史雨梅,秦 梅

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

一類特殊循環(huán)矩陣的若干性質及算法研究

史雨梅1,秦 梅2

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

基于循環(huán)矩陣理論及其相關研究成果,定義了首尾差r-循環(huán)矩陣(簡記為FLDCMr),研究了它的判別法和對角化問題,給出了求其逆與廣義逆的快速算法,并探討了對其開平方與開m次方的快速算法.

首尾差r-循環(huán)矩陣;廣義逆矩陣;對角化;開方運算

矩陣是數(shù)學中非常重要的一個概念,是重要研究對象,也是進行研究與應用的重要工具[1-2].它可以使所描述的問題通俗易懂且直觀明了,刻畫問題的本質也更為深刻.矩陣的性質是依賴于其內部元素所具有的特性,由最開始的一種簡單的計算方式經(jīng)由兩百多年來無數(shù)學者的研究,成為一門數(shù)學分支——矩陣論.

循環(huán)矩陣是矩陣論中一個重要的組成部分,具有特殊的結構和良好的性質,被廣泛應用于數(shù)學、物理和現(xiàn)代工程等領域,尤其是在信號處理、分子振動、數(shù)理統(tǒng)計、糾錯碼理論、固體物理、數(shù)字圖像處理、編碼理論、控制理論、矩陣分解、結構計算、平面幾何學、三次樣條插值、小波變換、計算機時序分析、石油勘測、優(yōu)化設計、地震物探以及線性預測等領域中應用的特別廣泛.近幾十年來,循環(huán)矩陣理論成為了矩陣論的一個十分熱門的研究方向,并且在理論的研究方面取得了快速的發(fā)展.

由于特殊循環(huán)矩陣具有很多較好的性質和特別的結構,所以應引起我們的關注,并將其進行推廣和研究.例如它們的代數(shù)性質、行列式、高次冪、秩、非奇異性、特殊結構、對角化、特征值、特征向量、各類多項式表示形式、譜分解、逆矩陣及Moore-Penrose逆的各種算法和相關方程組問題求解及相關算法的計算復雜性分析,等等.

循環(huán)矩陣是隨著不同領域實際應用中遇到和解決的問題而逐漸發(fā)展起來的,其在解決實際問題中起到了中流砥柱的作用,因此吸引了國內外眾多的學者進行研究.其中關于特殊循環(huán)矩陣的性質、判別法、逆和廣義逆以及高次冪等一般表示形式的研究一直都是矩陣分析中重要的課題.那么通過何種方式解決這些問題,得到其性質、判別法、逆和廣義逆以及高次冪的一般表達式,完成算法的實現(xiàn),是近年來人們一直關心的問題并且是研究的熱點.

2011年,盧誠波對循環(huán)矩陣的平方根問題進行了研究[3].其作者利用依次對矩陣分塊降階的方式給出循環(huán)矩陣求逆與循環(huán)矩陣相乘的算法,尤其是幾類廣義循環(huán)矩陣求逆與相乘的快速算法,并通過快速傅里葉變換(FFT)來求循環(huán)矩陣的逆與矩陣相乘的快速算法,例如用FFT計算鱗狀因子循環(huán)初等平方根的算法.2013年,何承源教授等人對首尾差循環(huán)矩陣的逆和廣義逆的快速算法進行了研究[4].2014年,何承源、王曉葉對矩陣

即H-循環(huán)矩陣的判別法及對角化進行了研究[5],得出6種H-循環(huán)矩陣的判別方法.

2015年,江兆林又對r-循環(huán)矩陣的正整數(shù)次冪進行研究,并且給出了一般表達式[6].同年,江兆林教授研究了關于Fibonacci數(shù)和Lucas數(shù)的g-循環(huán)矩陣的譜范數(shù),得到‖AF‖2=Fn+1-1,‖AL‖2=Ln+1-1,‖AF2‖2=Fn-1Fn,‖AL2‖2=Ln-1Ln+2等六個等式[7].

對于特殊結構的循環(huán)矩陣,許多學者都在不斷的進行探索,并且不斷的提出新的循環(huán)矩陣,如今有近幾十種特殊結構的循環(huán)矩陣,例如塊循環(huán)矩陣、對稱(向后)循環(huán)矩陣、塊對稱循環(huán)矩陣、r-循環(huán)矩陣、塊r-循環(huán)矩陣、二重(r1,r2)循環(huán)矩陣、首尾差循環(huán)矩陣、首尾和循環(huán)矩陣、多重循環(huán)矩陣、塊因子循環(huán)分塊矩陣、置換因子循環(huán)矩陣、鱗狀因子循環(huán)矩陣、g-(塊)循環(huán)矩陣等.

本文在前人研究工作的基礎上[8-11]進一步推廣,提出一種新的循環(huán)矩陣,稱之為首尾差r-循環(huán)矩陣(簡記為FLDCMr).文章有5個章節(jié),首先給出了首尾差r-循環(huán)矩陣的一些基本性質,其次研究了FLDCMr的求解逆和廣義逆及開平方與開m次方的快速算法[12-15].

