波形的時(shí)間歷程Fig.8 Evolution of wave pro fi les for double incident waves

圖8給出了數(shù)值水槽內(nèi)頻率為ω=0.02的雙入射波的波形隨時(shí)間的變化.從圖中可以看出，波浪與直墻的作用過程可分為撞擊前、撞擊中、撞擊后三個(gè)階段.第二個(gè)波與第一個(gè)波的反射波相遇時(shí)，匯合成一個(gè)波峰，其幅值在極短的時(shí)間內(nèi)迅速增大至約兩倍于入射波波高.隨后兩波分離，繼續(xù)沿各自來向傳播.在該過程中，兩波之間的水面形成了一系列的振蕩波.隨后，與第一個(gè)波的反射波作用之后的第二個(gè)入射波碰撞直墻，開始了爬高過程，其波高的高頻振蕩也在直墻上檢測到，此時(shí)在直墻上波浪的最大爬高遠(yuǎn)大于入射波波幅的二倍.

圖9進(jìn)一步給出了各頻率的雙入射波作用于直墻的波浪力的時(shí)間歷程.其展示出來的非線性特性與波浪爬高過程基本相同.

圖9 不同頻率的雙入射波對(duì)直墻作用力的時(shí)間歷程Fig.9 History of wave force acting on the vertical wall for double incident waves of di ff erent wave frequencies

圖10給出了不同頻率的雙入射波，沿直墻的最大爬高和對(duì)直墻的最大波浪力，其中設(shè)ω0=0.02.從圖中可以看出，最大波浪爬高和最大波浪力隨入射波頻率的變化趨勢基本相同，其峰值都出現(xiàn)在略低于ω0的頻率處.峰值處最大波浪爬高可高達(dá)約為5倍的入射波高，而最大波浪力可達(dá)到2.5倍線性預(yù)報(bào)值.對(duì)于ω＞ω0，非線性波浪爬高和波浪力的最大值逐漸減小，但始終大于線性預(yù)報(bào)值.

圖10 不同頻率的雙入射波沿直墻的最大爬高和對(duì)直墻的最大波浪力Fig.10 Maximum wave run-up along the vertical wall and maximum wave force acting on the vertical wall for double incident waves of di ff erent wave frequencies

圖11進(jìn)一步對(duì)圖 7和圖9中ω0=0.02時(shí)的波浪爬升和波浪力時(shí)間歷程進(jìn)行了頻譜分析.頻率為ω=ω0的組分在線性和非線性結(jié)果中均占主導(dǎo)地位.而相較于線性結(jié)果，非線性結(jié)果在ω=2ω0,ω=3ω0,ω=4ω0等入射頻率整數(shù)倍的高頻處也均出現(xiàn)不可忽略的峰值.這反映了，在入射波與反射波相互作用的過程中，由于波浪的非線性特性，不同頻率的波浪發(fā)生了能量交換，入射主頻波的能量傳遞給了更高頻的波浪成分.該現(xiàn)象表明雙入射波沿直墻爬高問題有典型的非線性特性.

圖11 雙入射波沿直墻爬高和對(duì)直墻作用力的頻譜Fig.11 Spectra of wave run-up and force on vertical wall for double incident waves

4 結(jié)論

本文基于時(shí)域高階邊界元方法，建立了完全非線性二維數(shù)值波浪水槽模型，對(duì)非周期波浪與直墻的相互作用問題進(jìn)行了模擬和研究.

本文首先將全非線性的結(jié)果與SGN模型的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析.對(duì)于單入射波撞擊直墻的情況，全非線性結(jié)果與SGN模型的結(jié)果非常吻合.而對(duì)于非線性效應(yīng)更高的大幅值雙入射波問題，僅滿足弱色散關(guān)系的SGN模型的模擬結(jié)果大大低估了最大波浪爬高.尤其在第二個(gè)入射波撞擊直墻時(shí)，全非線性方法模擬的波面爬高顯示出了更劇烈的振蕩特征.

本文更進(jìn)一步研究了大幅值雙入射波與直墻的作用問題，確認(rèn)了該問題的強(qiáng)非線性特性.發(fā)現(xiàn)線性預(yù)報(bào)對(duì)波浪最大爬高有較大低估，而波浪的非線性成分不只導(dǎo)致了自由面爬高的異常增大，也引起了局部自由面的高頻振蕩，而該振蕩的頻率隨著入射波頻率的增加而減小.該物理過程中，雙入射波作用于直墻的波浪載荷，也展示出了與波浪爬高相似的非線性特性.

最后，本文對(duì)波浪爬升和波浪力的時(shí)間歷程進(jìn)行了頻譜分析.結(jié)果顯示，由于入射波與反射波的非線性作用，入射主頻波的部分能量傳遞給了更高頻的波浪成分，體現(xiàn)出了典型的非線性特性.

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NONLINEAR NUMERICAL STUDY OF NON-PERIODIC WAVES ACTING ON A VERTICAL CLIFF1)

Li Xiang Zhang Chongwei Ning Dezhi2)Su Peng
(State Key Laboratory of Coastal and O ff shore Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China)

In this study,a 2D fully-nonlinear numerical wave tank is developed based on the time-domain higher-order boundary element method.Non-periodic waves acting on a vertical cli ffare investigated.The fully nonlinear kinematic and dynamic boundary conditions are satis fi ed on the instantaneous free surface.The mixed Eulerian-Lagrangian method is adopted to track the transient water particle on the free surface and the fourth order Runge-Kutta method is used to predict the velocity potential and wave elevation on the free surface.Then the acceleration potential technique is adopted to calculate the temporal derivative of the potential on the vertical wall surface,and transient wave loads are obtained by integrating the Bernoulli equation along the wetted wall surface.The obtained nonlinear results are fi rstly compared with solutions of the Serre-Green-Naghdi(SGN)theory.It is observed that,for the highly nonlinear case of double-incidentwaves,the SGN model which only satis fi es the weak dispersion relationship greatly underestimates the maximum wave run-up(MWR).Then,the nonlinear interaction between double-incident-waves and a vertical cli ffis further studied.It is found that the linear prediction also underestimates the MWR.The nonlinearity not only leads to an evident increase of the MWR,but also results in a high-frequency oscillation of the free surface.During this process,nonlinear properties of wave loads are similar to those of the wave run-up.Finally,spectral analysis is performed on histories of wave run-up and wave loads.The dominant frequency wave component is found to transfer its energy to higher frequency components,as a typical nonlinear wave-wave interaction phenomenon.

nonlinear wave,wave run-up,time-domain simulation,higher-order BEM,GN theory

O353.2

A

10.6052/0459-1879-16-337

2016–11–20收稿，2017–07–21 錄用,2017–07–21 網(wǎng)絡(luò)版發(fā)表.

1)國家自然科學(xué)基金(51679036，51490672)，水文水資源與水利工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放基金(2016490111)和中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(DUT17GJ202,DUT16RC(3)113)資助項(xiàng)目.

2)寧德志，教授，主要研究方向：海岸和海洋工程中水動(dòng)力學(xué).E-mail：dzning@dlut.edu.cn

李翔，張崇偉，寧德志，蘇朋.非周期波浪與直墻作用的非線性數(shù)值研究.力學(xué)學(xué)報(bào),2017,49(5):1042-1049

Li Xiang,Zhang Chongwei,Ning Dezhi,Su Peng.Nonlinear numerical study of non-periodic waves acting on a vertical cli ff.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(5):1042-1049