1 預備知識

定義1 對于矩陣A∈Cn×n,若有如下結構形式

則稱A為n階首尾差r-循環(huán)矩陣,記A=FLDC(a0,a1,a2,…,an-2,an-1)r,簡記為A∈FLDCMr.

定義2 稱n階方陣

為基本首尾差r-循環(huán)矩陣.

顯然,Δ,Δ2,Δ3,…,Δn都是FLDCMr,其特征多項式為g(x)=xn+x-r且

Δ0=In,Δn=rIn-Δ.

由FLDCMr的定義易證下面命題.

命題1 若矩陣A,B∈FLDCMr,則A+B,A-B以及kA(k為任意常數(shù))都是FLDCMr.

定義3[16]設A∈Cn×n,稱滿足rankAk+1=rankAk的最小非負整數(shù)k為A的指標,記為lnd(A)=k.若A非奇異,則lnd(A)=0;若A奇異,則lnd(A)≥1.

定義4[14]設A∈Cn×n,如果存在X∈Cn×n矩陣,使AXA=A,XAX=X同時成立,則稱X是A的自反廣義逆,記作A{1,2}.

定義5[17]設A∈Cn×n,Ind(A)=k.如果存在矩陣X∈Cn×n滿足AkXA=Ak,XAX=X,AX=XA,則稱X為A的Drazin逆,記為Asyggg00.

定義6[18]設矩陣Y∈Cn×n,如果存在矩陣X∈Cn×n,使得X2=Y,則稱X是Y的平方根矩陣,此時稱Y可開平方,即Y有平方根.

2 首尾差r-循環(huán)矩陣的判別法

定理1 矩陣A∈FLDCMr當且僅當A有如下形式

定理2 矩陣A∈FLDCMr當且僅當AΔ=ΔA,其中Δ為基本首尾差r-循環(huán)矩陣.

證明 必要性 因為A∈FLDCMr,所以由A和Δ的定義可直接驗證得AΔ=ΔA.

充分性 設

由AΔ=ΔA知

所以可得

故A∈FLDCMr.

推論1 若矩陣A,B∈FLDCMr,則AB,BA∈FLDCMr且AB=BA.

證明 因為A,B∈FLDCMr,由定理2可得

AΔ=ΔA,BΔ=ΔB,

因此,ABΔ=AΔB=ΔAB,BAΔ=BΔA=ΔBA,

所以,AB,BA∈FLDCMr.

由定理1顯然可得AB=BA.

3 首尾差r-循環(huán)矩陣的對角化

首先研究基本首尾差r-循環(huán)矩陣Δ的對角化問題.

因為Δ的特征多項式g(x)=xn+x-r有n個不同的根,可設Δ的n個不同的特征值如下:

λ0=ω0,λ1=ω1,…,λn-1=ωn-1.

令V=V(ω0,ω1,…,ωn-1),即

顯然V是由ω0,ω1,…,ωn-1構成的非奇異Vandermonde矩陣,且有

接下來研究一般首尾差r-循環(huán)矩陣A的對角化問題.

由定理1和式(2)可得

定理3 矩陣A∈FLDCMr當且僅當V-1AV是對角矩陣.

證明 必要性 若A∈FLDCMr,由上面的討論可知

V-1AV=diag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1).

充分性 令V-1AV=P1,P1為對角矩陣,則A=VP1V-1.

令P2=diag(ω0,ω1,…,ωn-1),則Δ=VP2V-1,所以得AΔ=VP1V-1VP2V-1=VP1P2V-1,ΔA=VP2V-1VP1V-1=VP2P1V-1.

而P1和P2都是對角矩陣,所以有AΔ=ΔA,因此,A是首尾差r-循環(huán)矩陣.

定理4 矩陣A∈FLDCMr當且僅當其特征值滿足條件f(ωi)≠0(i=0,1,2,…,n-1).

證明 必要性 因為A∈FLDCMr,由上面討論可知

因此,若A∈FLDCMr且A非奇異,則有f(ωi)≠0(i=0,1,2,…,n-1).

4 首尾差r-循環(huán)矩陣的逆與廣義逆及其數(shù)值例子

4.1首尾差r-循環(huán)矩陣的逆及廣義逆

定理5 矩陣A是非奇異的首尾差r-循環(huán)矩陣當且僅當A-1∈FLDCMr.

證明 必要性 由矩陣A是非奇異的首尾差r-循環(huán)矩陣及定理2知AΔ=ΔA,則ΔA-1=A-1Δ,所以A-1∈FLDCMr.

充分性顯然.

推論2 如果矩陣A是非奇異的首尾差r-循環(huán)矩陣,那么矩陣A*∈FLDCMr.

定理6 設矩陣A∈FLDCMr,則A非奇異當且僅當(f(x),g(x))=1.

證明 若A非奇異且A∈FLDCMr,由定理4可知f(ωi)≠0(i=0,1,2,…,n-1),所以f(x)和g(x)沒有公共解,即(f(x),g(x))=1.

反之,若 (f(x),g(x))=1,則存在u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,由于g(Δ)=0,f(Δ)=A,則有u(Δ)A=I.

因此,A非奇異且A-1=u(Δ),由定理1可知,A-1∈FLDCMr.

推論3 若矩陣A是非奇異的首尾差r-循環(huán)矩陣,則存在A-1=u(Δ).

推論4 如果矩陣A是奇異的首尾差r-循環(huán)矩陣,則存在H∈FLDCMr,使得A{1,2}=Asyggg00=H.

證明 由A奇異可知(f(x),g(x))≠1.

設(f(x),g(x))=d(x),g(x)=d(x)g1(x),f(x)=d(x)f1(x),則(f1(x),g1(x))=1.又g(x)無重根,故(d(x),g1(x))=1,所以(d(x)f(x),g1(x))=1.因此,存在u(x),v(x)使得

式(3)兩邊同乘f(x),整理得f(x)u(x)d(x)f(x)+f1(x)v(x)g(x)=f(x).由g(Δ)=0,f(Δ)=A得

式(3)兩邊同乘u(x)d(x),同理可得

若H=u(Δ)d(Δ),由定理1可知,H∈FLDCMr,再由式(4),式(5)可知,H=A{1,2}.

又AkHA=Ak-1(AHA)=Ak-1A=Ak,AH=Au(Δ)d(Δ)=u(Δ)d(Δ)f(Δ)=HA,故H=Asyggg00.

4.2算法與數(shù)值例子

由引理1與推論3的證明,可以得到求解首尾差r-循環(huán)矩陣逆及廣義逆的快速算法.步驟如下:

步驟1 求f(x),g(x)的最大公因式d(x);

例1 已知矩陣A=FLDC(1,-1,1)2∈FLDCM2,求矩陣A的逆矩陣.

解

因為

例2 已知矩陣A=FLDC(-2,1,0)10,求矩陣A的逆矩陣.

因為(f(x),g(x))=(x-2,x3+x-10)=x-2≠1,所以A奇異.

記(f(x),g(x))=x-2=d(x),則f1(x)=1,g1(x)=x2+2x+5.

5 首尾差r-循環(huán)矩陣開方的快速算法

本章研究首尾差r-循環(huán)矩陣在復數(shù)域上開方的算法,分析了首尾差r-循環(huán)矩陣方根存在的條件與根的求解方法.因為首尾差r-循環(huán)矩陣開方所得的結果并非總是首尾差r-循環(huán)矩陣,且其個數(shù)并非也是有限的,所以這里只討論方根依舊是首尾差r-循環(huán)矩陣的情況.

5.1首尾差r-循環(huán)矩陣開平方的快速算法

由于ωi(i=0,1,2,…,n-1)是方程xn+x-r=0的n個不同根,所以det(V)≠0,即det(VT)≠0.于是由式(3),可得

即

定理得證.

定理9n階首尾差r-循環(huán)矩陣開平方,所得的根中仍為首尾差r-循環(huán)矩陣的有2n個.

5.2首尾差r-循環(huán)矩陣開m次方的快速算法

這里僅研究復數(shù)域上首尾差r-循環(huán)矩陣的m次方根仍為首尾差r-循環(huán)矩陣的情況.

定理10 若矩陣A∈FLDCMr,那么對任意的整數(shù)m都存在矩陣B∈FLDCMr是A的m次方根.

證明 若A=FLDC(a0,a1,a2,…,an-2,an-1)r,則有

A=Vdiag(f(ω0),f(ω1),…,f(ωn-1))V-1,

所以得

易知上述矩陣是首尾差r-循環(huán)矩陣.

定理11n階首尾差r-循環(huán)矩陣開m次方,所得的根中仍為首尾差r-循環(huán)矩陣的有mn個.

5.3算法與數(shù)值例子

(1) 首尾差r-循環(huán)矩陣開平方的快速算法及數(shù)值算例

快速算法:

① 求出方程xn+x-r=0的n個不同的根ωi(i=0,1,2,…,n-1);

⑤ 得到B=FLDC(b0,b1,b2,…,bn-2,bn-1)r.

解 由x2+x-2=0解得ω0=-2,ω1=1,

(2) 首尾差r-循環(huán)矩陣開m次方的算法步驟

算法步驟:

① 求出方程xn+x-r=0的n個不同的根ωi(i=0,1,2,…,n-1);

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SomePropertiesandAlgorithmsofaSpecialClassofCirculantMatrices

ShiYumei1,QinMei2

(Colloge of Science,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

A new type of circulant matrices,called the first and the last differencer-circulant matrix(FLDCMr),is presented based on the theory of cyclic matrix and its related research results.Its discriminant and diagonalization problem is studied;the fast algorithm of inverse and generalized inverse is given;and the fast algorithm for its square and openm-th power is discussed.

FLDCMr;generalized inverse;diagonalization;root operation

2017-05-15

國家自然科學基金資助項目(11601332);滬江基金資助項目(B14005).

史雨梅(1990-),女,安徽安慶人,上海理工大學碩士研究生.

2095-5456(2017)05-0424-07

O 151.2

A

【責任編輯:肖景魁】